Zur Euler'schen Zahl

Die geeignetste Basis für eine Exponentialfunktion

f(x)=b^x

ist die Zahl $\mathrm{e}$ , eine Zahl, die in vielen Anwendungen vorkommt. Der Buchstabe $\mathrm{e}$ wurde zu Ehren des in Riehen geborenen Mathematikers Leonhard Euler (1707–1783) gewählt. Wie $\pi$ ist die Euler'sche Zahl irrational, und ihre Dezimaldarstellung beginnt mit

\mathrm{e} = 2.71828182845904523536028747135266\dots

Was es mit der Zahl $\mathrm{e}$ auf sich hat, können wir an dieser Stelle nur zu einem kleinen Teil erfahren, denn ihre Bedeutung und Tragweite wird erst nach und nach mit fortschreitendem Stoff klarer werden. Eine Möglichkeit, die Zahl $\mathrm{e}$ kurz und bündig zu charakterisieren, ist diese:

$\mathrm{e}$ ist die einzige positive Zahl, für die

\mathrm{e}^x \geq 1+x \quad \forall x \in \R

Exercise 1

Skizziere $\mathrm{e}^x$ und $x+1$ .

Solution

Geogebra

Exercise 2

Skizziere $\mathrm{e}^x$ , $2^x$ und $3^x$ und betrachte einen kleinen Ausschnitt um $(0 \mid 1)$ .

Solution

Geogebra

Eine weitere schöne Eigenschaft ist folgende:

Note 1

Alle Exponentialfunktionen $b^x$ schneiden die $y$ -Achse im Punkt $(0 \mid 1)$ . Sucht man für eine Exponentialfunktion $b^x$ eine Basis $b$ so, dass die Steigung des Graphen beim Schnittpunkt mit der $y$ -Achse exakt $1$ , also $45^\circ$ , beträgt, dann folgt $b=\mathrm{e}$ .

Obwohl die bisherige Argumentation von einem strengen mathematischen Gesichtspunkt aus betrachtet unzureichend ist, geben wir uns mit ihr zufrieden. Auch ein stringenterer Beweis liefert dasselbe Resultat, ist aber mit erheblich mehr Aufwand verbunden.

Um die Euler'sche Zahl zu berechnen, gehen wir folgendermassen vor: Wir wählen ein positives $x$ und betrachten jene Basis $b$ , für die

b^x = 1+x

oder, nach $b$ aufgelöst,

b = (1+x)^{\frac{1}{x}}

ist. Dies ist genau jene Basis, für die der Graph von $b^x$ die Gerade $1+x$ in einem Punkt mit der (positiven) $x$ -Koordinate $x$ schneidet. Wenn wir nun $x$ immer kleiner machen ( $x \to 0$ ), wird $b$ immer näher an $\mathrm{e}$ heranrücken. Wir berechnen sinngemäss

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

für grosse natürliche Zahlen $n$ , also $n \to \infty$ .

$n$	$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2.25$
$3$	$2.37$
$10$	$2.59\dots$
$100$	$2.70\dots$
$1000$	$2.716\dots$
$100000$	$2.71826\dots$
$100000000$	$2.71828\dots$

Definition 1: Euler'sche Zahl

Man verwendet als Definition für die Euler'sche Zahl auch

\mathrm{e} := \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 2.718281828\dots

Definition 2: Natürliche Exponentialfunktion

Die entsprechende Exponentialfunktion

\exp(x) := \mathrm{e}^x

bezeichnet man als die natürliche Exponentialfunktion.

Die entsprechende Logarithmusfunktion, also die Umkehrfunktion von $x \mapsto \mathrm{e}^x$ , wird natürliche Logarithmusfunktion genannt:

\exp^{-1}(x) = \log_{\mathrm{e}}(x) =: \ln(x)

Note 2

Der Taschenrechner stellt mit speziellen Tasten sowohl die Funktionswerte $\mathrm{e}^x$ als auch die Funktionswerte $\ln(x)$ zur Verfügung.

Note 3

Fortgeschrittene Rechner verwenden als Basis einer Exponentialfunktion meist $\mathrm{e}$ und bezeichnen den $\ln$ oft als $\log$ .

Später werden wir in erster Linie nur noch diese beiden Funktionen verwenden, da sich alle anderen Exponential- und Logarithmusfunktionen auf diese beiden zurückführen lassen.

Diese Tatsache wollen wir mit den beiden nächsten Übungen vertiefen.

Exercise 3

Stelle die Exponentialfunktion $f(x)=3.5 \cdot 2^x$ als natürliche Exponentialfunktion der Form

f(x) = a \cdot \mathrm{e}^{cx}

dar.

Solution

\begin{align*} 3.5 \cdot 2^x &= a \cdot \mathrm{e}^{cx} \tag{$a=3.5$}\\ 2 &= \mathrm{e}^c \\ c &= \ln(2) \end{align*}

Also ist $f(x) = 3.5 \cdot 2^x = 3.5 \cdot \mathrm{e}^{\ln(2) \cdot x}$ .

Exercise 4

Für die Zeit während der Ausbreitung einer Epidemie kann man die Anzahl der nach $t$ Tagen infizierten Individuen durch die folgende Modellfunktion angeben:

N(t) = \frac{M}{1+c\mathrm{e}^{-at}}

Für eine bestimmte Epidemie seien $M = 1000$ , $c = 999$ und $a = 0.4$ .

a) Wie viele Individuen sind nach 0, 10, 20 und 30 Tagen infiziert?

b) Nach wie vielen Tagen sind 200, 500 und 950 Individuen infiziert?

c) Zeichne den Graphen der Funktion.

Solution

a) $1$ , $52$ , $749$ , $994$

\begin{align*} N &= \frac{M}{1+c\mathrm{e}^{-at}} \\ N + Nc\mathrm{e}^{-at} &= M \\ Nc\mathrm{e}^{-at} &= M-N \\ \mathrm{e}^{-at} &= \frac{M-N}{Nc} \tag{$(\dots)^{-1}$} \\ \mathrm{e}^{at} &= \frac{Nc}{M-N} \tag{$\ln(\dots)$} \\ at &= \ln\left(\frac{Nc}{M-N}\right) \\ t &= \frac{1}{a}\ln\left(\frac{Nc}{M-N}\right) \end{align*}

$t(200) \approx 13.8$ , $t(500) \approx 17.3$ und $t(950) \approx 24.6$

c) Der Graph ist eine sogenannte logistische Funktion, Geogebra.