Funktionsverwandtschaften

In diesem Abschnitt wollen wir uns Funktionen anschauen, welche insofern miteinander verwandt sind, als dass deren Graphen durch eine Translation oder eine Streckung ineinander übergeführt werden können.

Untersuchung der Verwandtschaften

Example 1

Wir betrachten den Graphen einer beliebigen Funktion $y=f(x)$ . Wie sieht der Graph der Funktion $g(x)$ aus, der aus dem Graphen von $f$ entsteht, indem man letzteren um $1$ in $y$ -Richtung verschiebt? Wie lautet die Funktionsgleichung von $g$ ?

Verschiebung in $y$ -Richtung

Wir verschieben den Graphen von $f$ um $1$ in $y$ -Richtung und erhalten folgendes Bild:

Wegen der Verschiebung um $1$ in $y$ -Richtung ist jeder Wert von $g(x)$ um $1$ grösser als der entsprechende Wert von $f(x)$ . Deshalb ist $g(x)=f(x)+1$ . Allgemein kann man also sagen, dass der Graph von $f(x)+a$ aus dem Graphen von $f(x)$ durch eine Verschiebung parallel zur $y$ -Achse um den Wert $a$ hervorgeht.

Verschiebung in $x$ -Richtung

Verschiebe den Graphen von $f$ um $1$ in $x$ -Richtung und zeichne ihn. Wie lautet die Funktionsgleichung $g(x)$ des neuen Graphen? Formuliere eine Verschiebung in $x$ -Richtung um den Wert $a$ allgemein.

Für das Folgende ist es praktisch, den Begriff der affinen Abbildung einzuführen.

Definition 1

Eine Abbildung (Funktion/Translation) heisst affin, wenn die Verbindungsgeraden zwischen Ausgangspunkt $P$ und Bildpunkt $P'$ alle parallel sind. Die Richtung dieser Parallelen heisst Affinitätsrichtung.

Theorem 1

Der Abstand eines Bildpunktes von einer festen Geraden, der Affinitätsachse, beträgt das $k$ -fache des Abstandes des Ausgangspunktes von dieser Geraden, wobei $k\in\R$ . $k$ heisst Affinitätsfaktor.

Example 2

Betrachte den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$ . Lasse anschliessend zusätzlich den Graphen von $g(x)=\frac{1}{2}x^2$ zeichnen. Die Translation, welche den Graphen von $f$ in $g$ überführt, ist eine affine Abbildung mit Affinitätsfaktor $k=\frac{1}{2}$ , hat als Affinitätsachse die $x$ -Achse und die Affinitätsrichtung ist parallel zur $y$ -Achse.

Streckung in $y$ -Richtung

Bilde den Graphen von $f$ affin in $y$ -Richtung ab, wobei du als Affinitätsachse die $x$ -Achse wählst und $k=2$ . Wie lautet die Funktionsgleichung $g(x)$ ?

Streckung in $x$ -Richtung

Zeichne den Graphen von $g(x)=f(2x)$ . Bestimme Affinitätsachse, Affinitätsrichtung und Affinitätsfaktor dieser Translation, die den Graphen von $f$ in denjenigen von $g$ überführt.

Spiegelung an der $x$ -Achse

Zeichne den Graphen von $g$ , welcher durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $x$ -Achse entsteht, und bestimme die Funktionsgleichung von $g$ . Gib anschliessend an, um welche affine Abbildung es sich hierbei handelt.

Spiegelung an der $y$ -Achse

Zeichne den Graphen von $g$ , welcher durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $y$ -Achse entsteht, und bestimme die Funktionsgleichung von $g$ . Gib anschliessend an, um welche affine Abbildung es sich hierbei handelt.

Zusammenfassung

Der Graph von	geht aus dem Graphen von $f(x)$ hervor durch
$f(x)+a$	eine Translation parallel zur $y$ -Achse um $a$
$f(x-a)$	eine Translation parallel zur $x$ -Achse um $a$
$af(x)$	eine affine Abbildung mit Affinitätsrichtung $y$ -Achse, Affinitätsachse $x$ -Achse und Affinitätsfaktor $a$
$f(ax)$	eine affine Abbildung mit Affinitätsrichtung $x$ -Achse, Affinitätsachse $y$ -Achse und Affinitätsfaktor $\frac{1}{

Exercise 1

Zeichne die Graphen von $f(x)=x^2$ , $g(x)=(x-2)^2$ und $h(x)=(x+3)^2$ in ein und dasselbe Koordinatensystem.
Zeichne die Graphen von $f(x)=\log(x)$ , $g(x)=\log(x+1)$ und $h(x)=1+\log(x)$ in ein und dasselbe Koordinatensystem.
Zeichne die Graphen von $f(x)=x^2$ , $g(x)=(x+1)^2-2$ und $h(x)=(x-2)^2+1$ in ein und dasselbe Koordinatensystem.
Zeichne die Graphen von $f(x)=2^x$ , $g(x)=2^{x-1}$ und $h(x)=\frac{1}{2} \cdot 2^x$ in ein und dasselbe Koordinatensystem.

Solution

Es kann Geogebra konsultiert werden. Wir erinnern uns an die Scheitelform und die trigonometrischen Funktionen.

Funktionsverwandtschaften

Untersuchung der Verwandtschaften

Verschiebung in yy-Richtung

Verschiebung in xx-Richtung

Streckung in yy-Richtung

Streckung in xx-Richtung

Spiegelung an der xx-Achse