Trigonometrische Funktionen

Note 1

Bekanntlich liegt im rechtwinkligen Dreieck die längste Seite, die Hypotenuse, gegenüber dem rechten Winkel. Die beiden anderen Seiten nennt man Katheten.

Für die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck wählt man in diesem Kontext $h$ für die Hypotenuse, $a$ für die Ankathete und $g$ für die Gegenkathete. Die beiden Katheten werden also bezüglich ihrer Lage zum betrachteten Winkel benannt.

Die Sinusfunktion

Exercise 1: Dreieck mit 35^\circ

Zeichne zwei verschieden grosse rechtwinklige Dreiecke, bei denen ein spitzer Winkel $35^\circ$ beträgt. Bestimme bei beiden Dreiecken das Verhältnis

\frac{\text{Gegenkathete des } 35^\circ\text{-Winkels}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{g}{h}

durch Messung und Division.

Als Gegenkathete bezeichnet man diejenige Kathete, welche dem gegebenen Winkel gegenüberliegt.

Solution

Das Resultat hängt natürlich von der Messgenauigkeit ab. Wir erhalten etwa $0.57$ .

Weil die beiden Dreiecke ähnlich sind, sind die berechneten Verhältnisse gleich gross; und zwar für sämtliche rechtwinklige Dreiecke mit dem Winkel $35^\circ$ . Deshalb hat man festgelegt:

Definition 1: Sinus

In einem rechtwinkligen Dreieck heisst das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse Sinus des der Kathete gegenüberliegenden Winkels, und man schreibt

\sin(\alpha) := \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{g}{h}

(Sinus Definition kommentiert)

Exercise 2: Sinus TR

Berechne mit dem TR $\sin(30^\circ)$ und $\sin(35^\circ)$ .

Solution

Es ist $\sin(30^\circ)=0.5$ und $\sin(35^{\circ})\approx0.57$ .

Exercise 3: Plot Sinus

Zeichne den Graphen der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ über dem Intervall $[0^\circ, 90^\circ]$ . Berechne dazu mit dem Taschenrechner die entsprechenden Funktionswerte. Wähle günstige Winkel, deren Sinus du exakt bestimmen kannst; also beispielsweise $0, 30, 45, 60, 90$ Grad.

Solution

Verwende $\sin(0^{\circ})=0$ , $\sin(30^{\circ})=0.5$ , $\sin(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\sin(90^{\circ})=1$ sowie Geogebra.

(Sin-Wave kommentiert)

Exercise 4: Katheten

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Hypotenuse $\qty{12}{cm}$ und ein spitzer Winkel $25^\circ$ . Wie lang sind die Katheten?

Solution

Für die Ankathete $a$ des Winkels ist $\cos(25^\circ)=\frac{a}{12}$ , also $a=12\cdot\cos(25^\circ)\approx\qty{10.9}{cm}$ . Die andere Kathete $g$ berechnet man mit Pythagoras oder rascher via $\sin(25^\circ)=\frac{g}{12}$ , also $g=12\cdot\sin(25^\circ)\approx\qty{5.1}{cm}$ .

Exercise 5: Sonnenkollektor

Ein rechteckiger Sonnenkollektor der Länge $\qty{2}{m}$ soll mit einem Neigungswinkel von $75^\circ$ gegenüber der Horizontalen so an eine Hauswand gestellt werden, dass die eine Breite die Wand und die andere den Boden berührt. In welcher Höhe über dem Boden berührt die eine Breite die Hauswand?

Solution

Der Sonnenkollektor ist die Hypotenuse und die gesuchte Höhe $g$ die Gegenkathete zum Neigungswinkel: $\sin(75^{\circ})=\frac{g}{2}$ . Die Höhe ist $g=2\cdot\sin(75^{\circ})\approx\qty{1.93}{m}$ .

Exercise 6: Leiter

Eine Leiter lehnt an einer Wand. Sie ist $\qty{5}{m}$ lang, und ihr oberes Ende befindet sich $\qty{4}{m}$ über dem Boden.

Bestimme den Anstellwinkel $\theta$ der Leiter mit dem Boden in Grad.

Solution

Es gilt $\sin(\theta)=\frac{4}{5}$ .
Also

\theta=\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)\approx53.1^\circ

Exercise 7: Wetterballon

Ein kugelförmiger Wetterballon mit Durchmesser $d = \qty{16}{m}$ wird unter einem Sehwinkel $\alpha= 22'$ beobachtet. Wie weit ist der Ballon vom Beobachter entfernt?

Solution

Wir beachten erst mal, dass der Winkel sehr klein ist: $22'=\left(\frac{22}{60}\right)^{\circ}$ . Falls die Vorstellungskraft nicht reicht, muss skizziert werden. Das punktförmige Auge sieht den kugelförmigen Wetterballon unter dem Winkel gebildet durch die zwei Tangenten an den kreisförmigen Wetterballon.

Das Auge, eine Tangente zusammen mit dem Radius, der Tangentenberührpunkt mit dem Mittelpunkt und die Strecke Mittelpunkt zum Auge bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Bei genauer Betrachtung muss man von der gesuchten Entfernung $D$ noch den Ballonradius abziehen. Wir haben die Hypotenuse $D+r$ und die Gegenkathete $r=\qty{8}{m}$ zum Winkel $\left(\frac{11}{60}\right)^{\circ}$ :

\begin{aligned} \sin\left(\frac{11}{60}^{\circ}\right) &= \frac{r}{D+r}\tag{$\cdot(D+r), \div\sin(\frac{11}{60}^{\circ})$}\\ D+r &= \frac{r}{\sin(\frac{11}{60}^{\circ})}\tag{$-r$}\\ D &= \frac{r}{\sin(\frac{11}{60}^{\circ})}-r \end{aligned}

Das tippen wir ein und erhalten $D\approx\qty{2492}{m}$ , also knapp $\qty{2.5}{km}$ .

Exercise 8: Snelliussches Brechungsgesetz

Vervollständige die Tabelle mithilfe von $\frac{\sin(\alpha)}{n_1} = \frac{\sin(\beta)}{n_2}$ .

$n_1$	$n_2$	Einfallswinkel $\alpha$	Brechungswinkel $\beta$
1.00		$30.0^\circ$	$19.6^\circ$
	1.33	$11.2^\circ$	$20.7^\circ$
1.49	1.00		$56.0^\circ$
1.31	1.49	$62.4^\circ$
1.33	1.33		$34.0^\circ$
1.49	1.00	$44.0^\circ$

Solution

Berechnungen mit $\frac{\sin(\alpha)}{n_1} = \frac{\sin(\beta)}{n_2}$ :

Zeile 1: $n_2 = \frac{n_1\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} \approx 1.49$
Zeile 2: $n_1 = \frac{n_2\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \approx 2.42$
Zeile 3: $\alpha = \arcsin\left(\frac{n_2\sin(\beta)}{n_1}\right) \approx 33.8^\circ$
Zeile 4: $\beta = \arcsin\left(\frac{n_1\sin(\alpha)}{n_2}\right) \approx 51.2^\circ$
Zeile 5: $n_1=n_2 \Rightarrow \alpha=\beta=34.0^\circ$
Zeile 6: $n_1>n_2$ und $\alpha=44.0^\circ>\alpha_\text{krit}=\arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\approx 42.2^\circ \Rightarrow$ Totalreflexion (kein $\beta$ ).

$n_1$	$n_2$	Einfallswinkel $\alpha$	Brechungswinkel $\beta$
1.00	1.49	$30.0^\circ$	$19.6^\circ$
2.42	1.33	$11.2^\circ$	$20.7^\circ$
1.49	1.00	$33.8^\circ$	$56.0^\circ$
1.31	1.49	$62.4^\circ$	$51.2^\circ$
1.33	1.33	$34.0^\circ$	$34.0^\circ$
1.49	1.00	$44.0^\circ$	— (Totalreflexion)

Hinweis zu Stoffen (typische Brechungsindizes): $1.00$ (Luft), $1.33$ (Wasser), $\approx 1.49$ (Kronglas), $\approx 2.42$ (Diamant).

Exercise 9: Reflexion und Brechung

Der Einfallswinkel eines Lichtstrahls, der aus der Luft ins Wasser tritt, beträgt $55^\circ$ .
Wie gross ist der Winkel zwischen dem reflektierten und dem gebrochenen Strahl?

Solution

Wir setzen $n_1=1.00$ (Luft) und $n_2=1.33$ (Wasser).
Das Reflexionsgesetz liefert:

\alpha_\text{ref} = 55^\circ

Nach Snellius gilt:

n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta) \quad \Rightarrow \quad \sin(\beta) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\alpha)

Einsetzen:

\sin(\beta) = \frac{1.00}{1.33}\sin(55^\circ) \approx 0.615 \quad \Rightarrow \quad \beta \approx 38.0^\circ

Der Winkel zwischen dem reflektierten und dem gebrochenen Strahl ist daher

90^\circ-\alpha_\text{ref} + 90^\circ-\beta = 35^\circ + 52^\circ = 87^\circ

Die Cosinusfunktion

Definition 2: Cosinus

In allen rechtwinkligen Dreiecken mit einem spitzen Winkel $\alpha$ ist das Verhältnis von Ankathete von $\alpha$ zu Hypotenuse aus Gründen der Ähnlichkeit gleich gross. Man nennt es Cosinus des der Kathete anliegenden Winkels.

\cos(\alpha) := \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{h}

Exercise 10: Cosinus Def

Zeichne ein Bild zur Cosinus-Definition.

Solution

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und wähle einen spitzen Winkel, den du mit $\alpha$ bezeichnest. Die restlichen Bezeichnungen ergeben sich nun und du kannst $\cos(\alpha)=\frac{a}{h}$ notieren.

Exercise 11: Plot Cosinus

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\cos(x)$ über dem Intervall $[0^\circ, 90^\circ]$ .

Solution

Wie bei der entsprechenden Aufgabe beim Sinus berechnet man ein paar ausgewählte Werte und skizziert dann den Verlauf des Graphen. $\cos(0^{\circ})=1$ , $\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ und $\cos(90^{\circ})=0$ sollten reichen. Der Graph wird mit dem Plot von Geogebra verglichen.

Exercise 12: Leiter

Eine Leiter mit der Länge $l = \qty{6.4}{m}$ lehnt an einer Wand. Ihr Fuss ist $a = \qty{2.8}{m}$ von der Wand entfernt. Wie gross ist ihr Neigungswinkel?

Solution

Die Entfernung von der Wand ist die Ankathete des gesuchten Winkels. Die Leiter ist die Hypotenuse, also

\begin{aligned} \cos(\alpha) &= \frac{2.8}{6.4}\tag{$\cos^{-1}(\phantom{x})$}\\ \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{2.8}{6.4}\right) \end{aligned}

Und wir erhalten für den Winkel ca. $64.1^{\circ}$ .

Note 2

Den Winkel in obiger Aufgabe bestimmt man mit der Inversfunktion des Cosinus, $\cos^{-1}$ oder auch arccos (sprich "Arcus-Cosinus") genannt, indem man sie auf beide Seiten der Gleichung anwendet:

\begin{aligned} \cos(\alpha) &= \frac{2.8}{6.4} \tag{$\cos^{-1}(\phantom{x})$}\\ \cos^{-1}(\cos(\alpha)) &= \cos^{-1}\left(\frac{2.8}{6.4}\right)\\ \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{2.8}{6.4}\right) \approx 64.1^\circ \end{aligned}

Note 3

Wie üblich bei Funktionen steht das " $\phantom{f}^{-1}$ " nicht für den Kehrwert, sondern für die Inversfunktion von $f$ . Also im Allgemeinen gilt

\cos^{-1}(\alpha)\neq\frac{1}{\cos(\alpha)}\text{, sondern }\cos^{-1}(\alpha)=\arccos(\alpha).

Exercise 13: Bahnstrecke

Eine Bahnstrecke hat auf der Karte $1:25\,000$ eine Länge von $s = \qty{18}{mm}$ und fällt unter $\alpha = 8^\circ$ . Wie lang ist sie?

Solution

Der Massstab wird am Schluss angewendet. Auf der Karte ist die Projektion auf die Ebene sichtbar, aber bei der wahren Streckenlänge handelt es sich um die Hypotenuse.

Wir haben also $\cos(8^{\circ})=\frac{18}{h}$ , woraus $h=\frac{18}{\cos(8^{\circ})}\approx18.2$ folgt. Also ist die Strecke in Realität $\qty{454}{m}$ .

Exercise 14: Erdrotation

Mit welcher Geschwindigkeit bewegen wir uns aufgrund der Erdrotation?

Solution

Wir verwenden das Kugelmodell der Erde für Thun, $46^{\circ}45'32''$ N; für die Geschwindigkeit ist der Längengrad irrelevant.

Die Geschwindigkeit berechnet sich zu $v=\frac{s}{t}$ . Es ist $t\approx\qty{24}{h}$ bekannt und $s$ muss berechnet werden. Dafür wird der Radius $r'$ zur Rotationsachse für den Breitengrad von Thun berechnet. Es ist $\cos(46^{\circ}45'32'')=\frac{r'}{r_{E}}$ . Daraus folgt für den Weg $s=2\pi\cdot r_{E}\cos(46^{\circ}45'32'')$ . Bei einem mittleren Erdradius $r_{E}=\qty{6370}{km}$ erhalten wir für die Geschwindigkeit $v\approx\frac{27419.2}{24}\approx\qty{1142}{km/h}$ .
(kommentierte Lösung.)

Exercise 15: Hypotenuse

Zeige, dass im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $h=1$ gilt:

g=\sin(\alpha)\quad\text{und}\quad a=\cos(\alpha)

Solution

Per Definition gilt:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{g}{h}$
$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{h}$

Da $h=1$ gesetzt ist, folgt unmittelbar:

\sin(\alpha) = \frac{g}{1} = g, \qquad \cos(\alpha) = \frac{a}{1} = a.

Die Tangensfunktion

Definition 3: Tangens

Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man das Verhältnis der Gegenkathete eines spitzen Winkels $\alpha$ zur Ankathete als den Tangens des Winkels $\alpha$ .

\tan(\alpha) := \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{g}{a}

Exercise 16: Def Tangens

Zeichne ein Bild zur Tangens-Definition.

Solution

Wie in den vorhergehenden Fällen wird ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel $\alpha$ gezeichnet und die An- sowie Gegenkathete benannt. Die Definition ist $\tan(\alpha)=\frac{g}{a}$ .

Exercise 17: Plot Tangens

Zeichne den Graphen der Tangensfunktion

f(x)=\tan(x)

über dem Intervall $[0^\circ, 90^\circ]$ .

Solution

Konsultiere Geogebra. Verwende einfache Werte: $\tan(0^{\circ})$ , $\tan(45^{\circ})=1$ oder $\tan(60^{\circ})$ .

Exercise 18: Tannenhöhe

Wie hoch ist eine Tanne, wenn ihr Schatten $s = \qty{27.5}{m}$ lang ist und die Sonnenstrahlen unter dem Winkel $\alpha = 38^\circ50'$ einfallen?

Solution

Für die Höhe der Tanne $H$ gilt $\tan\left((38+\frac{50}{60})^\circ\right)=\frac{H}{27.5}$ und damit $H=27.5\cdot \tan\left((38\frac{5}{6})^\circ\right)\approx\qty{22.1}{m}$ .

Exercise 19: Turm

Unter welchem Erhebungswinkel erscheint die Spitze des Berner Münsters ( $h = \qty{161}{m}$ ) von einer Stelle aus, die in waagrechter Richtung $e = \qty{150}{m}$ vom Fuss des Turmes entfernt ist? (Augenhöhe $a = \qty{1.5}{m}$ )

Solution

Es folgt unmittelbar $\tan(\alpha)=\frac{159.5}{150}$ . Somit ist $\alpha=\arctan\left(\frac{159.5}{150}\right)\approx46.8^{\circ}$ .

Exercise 20: Inversfunktionen

Bestimme die Werte:

a) $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

b) $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

c) $\arctan\left(\frac{1-x^2}{(1+x)(1-x)}\right)$

d) Berechne den Winkel $\theta$ , falls $\sin(\theta)=0.6$ und $0\leq\theta\leq90^\circ$ .

Solution

a) $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$

b) $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$

c) $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$

d) $\theta=\arcsin(0.6)\approx36.9^\circ$

Exercise 21: Eselsbrücke

Um dir die Definitionen der drei Winkelfunktionen $\sin$ , $\cos$ und $\tan$ zu verinnerlichen, gibt es zahlreiche Eselsbrücken; lerne eine!

Solution

Wir verwenden:

Gugelhopf, aha, geht auch!

Was den Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens entspricht.

Exercise 22: Wichtige Verhältnisse

Erstelle eine Wertetabelle für die drei Winkelfunktionen Sin, Cos und Tan zu den Winkeln $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ und $90^\circ$ .

Solution

Herleitung über ein gleichseitiges Dreieck oder ein Quadrat:

Winkel $\alpha$	$\sin(\alpha)$	$\cos(\alpha)$	$\tan(\alpha)$
$0^\circ$	$0$	$1$	$0$
$30^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90^\circ$	$1$	$0$	nicht definiert

Das Bogenmass

Um die Graphen der Sinus- und Cosinus-Funktion zu zeichnen, verwendet man üblicherweise das sogenannte Bogenmass.

Betrachte in Geogebra die Winkelfunktionen im Einheitskreis:

Open in GeoGebra

Definition 4: Bogenmass

Unter dem Bogenmass $\operatorname{arc}(\alpha)$ des Winkels $\alpha$ versteht man den Quotienten

\operatorname{arc}(\alpha) := \frac{b}{r}.

Die "Einheit" des Bogenmasses heisst Radian, kurz $\unit{rad}$ . (Bogenmass kommentiert)

Note 4

Aus Ähnlichkeitsgründen ist das Bogenmass unabhängig von der Wahl des Kreisradius.

Note 5

Beachte, dass das Bogenmass eigentlich einheitenlos ist.

Exercise 23: Einheitskreis

Welchen Umfang hat der Einheitskreis?

Solution

Ein Einheitskreis hat den Radius $r=1$ . Daher ist der Umfang $U=2\pi r=2\pi\cdot1=2\pi\approx6.28$ .

Das Bogenmass gibt uns die Möglichkeit, Winkel als dimensionslose Zahlenwerte darzustellen. Da das Bogenmass unabhängig von der Wahl des Kreisradius ist, kann man sich für einen gegebenen Winkel das Bogenmass als Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis vorstellen. Weil dort $r = 1$ ist, vereinfacht sich das Bogenmass zu

\operatorname{arc}(\alpha) =\frac{b}{1}=b.

Für das Bogenmass in einem beliebigen Kreis gilt:

Theorem 1

b = r\cdot\operatorname{arc}(\alpha)

Proof

Folgt direkt aus der Definition nach Multiplikation mit $r$ .

Exercise 24: Bogenmass-Tabelle

Erstelle eine Tabelle für das Bogenmass zu den folgenden Winkeln im Gradmass: $360^\circ$ , $180^\circ$ , $90^\circ$ , $45^\circ$ , $1^\circ$ , $\alpha$ .

Solution

Gradmass	Bogenmass
$360^\circ$	$2\pi$
$180^\circ$	$\pi$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$
$1^\circ$	$\frac{\pi}{180}$
$\alpha^\circ$	$\frac{\pi}{180}\cdot\alpha$

Der folgende Satz gibt das Rezept an, wie man zu einem Winkel $\alpha$ im Gradmass das zugehörige Bogenmass $\operatorname{arc}(\alpha)$ bestimmt.

Theorem 2

\operatorname{arc}(\alpha) = \frac{\pi}{180^\circ}\cdot\alpha

Proof

Es gilt

\operatorname{arc}(\alpha) = \frac{b}{r}

wobei die Länge des Bogens $b$ abhängig vom Winkel $\alpha$ ist und den Bruchteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ des ganzen Kreisumfangs $2\pi r$ ausmacht. Also

\operatorname{arc}(\alpha) = \frac{2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}}{r} = \frac{2\pi\cdot\alpha}{360^\circ}= \frac{\pi\cdot\alpha}{180^\circ}

Note 6

Der Taschenrechner kann Winkel unter anderem im Bogen- oder Gradmass darstellen. Setzt man im $\fbox{Mode}$ die Variable Angle auf Rad, so interpretiert er Winkel im Bogenmass (Radian); wählt man Deg, so erwartet er Winkel im Gradmass (Degree).

Exercise 25: Plot Sinus und Cosinus

Zeichne die Graphen der Sinus- und Cosinus-Funktion über dem Intervall $[-3\pi, 3\pi]$ . Wähle auf der $x$ -Achse die Winkel im Bogenmass.

Solution

Geogebra hilft bei der Kontrolle.

Es gibt offenbar zu jedem Sinus-Wert einen gleich grossen Cosinus-Wert und umgekehrt. Diese Tatsache lässt sich durch folgende Formeln ausdrücken:

\begin{aligned} \sin(\alpha) &= \cos(90^\circ - \alpha)\\ \cos(\alpha) &= \sin(90^\circ + \alpha) \end{aligned}

Wir wollen die beiden eben kennengelernten Winkelfunktionen betrachten und stellen sie als Funktion in Abhängigkeit des Winkels dar. Dabei können die Funktionen für beliebige Winkel definiert werden. Die Graphen von

f(\alpha)=\sin(\alpha)

und

g(\alpha)=\cos(\alpha)

sehen wie folgt aus:

Alle drei zusammen ergeben folgendes Bild:

Zusammenhänge zwischen Sinus, Cosinus und Tangens

Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse $h$ .

Aus der Figur erkennt man:

Theorem 3

\begin{aligned} &\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\\ &\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \end{aligned}

Proof

Dies ist eine Übung.

Exercise 26: Winkel-Pythagoras

Beweise den obigen Satz.

Solution

Zuerst zu (2): Nach Definition ist

\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\frac{\frac{g}{h}}{\frac{a}{h}}=\frac{g}{a}=\tan(\alpha).

Zu (1): Nach Pythagoras gilt mit den üblichen Bezeichnungen

\begin{aligned} a^2+g^2 &= h^2\\ \frac{a^2}{h^2} + \frac{g^2}{h^2} &= 1\\ \left(\frac{a}{h}\right)^2 + \left(\frac{g}{h}\right)^2 &= 1\\ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) &= 1 \end{aligned}

Note 7

Anstelle von $(\sin(\alpha))^2$ schreibt man kürzer $\sin^2(\alpha)$ (sprich: "Sinusquadrat Alpha"); analog für die anderen Winkelfunktionen.

Note 8

Hat man die Sinus-Werte beliebiger Winkel, so lassen sich daraus auch die Cosinus- und Tangens-Werte berechnen. Man benutzt dazu den obigen Satz.

Exercise 27: Berechnung ohne TR

Es sei $\sin(\alpha) = 0.6$ . Berechne mithilfe der Formeln aus dem obigen Satz $\cos(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ ohne Taschenrechner.

Solution

Aus $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ folgt $\cos(\alpha) = \sqrt{1-0.6^2} = \sqrt{1-0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$ . Der Tangens ergibt sich zu $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$ .

Exercise 28: Wichtige Werte

Berechne die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel $30^\circ, 45^\circ$ und $60^\circ$ mithilfe der Definitionen. Gib die Werte als Brüche an (ohne Taschenrechner).

Solution

Im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge $s$ findet man: $\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}$ . Nun können die anderen Winkelfunktionswerte analog wie oben bestimmt werden oder direkt über das gleichseitige Dreieck. $\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ erhält man ebenfalls direkt. Für den $45^{\circ}$ -Winkel betrachtet man die Hälfte eines Quadrats und findet $\tan(45^{\circ})=1$ . Damit können auch die restlichen Werte berechnet werden: $\sin(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(45^{\circ})$ , $\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^{\circ})$ sowie $\tan(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $\tan(60^{\circ})=\sqrt{3}$ .

Note 9

Auf diese Weise lassen sich die trigonometrischen Funktionswerte nur für spezielle Winkel berechnen. Zur Berechnung der Sinus-Werte beliebiger Winkel kann folgende Formel verwendet werden, die wir später herleiten werden (im SF oder EF AM):

\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots

$n!$ bedeutet $1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n$ , sprich " $n$ Fakultät".
Die Formel gilt nur, wenn $x$ im Bogenmass angegeben wird.

Exercise 29: Polynomdarstellung des Sinus

Berechne mit der oben angegebenen Formel $\sin(45^\circ)$ näherungsweise mit den ersten vier Summanden und vergleiche das Resultat mit dem Wert aus der Übung "Wichtige Werte".

Solution

$45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$ , also $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{(\frac{\pi}{4})^{3}}{3!}+\frac{(\frac{\pi}{4})^{5}}{5!}-\frac{(\frac{\pi}{4})^{7}}{7!}\approx0.70710647$ .

Exercise 30: Tangens als Cosinus

Schreibe $1+\tan^2(\alpha)$ als Term mit Cosinus-Werten.

Solution

$1+\tan^{2}(\alpha)=1+\frac{\sin^{2}(\alpha)}{\cos^{2}(\alpha)}=\frac{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{1}{\cos^{2}(\alpha)}$ .

Exercise 31: Winkelfunktionssätze

Vereinfache so weit wie möglich und so, dass nur eine Winkelfunktion im Term steht.

a) $\tan(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$

b) $\sin^3(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot\cos^2(\alpha)$

c) $\frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)}$

d) $\sqrt{1+\cos(\alpha)}\cdot\sqrt{1-\cos(\alpha)}$

e) $\sin^4(\alpha)-\cos^4(\alpha)$

f) $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1$

Solution

a) $\tan(\alpha)\cdot\cos(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot\cos(\alpha)=\sin(\alpha)$

b) $\sin^3(\alpha)+\sin(\alpha)\cdot\cos^2(\alpha)=\sin(\alpha)\cdot(\sin^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\alpha))=\sin(\alpha)$

c) $\frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)}=\frac{\sin(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}=\cos(\alpha)$

d) $\sqrt{1+\cos(\alpha)}\cdot\sqrt{1-\cos(\alpha)}=\sqrt{1-\cos^{2}(\alpha)}=\sin(\alpha)$

e) $\sin^4(\alpha)-\cos^4(\alpha)=(\sin^2(\alpha)-\cos^2(\alpha))(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha))=\sin^2(\alpha)-\cos^2(\alpha)=2\sin^2(\alpha)-1$

f) $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}-1=\frac{1-\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}=\tan^2(\alpha)$

Überblick über die Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks

Exercise 32: Zahnradbahn

Eine Zahnradbahn steigt auf einer Strecke $s=\qty{1350}{m}$ mit $13.5\,\%$ . Wie gross sind der Neigungswinkel und der Höhenunterschied?

Solution

$s$ ist die Hypotenuse und $0.135$ als Steigung das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Also beträgt der Steigungswinkel $\alpha=\arctan(0.135)\approx7.7^\circ$ . Der Höhenunterschied ist die Gegenkathete zu diesem Winkel: $g=s\cdot\sin(7.7^\circ)\approx\qty{181}{m}$ .

Exercise 33: Flussbreite

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am Ufer die Standlinie $\overline{AB}=\qty{85}{m}$ abgesteckt. Der A gegenüberliegende Punkt C des anderen Ufers wird in B unter einem Winkel von $\alpha = 53^\circ16'$ gepeilt. Bestimme die Breite des Flusses.

Solution

Wir wollen die Gegenkathete zum Winkel $\alpha = 53^\circ16'$ mit Ankathete $\overline{AB}=\qty{85}{m}$ bestimmen: $\tan(53.2667^\circ)=\frac{g}{85}$ , also $g=85\tan(53^\circ16')\approx\qty{114}{m}$ .

Exercise 34: Gleichschenkliges Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck ist $a=\qty{65.4}{m}$ und $c=\qty{54.7}{m}$ . Berechne die fehlenden Winkel sowie den Flächeninhalt.

Solution

Die Höhe auf die Basis $c$ liefert zwei rechtwinklige, zueinander kongruente Dreiecke. Der Basiswinkel ist $\alpha=\arccos\left(\frac{27.35}{65.4}\right)\approx65.3^{\circ}$ . Der Winkel an der Spitze ist $\gamma = 180^\circ - 2\alpha \approx 49.4^\circ$ . Um den Flächeninhalt zu bestimmen, brauchen wir die Höhe $h_{c}=\sqrt{65.4^{2}-27.35^{2}}\approx\qty{59.4}{m}$ . Es folgt $F=\frac{59.4\cdot54.7}{2}\approx\qty{1625}{m^{2}}$ .

Exercise 35: Regelmässiges n-Eck

Berechne den Umfang eines regelmässigen $n$ -Ecks, dessen Umkreisradius $r=0.5$ beträgt für

a) ein $4$ -Eck

b) ein $10$ -Eck

c) ein $100$ -Eck

d) ein $1000$ -Eck

Welcher Zahl nähert sich der Umfang für ein "sehr viel-Eck"?

Solution

a) In einem Quadrat mit Diagonale $1$ sind die Seiten $s = r \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}$ . Der Umfang ist also $U_{4}=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$ .

b) Ein $n$ -Eck besteht aus $n$ Bestimmungsdreiecken. Der halbe Zentriwinkel ist $\alpha = \frac{180^\circ}{n}$ . Die halbe Seitenlänge ist $r \cdot \sin(\alpha)$ . Somit gilt $U_n = n \cdot 2r \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = n \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$ . $U_{10} = 10 \cdot \sin(18^\circ) \approx 3.09$ .

Für $n \to \infty$ nähert sich der Umfang dem Kreisumfang $2\pi r = 2\pi \cdot 0.5 = \pi \approx 3.14159$ .

Anwendungen

Bei vielen Anwendungen kommen sich wiederholende Erscheinungen vor; für ihre mathematische Beschreibung sind die trigonometrischen Funktionen zuständig. Wir haben bereits die elementaren Funktionen $\sin, \cos$ bzw. $\tan$ kennengelernt. Sie sind periodisch mit der Periode $2\pi$ bzw. $\pi$ .

Exercise 36: Amplitude, Frequenzen, \dots

Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der Funktionen

a) $\sin(2x), \sin(\frac{x}{2})$ ,

b) $2\cos(x), 0.5\cos(x)$ ,

c) $\sin(x + \frac{\pi}{2}), \sin(x - \frac{\pi}{4})$ ,

d) $2\cos(x + \frac{\pi}{3}), 3\cos(x - \frac{\pi}{2})$ .

Solution

Konsultiere wie üblich Geogebra.

Exercise 37: Plot Arcus-Sinus

Die Sinusfunktion ist im Intervall $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ monoton wachsend; sie hat also für dieses Intervall eine Umkehrfunktion. Ihr Name ist Arcus-Sinus und wird mit $\arcsin$ oder $\sin^{-1}$ bezeichnet.

f^{-1}(x)=\arcsin(x)

Überlege dir, welchen Wertebereich die Funktion hat und zeichne den Graphen von $\arcsin$ durch Spiegelung des Graphen von $\sin$ an der 1. Winkelhalbierenden.

Verfahre ebenso für $\cos$ und $\tan$ .

Solution

$\arcsin$ hat die Definitionsmenge $[-1, 1]$ und die Wertemenge $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ . Bei $\arccos$ ist die Definitionsmenge ebenfalls $[-1, 1]$ und die Wertemenge $[0, \pi]$ . $\arctan$ hat die Definitionsmenge $\mathbb{R}$ und die Wertemenge $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ . Plotte diese in Geogebra.

Note 10

$\arctan$ induziert in natürlicher Weise eine Bijektion von $\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$ auf $(0, 1)$ .

Exercise 38: (0,1) isomorph zu \mathbb{R}

Zeige die obige Aussage: $\arctan$ induziert in natürlicher Weise eine Bijektion von $\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$ auf $(0, 1)$ .

Solution

Wir verschieben $h(x)=\arctan(x)$ um $\frac{\pi}{2}$ nach oben (damit alle Werte positiv sind) und stauchen die Amplitude mit dem Faktor $\frac{1}{\pi}$ : $f(x) = \frac{1}{\pi}(\arctan(x)+\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\pi}\arctan(x)+\frac{1}{2}$ ist eine Bijektion von $\mathbb{R}$ auf $(0, 1)$ .

Polarkoordinaten

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem kann die Lage eines Punktes $P\neq(0|0)$ nicht nur durch seine kartesischen Koordinaten $(x|y)$ , sondern auch durch seinen Abstand $r>0$ vom Ursprung und einen Richtungswinkel $\varphi\in[0, 2\pi)$ eindeutig angegeben werden.

Definition 5: Polarkoordinaten

Das Paar $(r\mid\varphi)$ nennt man die Polarkoordinaten von $P$ .

Polarkoordinaten können insbesondere dann nützlich sein, wenn in Kugelsymmetrien gerechnet wird oder punktsymmetrische Probleme gelöst werden müssen.