Lineare Gleichungen

Äquivalenzumformungen von Gleichungen

Der einfachste Gleichungstyp ist von der Bauart

x=7.

Die Lösung dieser Gleichung liest man direkt ab, nämlich $7$ . Manchmal gibt man auch die sogenannte Lösungsmenge an, hier $\{7\}$ . Üblicherweise sind Gleichungen komplizierter zu formulieren und die Lösung kann nicht direkt abgelesen werden, beispielsweise

13x-7 = 5x+4.

Um solche Gleichungen lösen zu können, format man sie so lnage um, bis man auf den einfachen Typ $x=a$ kommt. Bei diesen Umforumgen dürfen aber keine Lösungen hinzukommen und auch keine verlorengehen.

Definition 1: Äquivalenzumformungen

Zwei Gleichungen heissen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen. Eine Gleichungsumformung heisst Äquivalenzumformung, wenn die ursprüngliche Gleichung und die neue Gleichungen äquivalent sind.

Note 1

Man kann sich davon überzeugen, dass die Grundoperationen Äquivalenzumformungen sind.

Example 1

Zum Beispiel haben die Gleichungen $x=7$ und die durch die Äquivalenzumformung $+3$ gebildete Gleichung $x+3=10$ dieselbe Lösungsmenge.

Example 2

Nehmen wir die Gleichung

x=7

und quadrieren beide Seiten, $(\phantom{x})^2$ . Was kannst du jetzt über die Lösungsmenge der Gleichung

x^2=49

sagen?

Solution

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Die erste Gleichung hat offensichtlich die Lösungsmenge $\{7\}$ , die zweite Gleichung aber die Lösungsmenge $\{7,-7\}$ . Durch das Quadrieren ist also eine weitere Lösung dazu gekommen.

Lineare Gleichungen lösen

Definition 2: lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt.

Example 3

Die Gleichung

x+3=10

ist linear, da $x=x^1$ . Die Gleichung

x^2+x-1=0

hingegen ist keine linear Gleichung, da $x$ in der Potenz $2$ vorkommt. Die Gleichungen

\frac{2}{x}-1=0

und

3\sqrt{x}-4=2

sind ebenfalls keine lineare Gleichungen.

Wie lassen sich lineare Gleichungen lösen? Immer nach dem selben Prinzip: "Bringe $x$ -Terme auf die eine Seite, und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichen."

Example 4

Die Gleichung

3x-4 = 0

kann wie folgt gelöst werden:

\begin{align*} 3x -4 & = 0 \tag{$+4$}\\ 3x & = 4 \tag{$\div3$}\\ x & = \frac{4}{3} \end{align*}

Example 5

Die Variabel $x$ ist auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen:

0.5 x-3 = 2 x+1

Wiederum, bringe alle $x$ auf die eine Seite, und alle Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichen:

\begin{align*} 0.5 x-3 & = 2 x+1\tag{$-2x$}\\ -1.5 x -3 & = 1 \tag{$+3$}\\ -1.5 x & =4 \tag{$\div-1.5$}\\ x & = \frac{4}{-1.5}={-2.\overline{6}} \end{align*}

Example 6

Wir lösen nun die Gleichung

3x+0.5x=x(3+0.5)=x\cdot 3.5=3.5x

\begin{align*} 0.5 x-3 +4x +5& = 2.4 x+1 -3x+2-6x\\ 4.5 x +2 & = -6.6x +3\tag{$+6.6x$}\\ 11.1 x +2 & = 3\tag{$-2$}\\ 11.1 x & =1\tag{$\div11.1$}\\ x & = \frac{1}{11.1}=\frac{10}{111} \end{align*}

Example 7

Und noch ein letztes Beispiel:

\begin{align*} 2x^2+4x-3 &= 2-x+2x^2 \tag{$-2x^2$}\\ 4x -3 & = 2-x\tag{$+x$}\\ 5x -3 & = 2\tag{$+3$}\\ 5x & = 5\tag{$\div5$}\\ x &= {1}\\ \end{align*}

Example 8

Und ein allerletztes Beispiel:

\begin{align*} \frac{4}{x}-3 &= 2\tag{$+3$}\\ \frac{4}{x} & = 5\tag{$\cdot x$}\\ 4 & = 5x\tag{$\div5$}\\ {\frac{4}{5}}& = x \end{align*}

Beachte, dass wir schon im ersten Schritt beide Seiten mit $x$ multiplizieren könnten:

\begin{align*} \frac{4}{x}-3 &= 2\tag{$\cdot x$}\\ x\cdot (\frac{4}{x}-3) &= 2x \\ 4-3x &= 2x\tag{$+3x$}\\ 4 &= 5x\tag{$\div5$}\\ \frac{4}{5} &= x \end{align*}

Note 2

Ich empfehle wärmsten, durch einen kurzen Check die berechneten Lösungen in der Ausgangsgleichung zu überprüfen. Beispielsweise hat man im letzten Beispiel $x=\frac{4}{5}$ erhalten. Wir checken:

\begin{align*} \frac{4}{\frac{4}{5}}-3 &= 2\\ 4\cdot\frac{5}{4}-3 &= 2\\ 5-3 &= 2\\ 2 &= 2\;\checkmark \end{align*}

Übungen

Exercise 1: Falls linear

Falls linear, löse die Gleichung nach $x$ auf.

a) $6x-10=x-5$

b) $-x-2=x+3$

c) $3-4x=5-2x-16$

d) $15x-73-24x=59-16+20x$

e) $56x-43-52-19x=7-72x-56x+165x-112$

f) $92-13x-x^2=52-3x-x^2$

g) $14-(10-x)=0$

h) $14-(x-15)=2-(6x+13)$

i) $5(4x+9)-6(2x-5)=75$

j) $10-6(x-14)=20-3(2x-25)$

k) $(15x-3)^2=x(225x-15)$

l) $(x-5)(x-2)=(x-4)(x-3)$

m) $(x+3)(x-5)=(x-3)^2$

n) $x^2-3x+14=x(x+7)$

o) $(2x-3)^2=(2x+3)^2+12$

p) $\frac{x}{4}+\frac{1}{5}=\frac{x}{2}+\frac{x}{6}$

q) $\frac{x+3}{5}=\frac{2x-8}{3}$

r) $\frac{3}{x}+1 = 2$

s) $\frac{7}{x}-4 = \frac{2}{x}+2$

t) $\frac{2}{x}+x = x+7$

Solution

a) $6x-10=x-5 \Leftrightarrow 5x=5 \Leftrightarrow x={1}$

b) $-x-2=x+3 \Leftrightarrow 2x=-5 \Leftrightarrow x={-2.5}$

c) $3-4x=5-2x-16 \Leftrightarrow 2x=14 \Leftrightarrow x={7}$

d) $15x-73-24x=59-16+20x \Leftrightarrow -29x=116 \Leftrightarrow x={-4}$

e) $56x-43-52-19x=7-72x-56x+165x-112 \Leftrightarrow 0 = 10 (?)\Leftrightarrow {no\, solution}$

f) $92-13x-4x^2=52-3x-4x^2 \Leftrightarrow 10x=40\Leftrightarrow x={4}$

g) $14-(10-x)=0 \Leftrightarrow 4+x=0 \Leftrightarrow x={-4}$

h) $14-(x-15)=2-(6x+13) \Leftrightarrow -x+29= -6x-11 \Leftrightarrow 5x = -40 \Leftrightarrow x={-8}$

i) $5(4x+9)-6(2x-5)=75 \Leftrightarrow 20x+45 -12x+30 = 75 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 8x=0 \Leftrightarrow x={0}$

j) $10-6(x-14)=20-3(2x-25) \Leftrightarrow 10-6x+84 = 20-6x+75 \Leftrightarrow 94=95(?) \Leftrightarrow {no \, solution}$

k) $(15x-3)^2=x(225x-15) \Leftrightarrow 225x^2-90x+9 = 225x^2-15x \Leftrightarrow 75x = 9 \Leftrightarrow x={0.12}$

l) $(x-5)(x-2)=(x-4)(x-3)\Leftrightarrow x^2-7x+10 = x^2-7x+12 \Leftrightarrow 10=12(?) \Leftrightarrow {no \, solution}$

m) $(x+3)(x-5)=(x-3)^2\Leftrightarrow x^2-2x-15 = x^2-6x+9 \Leftrightarrow 4x=24 x={6}$

n) $x^2-3x+14=x(x+7)\Leftrightarrow x^2-3x+14=x^2+7x \Leftrightarrow 10x=14 \Leftrightarrow x={1.4}$

o) $(2x-3)^2=(2x+3)^2+12\Leftrightarrow 4x^2 -12x+9 = 4x^2+12x+9+12\Leftrightarrow -24x=12 \Leftrightarrow x={-0.5}$

p) $\frac{x}{4}+\frac{1}{5}=\frac{x}{2}+\frac{x}{6}\Leftrightarrow \frac{x}{4}-\frac{x}{2}-\frac{x}{6} = -\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{3x-6x-2x}{12}=-\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{-5x}{12}=-\frac{1}{5}\Leftrightarrow x=\frac{12}{25}={0.48}$

q) $\frac{x+3}{5}=\frac{2x-8}{3}\Leftrightarrow x+3 = \frac{5(2x-8)}{3}\Leftrightarrow 3(x+3)=5(2x-8) \Leftrightarrow 3x+9=10x-40 \Leftrightarrow 7x=49 \Leftrightarrow x={7}$

r) $\frac{3}{x}+1 = 2\Leftrightarrow \frac{3}{x}=1\Leftrightarrow x={3}$

s) $\frac{7}{x}-4 = \frac{2}{x}+2\Leftrightarrow \frac{5}{x}=6 \Leftrightarrow 6x=5 \Leftrightarrow x={0.8\overline{3}}$

t) $\frac{2}{x}+x = x+7\Leftrightarrow 2+x^2 = x^2+7x \Leftrightarrow 7x=2 \Leftrightarrow x={\frac{2}{7}}$

Exercise 2: Sätzliufgabe

Finde die Gleichung und löse sie.

a) Die Summe fünf aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist $960$ . Finde diese Zahlen.

b) Die Differenz zweier natürlichen Zahlen ist $3$ , die Differenz der Quadrate $381$ . Finde diese Zahlen.

c) Eine Treppe in den ersten Stock hat $22$ Stufen. Würde jede Stufenhöhe um $1.6 cm$ erhöht, bräuchte es nur $20$ Stufen. Wie hoch sind die Treppenstufen?

d) Ein Baum hat die Höhe $2.5 m$ ist irgendwo in der Mitte gebrochen, und zwar so, dass der obere Teil nun den Boden $50 cm$ entfernt vom Stamm berührt. Auf welche Höhe ist die Bruchstelle des Baums?

e) Ein Zug mit Geschwindigkeit $72\,\text{km/h}$ verlässt den Bahnhof $A$ um 15:00 und fährt Richtung Bahnhof $B$ . Um 15:15 fährt ein andere Zug mit Geschwindigkeit $88\,\text{km/h}$ vom Bahnhof $B$ in Richtung $A$ . Die Distanz zwischen $A$ und $B$ betrage $120\,\text{km}$ . Wann kreuzen sich die Züge?

f) Hahnen 1 füllt den Pool in $1\,\text{Stunde}$ , Hahnen 2 in $2\,\text{Stunden}$ , Hahnen 3 in $3\,\text{Stunden}$ , und Hahnen 4 in $4\,\text{Stunden}$ . Wie lange dauert es den Pool zu füllen, wenn alle Hahnen gleichzeitig aufgedreht werden?

Solution

a) Es sei $x$ die kleinste dieser Zahlen. Die fünf Zahlen sind also $x$ , $x+1$ , $x+2$ , $x+3$ , $x+4$ . Die Summe ist $960$ , also

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=960,

was wir vereinfachen zu $$ {5x+10=960}.

Die Lösung ist

x=\frac{950}{5}={190}

Kontrolle: $190+191+192+193+194=960$ b) Es sei $x$ die kleinere der zwei Zahlen. Die grössere Zahl ist also $x+3$, da die Differenz $3$ sein muss. Wir erhalten die Gleichung

(x+3)^2-x^2=381

Um sie zu lösen, zuerst ausmultiplizieren

\begin{align*} (x+3)^2-x^2 & =381 \ {x^2}+6x+9 -{x^2} & = 381\tag{ $-9$ }\ 6x & = 372\tag{ $\div6$ }\ x & =\frac{372}{6}={62}\ \end{align*}

Kontrolle: $65^2-62^2=381$. c) Zeichne die Situation! Die Gleichung ist wie folgt, wobei $x$ die original Stufenhöhe ist:

{20 (x+1.6) = 22x}

Auflösen nach $x$:

\begin{align*} 20 (x+1.6) & = 22x \ 20x+32 & = 22x\tag{ $-20x$ }\ 32 & = 2x\tag{ $\div2$ }\ {16} & =x \end{align*}

Die originale Stufenhöhe ist also $16\,\text{cm}$. d) Zeichen die Situation! Es wird die folgenden Gleichung erhalten, wobei $x$ die Höhe der Bruchstelle ist (in cm):

{x^2+50^2 = (250-x)^2}

Die Lösung ist

\begin{align*} x^2+50^2 & = (250-x)^2 \ x^2+2500 & = 250^2-500x+x^2\tag{ $-x^2$ }\ 2500 & = 62,500-500x\tag{ $-62\,500$ }\ -60,000 & = -500x\tag{ $\div(-500)$ }\ {120} & =x \end{align*}

Die Höhe der Bruchstelle ist $120\,\text{cm}=1.2\,\text{m}$. e) Zeichne die Situation, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist, die die vergangene Zeit seit 15:15 misst. Die Gleichung ist ${102-160 t = 0}$, und somit $t=\frac{102}{160}=0.6375\,\text{h} = 38.25 \,\text{min}$. Die Züge kreuzen sich also um 15:53 und $15\,\text{Sekunden}$. f) Das Volumen des Pools sein $V$. Wir haben dann |Hahnen 1 | $\rightarrow$ | $1\,h \text{ füllt } V$ | $\rightarrow$ | $1\,h \text{ füllt } 1V$ | $\rightarrow$ | $x\, h \text{ füllt } x\cdot V$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| |Hahnen 2 | $\rightarrow$ | $2\,h \text{ füllt } V$ | $\rightarrow$ | $1\,h \text{ füllt } \frac{1}{2} V$ | $\rightarrow$ | $x\, h \text{ füllt } \frac{x}{2}\cdot V$ | |Hahnen 3 | $\rightarrow$ | $3\,h \text{ füllt } V$ | $\rightarrow$ | $1\,h \text{ füllt } \frac{1}{3} V$ | $\rightarrow$ | $x\, h \text{ füllt } \frac{x}{3}\cdot V$ | |Hahnen 4 | $\rightarrow$ | $4\,h \text{ füllt } V$ | $\rightarrow$ | $1\,h \text{ füllt } \frac{1}{4} V$ | $\rightarrow$ | $x\, h \text{ füllt } \frac{x}{4}\cdot V$ | Sind alle Hahnen offen, wie viel Wasser ist zur Zeit $x$ im Pool? Genau

x V+\frac{x}{2}V+\frac{x}{3}V+\frac{x}{4}V.

Wir müssen nun $x$ so bestimmen, dass der Pool voll ist, also $$ x V+\frac{x}{2}V+\frac{x}{3}V+\frac{x}{4}V=V.

Wir können $V$ ausklammern und erhalten

{V}\cdot (x +\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{4})={V}\cdot 1 $$ und die Gleichung zu lösen ist

{x +\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=1}

Finde den gemeinsamen Nenner:

\begin{align*} x +\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{4} & =1\ \frac{12x}{12}+\frac{6x}{2}+\frac{4x}{12}+\frac{3x}{12} & =1 \ \frac{12x+6x+4x+3x}{12} & = 1 \quad \mid , \cdot 12\ 25x & = 12 \quad \mid , :25\ x & =\frac{12}{25}={0.48}\ \end{align*}

Es braucht also $0.48$ Stunden, oder $28.8$ Minuten.

Exercise 3: Lösungsmengen linearer Gleichungen veranschaulichen

Veranschauliche die Lösungsmengen folgender Gleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem:

a) $x+2y-3=0$

b) $5x-3y=0$

c) $x-5y-5=0$

d) $10x+3y=20$

e) $1.2x+0.5y=0.7$

f) $3x+1\frac{1}{3}y=-6$

Solution

a) Eine Gerade, die durch die Punkte (3,0) und (1,1) geht.

b) Eine Gerade, die durch den Ursprung (0,0) und den Punkt (3,5) geht.

c) Eine Gerade, die durch die Punkte (5,0) und (0,-1) geht.

d) Eine Gerade, die durch die Punkte (2,0) und (0, 20/3) geht.

e) Eine Gerade, die durch die Punkte (7/12, 0) und (0, 7/5) geht.

f) Eine Gerade, die durch die Punkte (-2,0) und (0, -9/2) geht.

Exercise 4: Lage von linearen Gleichungen im Koordinatensystem

Unter den Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten kommen im Allgemeinen solche von der Form $(x|0)$ bzw. $(0|y)$ vor. Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben die zugehörigen Punkte?

Solution

Der Punkt $(x|0)$ ist der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
Der Punkt $(0|y)$ ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.

Exercise 5: Äquivalenz von Gleichungen

Zeige, dass die folgende Gleichung zu einer linearen Gleichung äquivalent ist, und stelle die Lösungsmenge graphisch dar.

a) $(x+1)^2+(y-5)^2=(5-y)^2$

b) $(x+2)^2+(y-3)^2=(x^2+2)+(y^2+3)$

Solution

a) Die Gleichung vereinfacht sich zu $x^2+2x+1-10y+y^2 = -10y+y^2$ , was weiter zu $x^2+2x+1=0$ führt. Dies ist eine quadratische Gleichung in x, keine lineare Gleichung. Die Lösungsmenge ist $x=-1$ , was eine vertikale Gerade ist. Die Aufgabenstellung im Buch ist hier ungenau.

b) Die Gleichung vereinfacht sich zu $x^2+4x+4+y^2-6y+9=x^2+2+y^2+3$ , was weiter zu $4x-6y+8=0$ oder $y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$ vereinfacht werden kann. Dies ist eine lineare Gleichung. Der Graph ist eine Gerade durch die Punkte (1,2) und (-2,0).