Gleichungen und der Logarithmus

Es gibt zwei Typen von Gleichungen, bei dem der Logarithmus involviert ist. Der eine Typ enthält den Logarithmus in der Gleichung, der andere Typ enthält einen Exponent xx in der Gleichung. Wir diskutieren hier, wie diese Gleichungen gelöst werden können. Beginnen wir mit dem ersten Typ.

Gleichungen mit einem logarithmischen Term

Zum Beispiel, betrachte die folgende Gleichung:

4+3⋅log⁡5(4x)=104+3\cdot \log_5(4x)=10

Die Unbekannte (xx) erscheint im Logarithmus. Die Strategie besteht darin, zunächst den logarithmischen Term zu isolieren:

4+3⋅log⁡5(4x)=10∣−4,:3log⁡5(4x)=2\begin{array}{rll} 4+3\cdot \log_5(4x)&=&10\quad\vert -4,:3\\ \log_5(4x)&=&2\\ \end{array}

Wir haben nun zwei Möglichkeiten, um weiterzumachen:

Möglichkeit 1 (logarithmischer Term)

Erhebe beide Seiten der Gleichung zur Potenz mit Basis 55 und vereinfache den resultierenden logarithmischen Term auf der linken Seite (mit Hilfe von aloga(x)=xa^{log_a(x)}=x):

log⁡5(4x)=2∣5(.)5log⁡5(4x)=524x=52\begin{array}{rll} \log_5(4x)&=&2 \quad\vert 5^{(.)}\\ 5^{\log_5(4x)} &=& 5^2\\ 4x&=&5^2 \end{array}

Es folgt x=254=6.25‾x=\frac{25}{4}=\underline{6.25}

Möglichkeit 2 (logarithmischer Term)

Die Gleichung

log⁡5(4x)=2\log_5(4x)=2

ist nur dann richtig, wenn per Definition des Logarithmus gilt, dass 52=4x5^2=4x (Spirale). Es folgt wieder x=254=6.25‾x=\frac{25}{4}=\underline{6.25}

Exercise 1

Löse die Gleichungen

  1. log⁡5(x)=2\log_5(x)=2

  2. log⁡4(2x)=−2\log_4(2x)=-2

  3. 20⋅log⁡7(x2)=80920\cdot \log_7(x^2)=\frac{80}{9}

  4. 1−log⁡2(4x)+3=−71-\log_2(4x)+3=-7

  5. log⁡10(x2−2x+1)=2\log_{10}(x^2-2x+1)=2

  6. log⁡3(x−1)=0\log_3(x-1)=0

  7. 3ln⁡(2x)−1=53\ln(2x)-1=5

Solution
  1. x=25x=25
  2. x=132x=\frac{1}{32}
  3. x1=1.541...,x2=−1.541...x_1=1.541..., x_2=-1.541...
  4. x=512x=512
  5. x1=−9,x2=11x_1=-9, x_2=11
  6. x=2x=2
  7. x=3.69...x=3.69...

Gleichungen mit xx im Exponenten (exponentieller Term)

Betrachte zum Beispiel die Gleichung

3+2⋅5x=753+2\cdot 5^x=75

Die Unbekannte erscheint im Exponenten. Um sie zu lösen, isolieren wir zunächst den exponentiellen Term:

3+2⋅5x=75∣−3,:25x=36\begin{array}{rll} 3+2\cdot 5^x&=&75\quad\vert -3,:2\\ 5^x &=& 36\\ \end{array}

Wiederum haben wir zwei Möglichkeiten, weiterzumachen:

Möglichkeit 1 (exponentieller Term)

Wenden den Logarithmus zur Basis 55 auf beide Seiten an und vereinfache den logarithmischen Term auf der linken Seite (mit Hilfe von log⁡b(bx)=x\log_b(b^x)=x):

5x=36∣log⁡5(.)log⁡5(5x)=log⁡5(36)x=log⁡5(36)\begin{array}{rll} 5^x &=& 36 \quad\vert \log_5(.)\\ \log_5(5^x)&=&\log_5(36)\\ x &=&\log_5(36) \end{array}

Wir erhalten mit dem Taschenrechner, dass x=2.226...‾x=\underline{2.226...}.

Wähle deine Methode!

Möglichkeit 2 (exponentieller Term)

Wir nutzen die Tatsache, dass wir Exponenten innerhalb eines Logarithmus extrahieren und mit dem Logarithmus multiplizieren können. Was wir damit meinen, ist, dass wir immer schreiben können

Theorem 1
log⁡b(cn)=n⋅log⁡b(c)\log_b(c^n)=n\cdot \log_b(c)
Solution

Beweis: Die Gleichung

log⁡b(cn)=n⋅log⁡b(c)\log_b(c^n)=n\cdot \log_b(c)

ist nur dann korrekt, wenn auch die Gleichung

blog⁡b(cn)⏟=cn=bn⋅log⁡b(c)\underbrace{b^{\log_b(c^n)}}_{=c^n}=b^{n\cdot \log_b(c)}

korrekt ist. Die Linke Seite ist

bn⋅log⁡b(c)=(blog⁡b(c))n=cnb^{n\cdot \log_b(c)}=\left(b^{\log_b(c)}\right)^n=c^n

und wir sehen, dass die Gleichung korrekt ist.

Man kann sich diesen Satz als eine Verallgemeinerung der schon bekannten Tatsache vorstellen, dass

log⁡b(bn)=n\log_b(b^n)=n

In der Tat, setzen wir c=bc=b, so erhalten wir mit dem obigen Satz

log⁡b(bn)=n⋅log⁡b(b)⏟=1=n\log_b(b^n)=n\cdot \underbrace{\log_b(b)}_{=1}=n

Wir verwenden nun diesen Satz in unserer Gleichung wie folgt:

5x=36∣log⁡(.)log⁡(5x)=log⁡(36)x⋅log⁡(5)=log⁡(36)∣:log⁡(5)x=log⁡(36)log⁡(5)=2.226...‾\begin{array}{rll} 5^x &=& 36 \quad\vert \log(.)\\ \log(5^x)&=&\log(36)\\ x\cdot \log(5) &=&\log(36)\quad \vert :\log(5)\\ x &=&\frac{\log(36)}{\log(5)}\\ &=& \underline{2.226...} \end{array}

Wir haben oben den log⁡\log auf beiden Seiten der Gleichung angewandt. Wir können aber jede beliebige Basis verweden, es muss nicht die Basis 1010 sein. Das Resultat bleibt gleich.

Wiederum, wähle deine Methode.

Exercise 2

  1. Löse die Gleichungen

    1. 3⋅1.5x−1=173\cdot 1.5^x -1=17
    2. 4⋅22x−1+7=11.24\cdot 2^{2x-1}+7=11.2
    3. (3.2)x−3=5(3.2)^{\sqrt{x}}-3=5
    4. 4ex−1=164e^{x-1}=16
    5. 10log⁡10(2x+1)=410^{\log_{10}(2x+1)}=4

  2. Die Weltbevölkerung betrug 1950 2.52.5 Milliarden (2.5⋅1092.5\cdot 10^9). Im Jahr 1970 waren es 3.73.7 Milliarden. Wann wird die Bevölkerung unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums zum ersten Mal 1010 Milliarden überschreiten? Und wann wird dies bei einem linearen Wachstum der Bevölkerung der Fall sein?

  3. Plutonium 239 ist ein vom Menschen hergestelltes radioaktives Isotop, das für Kernsprengstoffe verwendet wird. Es hat eine Halbwertszeit von 24110 Jahren, was bedeutet, dass alle 24110 Jahre die Hälfte des Plutoniums in einer Probe zerfällt und die Hälfte übrig bleibt. Wie viele Jahre wird es dauern, bis 1%1\% in der Probe übrig ist?

Solution
  1. Die Lösungen sind
    1. x=4.419...x=4.419...
    2. x=0.535...x=0.535...
    3. x=3.196...x=3.196...
    4. x=2.386...x=2.386...
    5. x=1.5x=1.5
  2. Fall Exponentielles Wachstum: Zeichne das Diagramm und finden Sie die Funktionsgleichung des Wachstums in Abhängigkeit von der Zeit xx: y:2.5⋅109→⋅u3.7⋅109→⋅u...→⋅uyx (Jahr):1950→+201970→+20...→+20x\begin{array}{rlll} \text{$y$}:& 2.5\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{\cdot u} & 3.7\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{\cdot u}& ... & \xrightarrow[]{\cdot u} & y\\ \text{$x$ (Jahr)}:& 1950 & \xrightarrow[]{+20} & 1970 &\xrightarrow[]{+20}& ... &\xrightarrow[]{+20} & x\\ \end{array} Der Wachstumsfaktor ist u=3.7⋅1092.5⋅109=1.48u=\frac{3.7\cdot 10^9}{2.5\cdot 10^9}=1.48 Die Exponentialfunktion ist somit f(x)=2.5⋅109⋅1.48(x−1950)/20f(x)=2.5\cdot 10^9\cdot 1.48^{(x-1950)/20} Finde xx so, dass 2.5⋅109⋅1.48(x−1950)/20=10⋅1092.5\cdot 10^9\cdot 1.48^{(x-1950)/20}=10\cdot 10^9 Wir lösen es nun mit einer der oben angegeben Methoden: 2.5⋅109⋅1.48(x−1950)/20=10⋅109∣:(2.5⋅109)1.48(x−1950)/20=4∣log⁡(.)x−195020⋅log⁡(1.48)=log⁡(4)∣:log⁡(1.48)x−195020=log⁡(4)log⁡(1.48)∣⋅20,+1950x=2020.7‾\begin{array}{rll} 2.5\cdot 10^9\cdot 1.48^{(x-1950)/20}&=&10\cdot 10^9\quad\vert : (2.5\cdot 10^9)\\ 1.48^{(x-1950)/20} &=& 4 \quad\vert \log(.)\\ \frac{x-1950}{20}\cdot \log(1.48) &=& \log(4)\quad\vert :\log(1.48)\\ \frac{x-1950}{20} &=&\frac{\log(4)}{\log(1.48)}\quad\vert \cdot 20, +1950\\ x &=& \underline{2020.7} \end{array} Fall lineares Wachstum: y:2.5⋅109→+u3.7⋅109→+u...→+uyx (year):1950→+201970→+20...→+20x\begin{array}{rlll} \text{$y$}:& 2.5\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{+ u} & 3.7\cdot 10^9 &\xrightarrow[]{+ u}& ... & \xrightarrow[]{+ u} & y\\ \text{$x$ (year)}:& 1950 & \xrightarrow[]{+20} & 1970 &\xrightarrow[]{+20}& ... &\xrightarrow[]{+20} & x\\ \end{array} Die Zunahme ist u=3.7⋅109−2.5⋅109=1.2⋅109u=3.7\cdot 10^9-2.5\cdot 10^9=1.2\cdot 10^9 und somit f(x)=2.5⋅109+1.2⋅109⋅x−195020f(x)=2.5\cdot 10^9+1.2\cdot 10^9\cdot \frac{x-1950}{20} Finde xx mit 2.5⋅109+1.2⋅109⋅x−195020=10⋅1092.5\cdot 10^9+1.2\cdot 10^9\cdot \frac{x-1950}{20}=10\cdot 10^9 Also 2.5⋅109+1.2⋅109⋅x−195020=10⋅109∣−2.5⋅109,:(1.2⋅109)x−195020=6.25∣⋅20,+1950x=2075‾\begin{array}{rlll} 2.5\cdot 10^9+1.2\cdot 10^9\cdot \frac{x-1950}{20}&=&10\cdot 10^9\quad\vert -2.5\cdot 10^9, :(1.2\cdot 10^9)\\ \frac{x-1950}{20} &=& 6.25\quad\vert \cdot 20,+1950\\ x &=&\underline{2075} \end{array}
  3. Nehmen wir an, die Anfangsmasse des Plutoniums (zum Zeitpunkt x=0x=0) sei mm. Wenn Sie weniger abstrakt sein wollen, nehmen Sie einfach einen Wert für mm an, z.B. m=100m=100 (mm wird sich letztendlich sowieso aufheben, also ist das Ergebnis unabhängig von mm). Ausserdem setzen wir hier der Einfachheit halber x=0x=0, aber jeder beliebige Wert für den Startzeitpunkt funktioniert ebenfalls, da wir an der Dauer interessiert sind. y:m→⋅0.50.5m→⋅0.5...→⋅0.50.01mx (Jahr):0→+2411024110→+24110...→+24110x\begin{array}{rlll} \text{$y$}:& m &\xrightarrow[]{\cdot 0.5} & 0.5m &\xrightarrow[]{\cdot 0.5}& ... & \xrightarrow[]{\cdot 0.5} & 0.01m\\ \text{$x$ (Jahr)}:& 0 & \xrightarrow[]{+24110} & 24110 &\xrightarrow[]{+24110}& ... &\xrightarrow[]{+24110} & x\\ \end{array} Der Wachstumsfaktor ist u=0,5u=0,5, so dass wir die folgende Funktionsgleichung haben, die das Wachstum beschreibt: f(x)=m⋅0.5(x−0)/24410f(x)=m\cdot 0.5^{(x-0)/24410} Finde xx so dass m⋅0.5(x−0)/24410=0.01mm\cdot 0.5^{(x-0)/24410} = 0.01m Beachte nun, dass wir mm streichen können, da es als Multiplikation auf beiden Seiten der Gleichung erscheint: m⋅0.5x/24410=0.01m∣:m0.5x/24410=0.01∣log⁡(.)x24410⋅log⁡(0.5)=log⁡(0.01)∣⋅24110,:log⁡(0.5)x=160183.37... years‾\begin{array}{rll} m\cdot 0.5^{x/24410} &=& 0.01m\quad\vert :m\\ 0.5^{x/24410}&=&0.01\quad\vert \log(.)\\ \frac{x}{24410}\cdot \log(0.5)&=&\log(0.01)\quad\vert \cdot 24110, :\log(0.5)\\ x &=& \underline{160183.37... \text{ years}} \end{array} Beachte, dass wir mit einer anderen Zeit beginnen, sagen wir x=1x=1, das Endergebnis wäre 160184.37... Jahre160184.37... \text{ Jahre}, und um die Dauer zu finden, müssten wir 11 von diesem Ergebnis subtrahieren, um wieder den obigen Wert zu erhalten.