Die logarithmische Funktion

Die logarithmische Funktion nimmt als Input einen Wert $x$ , und der Output ist der Logarithmus dieses $x$ , z.B. $f(x)=\log_{10}(x)$

\begin{array}{cr} \text{input } x & \\ \huge \downarrow & \\ \boxed{\huge f} & \text{rule: } \log_{10}(x)\\ \huge\downarrow &\\ \text{output } y & \end{array}

Eine gute Möglichkeit, den Graphen der logarithmischen Funktion ohne Taschenrechner zu zeichnen, besteht darin, schöne Eingabewerte zu wählen, so dass der Wert leicht zu berechnen ist, z.B.

\begin{array}{l|l} x & y=\log_{10}(x)\\\hline 0.01 & -2\\ 0.1 & -1\\ 1 & 0\\ 10 & 1\\ 100 & 2\\ 1000 & 3\\ \end{array}

Der resultierende Graph ist unten dargestellt. Der Logarithmus ist einer der am langsamsten ansteigenden Graphen - im Fall der Basis $10$ steigt er um $1$ in der Höhe für jede $0$ , die man zum Wert $x$ hinzufügt: $1, 10, 100, 1000, ...$ .

Exercise 1

Bestimme die Nullstelle und den $y$ -Achsenabschnitt von $f(x)=\log_{b}(x)$ (wobei wie immer $b>0$ ).

Solution

Der $y$ -Achsenabschnitt liegt bei $f(0)=\log_b(0)$ . Da der Input Null keinen Output erzeugt, gibt es keinen $y$ -Achsenabschnitt, und der Graph berührt oder kreuzt die $y$ -Achse nie. Da $f(x)$ für jeden negativen Wert von $x$ nicht existiert, bleibt der Graph auf der rechten Seite der $y$ -Achse.

Um die Nullstelle zu finden, müssen wir einen Input $x$ finden, für den gilt

f(x)=\log_b(x)=0

also $x=1$ . Jeder Logarithmus hat also die Nullstelle $x=1$ .

Exercise 2

Q1

Skizziere ohne Taschenrechner die Funktion $f(x)=\log_2(x)$ .

Q2

Bestimme die Nullstellen von

$f(x)=\log_6(x)-1.2$
$g(x)=3^{\log_2(x)}-12$

Solution

A1

A2

Finde $x$ mit $f(x)=\log_6(x)-1.2=0$ Also löse die Gleichung $\begin{array}{lll} \log_6(x)-1.2&=&0 \quad\vert +1.2\\ \log_6(x)&=&1.2\quad\vert 6^{()}\\ 6^{\log_6(x)}&=&6^{1.2}\\ x&=&\underline{8.585...} \end{array}$
Finde $x$ mit $g(x)=3^{\log_2(x)}-12=0$ Löse die Gleichung $\begin{array}{lll} 3^{\log_2(x)}-12&=&0 \quad\vert +12\\ 3^{\log_2(x)}&=&12\quad\vert \log_3(.)\\ \log_3(3^{\log_2(x)})&=&\log_3(12)\\ \log_2(x)&=&\log_3(12)\quad\vert 2^{()}\\ 2^{\log_2(x)}&=&2^{\log_3(12)}\\ x&=& \underline{4.7960...} \end{array}$