Wärmeleitungsgleichung

Wir betrachten die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung, die die Temperaturentwicklung eines Stab der Länge $l$ modelliert. Für $x\in(0,l)$ und $t\in\mathbb{R}$ sei $u(x,t)$ die Temperatur des Stabes zum Zeitpunkt $t$ an der Stelle $x$ . Die Anfangsverteilung der Temperatur sei durch eine Funktion $u(x,0)$ gegeben. Zum einen kann man annehmen, dass man an den Enden eine feste Temperatur $T$ hat, o.E.d.A. nehmen wir $T=0$ an, eine vollständige Isolierung keine Temperaturänderung über die Zeit: $u_x(0,t)=u_x(l,t)=0$ für alle $t\in\mathbb{R}$ . An der Stelle $(x,t)$ ist dabei die Differentialgleichung

\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}

erfüllt. Wiederum setzen wir $k = 1$ und brauchen den Separationsansatz $u(x,t) = v(x)\cdot w(t)$ . Man erhält

\frac{\dot{w}}{w} = \frac{v''}{v}=\lambda.

Hier lautet eine mögliche Lösung $u(x,t) = \mathrm{e}^{\lambda t}(c_1\cos(\sqrt{\lambda}x)+c_2\sin(\sqrt{\lambda}x))$ , die man wie oben ausrechnet. Aus der Randbedingung links ergibt sich $c_1 = 0$ , und die Bedingung rechts liefert $\sin(\sqrt{\lambda}l) = 0$ , also

\lambda = \frac{n^2\pi^2}{l^2}

für ein $n\in\mathbb{N}$ . Da man beliebige Summen bzw. Reihen bilden kann, lautet eine allgemeinere Lösung

u(x,t) = \sum_{n=0}^\infty c_n\mathrm{e}^{\frac{n^2\pi^2}{l^2}t}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).

(Die Wärmeleitunsgleichungs kommentiert)