Der quantenmechanische Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines klassischen harmonischen Oszillators ist:

H=p22m+12mω2x2.H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2.

Setzt man die quantenmechanischen Operatoren ein,

H^=p^22m+12mω2x^2,\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2,

dann sieht die Schrödingergleichung nach der Einsetzung von p^=−iℏddx\hat{p} = -\text{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} komplizierter aus. Um die Rechnung zu vereinfachen, möchten wir die Operatoren so skalieren, dass sie dimensionslos werden.

Die natürliche Längenskala für den harmonischen Oszillator ist die sogenannte Oszillatorlänge x0=ℏmωx_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}}.

Mit dieser definieren wir eine dimensionslose Ortsvariable:

X^:=x^x0=mωℏx^.\hat{X} := \frac{\hat{x}}{x_0} = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} \hat{x}.

Für den Impuls machen wir es sinngemäss und setzen:

P^:=p^mℏω.\hat{P} := \frac{\hat{p}}{\sqrt{m \hbar \omega}}.

Nun sind X^\hat{X} und P^\hat{P} dimensionslos und erfüllen die gewohnte Vertauschungsrelation [X^,P^]=i[\hat{X}, \hat{P}] = \text{i}.

Die Idee der Leiteroperatoren ist, die Hamilton-Funktion in eine einfache algebraische Form zu bringen. Dazu definieren wir:

a^:=12(X^+iP^).\hat{a} := \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{X} + \text{i} \hat{P}).

Einsetzen der dimensionslosen Variablen:

a^=12(mωℏx^+ip^mℏω).\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} \hat{x} + \text{i} \frac{\hat{p}}{\sqrt{m \hbar \omega}} \right).

Umformen liefert:

a^=12ℏmω(mωx^+ip^).\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} (m \omega \hat{x} + \text{i} \hat{p}).

Daher kommt der Term ( m \omega \hat{x} ) im Vernichtungsoperator vor: Er sorgt dafür, dass ( \hat{a} ) und ( \hat{a}^\dagger ) dimensionslos sind und der Hamilton-Operator sich einfach schreiben lässt.

Setzen wir die Leiteroperatoren in den Hamilton-Operator ein:

H^=p^22m+12mω2x^2.\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2.

Mit den obigen Definitionen kann man zeigen:

H^=ℏω(a^†a^+12).\hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right).

Diese Form zeigt direkt, dass die Energieeigenwerte durch das Besetzungszahlprinzip entstehen:

En=ℏω(n+12).E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right).