Weitere Aufgaben

F1

Bestimme das 10-te Folgeglied, die Summe der $15$ ersten Folgeglieder, und die unendliche Summe der Glieder:

1. $4,4.2,4.41, ...$
2. $5,4.8, 4.6, ...$
3. $-5,4,-3.2, ...$
4. $-11,-6,-1, ...$
5. $-\frac{2}{3}, \frac{1}{3} , -\frac{1}{6}, ...$

F2

Bestimme die Summen

1. $0.25+0.75+2.25+...+44286.75$
2. $2.1+3.2+4.3+...+18.6$

F3

Ein geometrisches Objekt wächst wie folgt (siehe Skizze unten). In Generation $1$ ist es ein Quadrat der Länge $2$. In jeder weiteren Generation werden weitere Quadrate angehängt, wobei die Seitenlänge jeweils um $60\%$ schrumpft.

1. In welcher Generation hat das angehängte Quadrat das erste Mal eine Fläche kleiner als $0.001$?
2. Bestimme die totale Fläche des Objekts in der $10$-ten Generation.
3. Bestimme die totale Fläche des Objekts nach unendlich vielen Iterationen.

F4

Das Objekt unten besteht aus unendlich vielen gleichseitigen Dreiecken, wobei das erste Dreieck die Seitenlänge $1$ besitzt. Nach jeder iteration wird die Seitenlänge halbiert.

1. Bestimme die Länge der fetten Spirale $a_1, a_2, ...$
2. Bestimme die totale Fläche $s_\infty$ aller Dreiecke.
3. Nach wie vielen Dreiecken ist die Fläche $s_n$ $99.9\%$ der totalen Fläche $s_\infty$?

F5

Schneeflocke oder Koch-curve. Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 1 (Generation 1). Weitere gleichseitige Dreiecke werden wie unten gezeigt angehängt.

1. Bestimme den Umfang des Objekts nach unendlich vielen Iterationen.

2. Bestimme die Fläche es Objekts nach unendlich vielen Iterationen.

Solution