Punkte und Vektoren

3d-Koordinatensystem

Um Objekte im 3-dimensionalen Raum mit Koordinaten beschreiben zu können, brauchen wir drei Koordinatenachsen. Wir brachen die folgende Konvention:

die $x$ -Achse deutet nach vorne
die $y$ -Achse deutet nach rechts
die $z$ -Achse deutet aufwärts

Punkte

Ein Punkt $A$ mit den Koordinaten $x, y$ und $z$ schreiben wir wie folgt:

A(x \vert y \vert z)

Er bezeichnet die Position im Raum relative zum gewählten Koordinatensystem im Raum. Zum Beispiel, der Punkt $A(3 \vert 4 \vert 5)$ kann wie folgt gefunden werden: Starte beim Koordinatennullpunkt, und

gehe $3$ Einheiten entlang der $x$ -Richtung (also auf mich zu), und von dort
gehe $4$ Einheiten entlang der $y$ -Richtung (also nach rechts), und von dort
gehe $5$ Einheiten entlang der $z$ -Richtung (also aufwärts)

Negative Koordinaten sind ebenfalls erlaubt, man muss sich dann in die entgegengesetzte Richtung bewegen. Zum Beispiel, $z=-3$ bedeutet, dass wir um $3$ Einheiten abwärts gehen müssen.

Note 1

Der Koordinatennullpunkt wird oft mit einem grossen $O$ gekennzeichnet. Er hat die Koordinaten $O(0 \vert 0 \vert 0)$ .
Punkte werden typischerweise mit Grossbuchstaben bezeichnet: $A, B , U, ...$ .
Gegeben sei ein Punkt $A$ . Die $x$ -Koordinate wird oft auch mit $A_x$ bezeichnet, die $y$ -Koordinate mit $A_y$ , und die $z$ -Koordinate mit $A_z$ .

Vektoren

Ein Vektor $u$ im Raum hat drei Komponenten $x, y$ , and $z$ , und wird wie folgt notiert:

\vec{u}=\left(\begin{array}{r} x\\y\\z \end{array}\right)

Ein Vektor repräsentiert einen Pfeil im Raum. Ein Pfeil hat einen Start, ein Ende (Pfeilspitze), wie auch eine Länge und Richtung.

Aber wie erhalten wir aus den drei Komponenten den Pfeil? Wir interpretieren die Zahlen $x$ , $y$ und $z$ als Instruktionen, wie wir vom Pfeilstart zur Pfeilspitze gelangen. Zum Beispiel, betrachte den Vektor

\vec{u}=\left(\begin{array}{r} 2\\4\\5 \end{array}\right)

Wir können nun den Vektor wie folgt zeichnen: Zuerst wählen wir einen Startpunkt aus. Dieser Startpunkt kann irgendwo sein (später wird oft aus der Fragestellung klar werden, wo der Startpunkt gewählt werden muss). Die Spitze des Pfeils ist nun durch die $3$ Komponenten festgelegt: Ausgehend vom Startpunkt,

gehe $2$ Einheiten in $x$ -Richtung, und von dort
gehe $4$ Einheiten in $y$ -Richtung, und von dort
gehe $5$ Einheiten in $z$ -Richtung An dem Ort wo wir schlussendlich ankommen ist die Spitze des Pfeils. Wie auch schon bei den Koordinaten eines Punktes können die Komponenten negative Werte haben. In dem Fall muss man sich wiederum in die entgegengesetzte Richtung bewegen.

Warning

Die drei Komponenten des Vektors geben keine Auskunft darüber, wo im Raum sich er Pfeil befindet. Wähle ich einen anderen Startpunkt, und folge den gleichen Komponenten, so bekomme ich einen anderen Pfeil, der parallel ist zum ursprünglichen Pfeil. Beide Pfeile werden also durch den gleichen Vektor repräsentiert (siehe Bild oben).

Note 2

Vektoren werden oft mit Kleinbuchstaben bezeichnet, und haben einen kleinen Pfeil über dem Buchstaben.
Der Nullvektor wird oft mit einer Null bezeichnet, und alle Komponenten sind $0$ :
$\vec{0}=\left(\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right)$
Der Start und die Spitze des Pfeils stimmen beim Nullvektor überein.Dieser "Pfeil" hat somit keine Richtung und keine Länge.
Zwei Vektoren werden gleich genannt (identischen Vektoren), falls jeweils ihre $x$ -, $y$ -, and $z$ -Komponenten übereinstimmen.
Gegeben sei ein Vektor $u$ . Die $x$ -Komponente wird oft auch mit $u_x$ bezeichnet, die $y$ -Komponente mit $u_y$ , und die $z$ -Komponente mit $u_z$ .

Vektoren zwischen zwei Punkten

Angenommen wir haben zwei Punkte $A$ und $B$ und wollen die Komponenten des Pfeils finden, der von $A$ nach $B$ geht. Um diese Komponenten zu finden, müssen wir uns also überlegen, wie wir von $A$ (dem Startpunkt) nach $B$ (der Pfeilspitze) gelangen.

Machen wir ein konkretes Beispiel (siehe Bild unten). Es sei $A(0 \vert 1 \vert 1)$ und $B(0 \vert 5 \vert 3)$ .

Um von $A$ nach $B$ zu gelangen, müssen wir um $0$ Einheiten in $x$ -Richtung gehen, um $4$ Einheiten in $y$ -Richtung, und um $2$ Einheiten in $z$ -Richtung:

\begin{array}{lcl} A & \rightarrow & B \\ \hline 0 & \overset{+0}{\rightarrow} & 0 \\ 1 & \overset{+4}{\rightarrow} & 5 \\ 1 & \overset{+2}{\rightarrow} & 3 \\ \end{array}

Der Vektor für den Pfeil von $A$ nach $B$ hat also die Komponenten

\vec{u}=\left(\begin{array}{r} 0\\4\\2 \end{array}\right)

Beachte: Um anzuzeigen, dass der Pfeil eines Vektors von einem Punkt mit Bezeichnung $A$ zu einem anderen Punkt mit Bezeichnung $B$ geht, bezeichnen wir den Vektor oft auch mit $\overrightarrow{AB}$ , und sagen "der Vektor von $A$ nach $B$ ". Im Beispiel oben können wir also auch schreiben

\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} 0\\4\\2 \end{array}\right)

Allgemeiner gilt

\begin{array}{lcl} A & \rightarrow & B \\ \hline A_x & \overset{-A_x+B_x}{\rightarrow} & B_x \\ A_y & \overset{-A_y+B_y}{\rightarrow} & B_y \\ A_z & \overset{-A_z+B_z}{\rightarrow} & B_z \\ \end{array}

Somit gilt: der Vektor von $A$ nach $B$ ist gegeben durch

\boxed{ \overrightarrow{AB}=\left( \begin{array}{l} B_x-A_x \\ B_y-A_y \\ B_z-A_z \\ \end{array}\right)}

was oft mit der Notation

\boxed{\overrightarrow{AB} =B-A}

abgekürzt wird.

Exercise 1

Bestimme die exakte Koordinate(n) des Punkts $A$ , wo dies möglich ist. $A$ ist entweder in der $xy$ -Ebene, $xz$ -Ebene, $yz$ -Ebene, oder auf der $x$ -Achse, $y$ -Achse, der $z$ -Achse.
Zeichne die folgenden Punkte in das gleiche 3d-Koordinatensystem:
1. $P(0 \vert -2 \vert 5)$
2. $Q(2 \vert 5 \vert 5)$
3. $R(2 \vert 2 \vert 2)$
4. $S(-2 \vert -2 \vert -2)$
5. $T(0 \vert 0 \vert 0)$
6. $U(0 \vert 0 \vert -5)$
Auch welcher Ebene oder Achse sind die folgenden Punkte?:
1. $U(0 \vert 1 \vert 2)$
2. $S(-1.3 \vert 1.2 \vert 0)$
3. $V(-13 \vert 0 \vert 0)$
Finde die Koordinaten der Eckpunkte der unten abgebildeten Körper. Der Würfels hat Seitenlänge $5$ . Die Pyramide hat Höhe $h=4$ und dies Basis ist ein Quadrat mit Seitenlänge $s=4$ .
Zeichne in einem 3d-Koordinatensystem die Vektoren $\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 3 \end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 3 \end{array}\right)$ als Pfeile. Der Startpunkt kann beliebig gewählt werden.
Bestimme den Vektor $\overrightarrow{UV}$ :
1. $U(1 \vert 2 \vert -1)$ and $V(2 \vert 10 \vert -3)$
2. $U(0 \vert 0 \vert 0)$ and $V(3 \vert 1 \vert 10)$
3. $U(-1.2 \vert -3.1 \vert 5)$ and $V(2 \vert 2 \vert 1)$
Beantworte:
1. Gegeben ist der Punkt $A(0 \vert 1 \vert 0)$ und der Vektor $\vec{u}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)$ . Starte bei $A$ und zeichne den Pfeil der gegeben ist durch $\vec u$ . Bestimme die Koordinaten des Punktes $B$ bei der Pfeilspitze.
2. Bestimme die Komponenten des Vektors von $B$ nach $A$ .
Betrachte das Parallelogramm mit den Eckpunkten $A(1 \vert 4 \vert 1)$ , $B(0 \vert 3 \vert 2)$ , $C$ , und $D(2 \vert 3 \vert 0)$ . Bestimme die Koordinaten von $C$ .
Bestimme die Komponenten der Vektoren, welche durch die unten gezeichneten Pfeile gegeben sind. Vektor $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , und $\vec{c}$ sind auf der $x$ -Achse, $y$ -Achse, and $z$ -Achse. Die Vektoren $\vec{d}$ and $\vec{e}$ sind in der $yz$ -Ebene.
Beantworte:
1. Betrachte die Vektoren $\vec a = \left(\begin{array}{r} 0\\ 3\\ 4 \end{array}\right)$ und $\vec b = \left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 6 \end{array}\right)$ . Bestimme deren Längen.
2. Finde dann eine allgemeine Formel, um die Länge eines Vektors $\vec c = \left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}\right)$ zu bestimmen.
Betracht den Vektor $\left(\begin{array}{r} 0\\ 3\\ 4 \end{array}\right)$ . Finde einen anderen Vektor der
1. in die gleiche Richtung zeigt, und zweimal so lang ist.
2. in die Gegenrichtung zeigt, und halb so lang ist.
3. Allgemeiner, falls ein Vektor $\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}\right)$ gegeben ist, was sind die Komponenten eines anderen Vektors, der in die gleiche Richtung zeigt, und um den Faktor $s$ länger ist?

Solution

Es gilt:
1. $A_z=0$
2. $A_y=0$
3. $A_x=0$
4. $A_y=A_z=0$
5. $A_x=A_z=0$
6. $A_x=A_y=0$
$U$ : $yz$ -Ebene, $S$ : $xy$ -Ebene, $V$ : $x$ -Achse, $xy$ -Ebene, $xz$ -Ebene.
Es gilt für:
1. Würfel: $A(5 \vert 0 \vert 0)$ , $B(5 \vert 5 \vert 0)$ , $C(0 \vert 5 \vert 0)$ , $D(0 \vert 0 \vert 0)$ , $E(5 \vert 0 \vert 5)$ , $F(5 \vert 5 \vert 5)$ , $G(0 \vert 5 \vert 5)$ , $H(0 \vert 0 \vert 5)$
2. Pyramide: $A(2 \vert -2 \vert 0)$ , $B(2 \vert 2 \vert 0)$ , $C(-2 \vert 2 \vert 0)$ , $D(-2 \vert -2 \vert 0)$ , $E(0 \vert 0 \vert 4)$
Es gilt
1. $\overrightarrow{UV}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 8\\ -2 \end{array}\right)$
2. $\overrightarrow{UV}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 10 \end{array}\right)$
3. $\overrightarrow{UV}=\left(\begin{array}{r} 3.2 \\ 5.1\\ -4 \end{array}\right)$
Es gilt:
1. $B(1 \vert 0 \vert 1)$
2. $\overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)$
$C(1 \vert 2 \vert 1)$
Es gilt $\vec a =\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$ , $\vec b =\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 0 \end{array}\right)$ , $\vec c =\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 2 \end{array}\right)$ , $\vec d =\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ -1.5 \end{array}\right)$ , $\vec e =\left(\begin{array}{r} 0\\ 1.5\\ 2.5 \end{array}\right)$
Es gilt:
1. Länge von $\vec a$ ist (Pythagoras) $\sqrt{3^2+4^2}=5$ , Länge von $\vec b$ ist $\sqrt{1^2+4^2+6^2}=\sqrt{53}$ (Pythagoras zweimal anwenden)
2. Die Länge von $c$ ist $\vec c$ is $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
Es gilt:
1. $\left(\begin{array}{r} 0\\ 6\\ 8 \end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{r} 0\\ -1.5\\ -2 \end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{r} s\cdot x\\ s\cdot y\\ s\cdot z \end{array}\right)$