Vektorbetrag

Der Betrag eines Vektors $\vec u$ wird mit $\vert \vec{u} \vert$ bezeichnet, und ist die Länge des Pfeils welcher durch $\vec{u}$ repräsentiert wird.

Bemerkung: Wir wissen, dass es unendliche viele Pfeile gibt, welche durch $\vec{u}$ repräsentiert werden. Da diese aber alle parallel sind und die gleiche Länge besitzen, macht die obige Definition Sinn.

Um den Betrag eines Vektors von seinen Komponenten zu berechnen, verwenden wir den "drei dimensionalen" Pythagoras:

\boxed{\vert\vec u\vert = \sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}

Example 1

Gegeben sei der Vektor

\vec{u} =\left(\begin{array}{r} 2\\3\\4 \end{array}\right)

Der Betrag ist

\vert\vec u\vert = \sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}

Die Formel für den Vektorbetrag wird durch zweimaliges Anwenden des Pythagoras erhalten. Wir illustrieren dies am Vektor

\vec{u} =\left(\begin{array}{r} 2\\3\\4 \end{array}\right)

vom Beispiel oben. Zuerst berechnen wir die Seitenlänge $s$ mit Hilfe des Pythagoras (siehe Bild unten), anschliessend wenden wir den Pythagoras nochmals an, um die Länge des Pfeils $\vec{u}$ zu erhalten.

Exercise 1

Bestimme den Betrag der Vektoren $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)$ und $\vec{s}=\left(\begin{array}{r} 1.5\\ 0\\ -2 \end{array}\right)$
Vektor $\vec{u}$ hat die $x$ -Komponente $2$ und die $y$ -Komponente $-3$ . Bestimme die $z$ -Komponente von $\vec{u}$ so, dass der Betrag $32$ ist.
Bestimme die Distanz $d$ zwischen den Punkten $A(2 \vert 1\vert 0)$ und $B(-7 \vert 2 \vert 5 )$ .

Solution

$\vert \vec{w}\vert =\sqrt{3}, \vert \vec{s}\vert =\sqrt{6.25}=2.5$
$\vert \vec{u}\vert =\sqrt{2^2+(-3)^2+u_z^2}=32 \rightarrow 2^2+(-3)^2+u_z^2=32^2=1024 \rightarrow u_z=\sqrt{1011}=\pm 31.796...$
Der Pfeil von $A$ nach $B$ hat die Komponenten $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} -9\\ 1\\ 5 \end{array}\right)$ . Die Distanz $d$ zwischen $A$ und $B$ ist gerade die Länge dieses Pfeils, also gilt $d=\vert \overrightarrow{AB}\vert =\sqrt{(-9)^2+1^2+5^2}=\sqrt{107}$ .