Potenzen mit negativen Exponenten

Bislang waren die Exponenten von Potenzen natürliche Zahlen, oder 00 (n∈N0n\in \mathbb{N}_0). Wir können aber auf natürliche Weise auch Potenzen mit negativen Exponenten definieren (n∈Zn\in \mathbb{Z}), wie z.B.

2−32^{-3}

Schauen wir uns wieder ein Beispiel an, um zu sehen, was eine "natürliche" Definition sein könnte:

23=8:222=4:221=2:220=1:2\begin{array}{lll} 2^3&=8 \quad\quad :2\\ 2^2&=4 \quad\quad :2\\ 2^1&=2 \quad\quad :2\\ 2^0&=1 \quad\quad :2\\ \end{array}

Wenn wir das Muster der "Division durch 2" fortsetzen wollen, indem wir den Exponenten um 11 verringern, erhalten wir

2−1=12:22−2=14:22−3=18\begin{array}{lll} 2^{-1} &= \frac{1}{2}\quad\quad :2\\[0.5em] 2^{-2} &= \frac{1}{4}\quad\quad :2\\[0.5em] 2^{-3} &= \frac{1}{8}\\ \end{array}

Aber wir können diese Brüche auch als Potenzen schreiben:

2−1=12=1212−2=14=1222−3=18=123\begin{array}{lll} 2^{-1} &= \frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}\\[0.5em] 2^{-2} &= \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\\[0.5em] 2^{-3} &= \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3} \end{array}

und wir erhalten somit die einfache Definition

2−n=12n2^{-n}=\frac{1}{2^n}

und genereller für eine beliebige Basis a≥0a\geq0:

a−n=1an\boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}

und auch

ca−n=can\boxed{ca^{-n}=\frac{c}{a^n}}

(Diese letzte Gleichung folgt aus c⋅a−n=c⋅1an=canc\cdot a^{-n}=c\cdot \frac{1}{a^n} = \frac{c}{a^n}). Wir können diese Definition auch auf den Fall ausdehnen, dass die Basis ein beliebiger Term in Klammern ist, z. B.

(x+y)−1=1x+y(x+y)^{-1}=\frac{1}{x+y} 7(a2−1+b)−3=7(a2−1+b)37(a^2-1+b)^{-3}=\frac{7}{(a^2-1+b)^3}
Note 1

Der Schlüssel zu einem guten Verständnis von negativen Exponenten ist die Kenntnis der Bruchregeln. Insbesondere die Multiplikation von Brüchen. Es sei daran erinnert, dass

abcd=ab⋅dc\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

und auch

c⋅ab=cabc \cdot \frac{a}{b}=\frac{ca}{b}

denn wir können c=c1c=\frac{c}{1} schreiben. Eine weitere nützliche Regel ist, wie man doppelte Brüche auswertet:

abcd=ab⋅dc\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

und deshalb

acd=a⋅dc\dfrac{a}{\frac{c}{d}}=a \cdot \frac{d}{c}

da wir a=a1a=\frac{a}{1} haben.

Exercise 1

Sind diese Aussagen richtig? Argumentiere mit der Definitionen von Potenzen und den Eigenschaften von Brüchen.

  1. 4−2=1164^{-2}=\frac{1}{16}

  2. (3⋅10)−1=0.3(3\cdot 10)^{-1}= 0.3

  3. 3⋅10−1=0.33\cdot 10^{-1}= 0.3

  4. (0.25−2)−1=18\left(0.25^{-2}\right)^{-1}=\frac{1}{8}

  5. a7⋅a−3=a4a^7 \cdot a^{-3} = a^4

  6. 3a−2=3a23 a^{-2} = \frac{3}{a^2}

  7. (3a)−2=13a2\left(3a\right)^{-2}=\frac{1}{3a^2}

  8. (ab)−3=3ab\left(ab\right)^{-3}=\frac{3}{ab}

  9. (a2)−3=a−6\left(a^2\right)^{-3}=a^{-6}

  10. (2a2)−1=12a−2\left(2a^2\right)^{-1}=\frac{1}{2} a^{-2}

  11. 2a4=2a−4\frac{2}{a^4}=2 a^{-4}

  12. 1a−3=a3\frac{1}{a^{-3}}=a^3

  13. (12)−3=8\left( \frac{1}{2}\right)^{-3} = 8

  14. a−3b−3=(ab)−3a^{-3} b^{-3}=(ab)^{-3}

  15. ab−1=aba b^{-1} = \frac{a}{b}

  16. a−3b3=(ab)−9a^{-3} b^{3}=(ab)^{-9}

  17. a2a−2=1a^2 a^{-2} = 1

  18. (ab)−2=b2a2\left( \frac{a}{b}\right)^{-2} = \frac{b^2}{a^2}

  19. 1a4=a−4\frac{1}{a^4}=a^{-4}

  20. 1a−4=a4\frac{1}{a^{-4}}=a^{4}

  21. 3a4=3a−4\frac{3}{a^4}=3a^{-4}

  22. 13a4=13a−4\frac{1}{3a^4}=\frac{1}{3}a^{-4}

  23. (1a4)−2=a8\left( \frac{1}{a^4}\right)^{-2}=a^{8}

Solution
  1. 4−2=142=1164^{-2} =\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16} richtig
  2. (3⋅10)−1=13⋅10=1⋅13⋅10=13⋅110=0.3‾⋅0.1=0.03‾≠0.3(3\cdot 10)^{-1}= \frac{1}{3\cdot 10} = \frac{1\cdot 1}{3\cdot 10}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10}= 0.\overline{3}\cdot 0.1 = 0.0\overline{3}\neq 0.3 falsch
  3. 3⋅10−1=3⋅110=3⋅0.1=0.33\cdot 10^{-1}= 3\cdot \frac{1}{10}=3\cdot 0.1= 0.3 richtig
  4. (0.25−2)−1=((14)−2)−1=(1(14)2)−1=(114⋅14)−1(1116)−1=(11116)−1=16−1=116≠18\left(0.25^{-2}\right)^{-1}= \left( \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \right)^{-1} = \left(\dfrac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}\right)^{-1} = \left(\dfrac{1}{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}}\right)^{-1} \left(\dfrac{1}{\frac{1}{16}}\right)^{-1} =\left(\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{16}}\right)^{-1}=16^{-1}=\frac{1}{16} \neq \frac{1}{8} falsch
  5. a7⋅a−3=a7⋅1a3=a7a3=a4a^7 \cdot a^{-3} = a^7 \cdot \frac{1}{a^3} = \frac{a^7}{a^3}=a^4 richtig
  6. 3a−2=3⋅1a2=31⋅1a2=3a23 a^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a^2} richtig
  7. (3a)−2=1(3a)2=13⋅a⋅3⋅a=19a2≠13a2\left(3a\right)^{-2}= \frac{1}{(3a)^2}=\frac{1}{3\cdot a\cdot 3\cdot a}=\frac{1}{9a^2} \neq \frac{1}{3a^2} falsch
  8. (ab)−3=1(ab)3≠3ab\left(ab\right)^{-3}= \frac{1}{(ab)^3} \neq \frac{3}{ab} falsch
  9. (a2)−3=1(a2)3=1a2⋅a2⋅a2=1a6=a−6\left(a^2\right)^{-3}= \frac{1}{(a^2)^3} =\frac{1}{a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 } =\frac{1}{a^6} = a^{-6} richtig
  10. (2a2)−1=12a2=1⋅12⋅a2=12⋅1a2=12a−2\left(2a^2\right)^{-1}= \frac{1}{2a^2} = \frac{1\cdot 1}{2 \cdot a^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^2} = \frac{1}{2} a^{-2} richtig
  11. 2a4=2⋅1a4=2a−4\frac{2}{a^4}= 2\cdot \frac{1}{a^4} = 2 a^{-4} richtig
  12. 1a−3=11a3=a3\frac{1}{a^{-3}}= \dfrac{1}{\frac{1}{a^3}} = a^3 richtig
  13. (12)−3=1(12)3=112⋅12⋅12=118=8\left( \frac{1}{2}\right)^{-3} = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}= \dfrac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{1}{8}} = 8 richtig
  14. a−3b−3=1a3⋅1b3=1a3b3=1(ab)3=(ab)−3a^{-3} b^{-3}= \frac{1}{a^3}\cdot \frac{1}{b^3} =\frac{1}{a^3 b^3} = \frac{1}{(ab)^3} = (ab)^{-3} richtig
  15. ab−1=a1b=aba b^{-1} = a\frac{1}{b} = \frac{a}{b} richtig
  16. a−3b3=1a3b3=b3a3≠(ab)−9a^{-3} b^{3}=\frac{1}{a^3} b^3 = \frac{b^3}{a^3} \neq (ab)^{-9} (which is 1(ab)9\frac{1}{(ab)^9}), falsch
  17. a2a−2=a2a2a2=1⋅̸a21⋅̸a2=11=1a^2 a^{-2} = a^2\frac{a^2}{a^2}=\frac{1\cdot \not{a^2}}{1\cdot \not{a^2}} =\frac{1}{1} =1 richtig
  18. (ab)−2=1(ab)2=1ab⋅ab=1a2b2=b2a2\left( \frac{a}{b}\right)^{-2} = \dfrac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2} = \dfrac{1}{ \frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}} = \dfrac{1}{\frac{a^2}{b^2}} = \frac{b^2}{a^2} richtig
  19. 1a4=a−4\frac{1}{a^4}=a^{-4} richtig by definition
  20. 1a−4=11a4=a4\frac{1}{a^{-4}}= \dfrac{1}{\frac{1}{a^4}} = a^{4} richtig
  21. 3a4=3⋅1a4=3a−4\frac{3}{a^4}= 3\cdot \frac{1}{a^4} = 3 a^{-4} richtig
  22. 13a4=1⋅13⋅a4=131a4=13a−4\frac{1}{3a^4}= \frac{1\cdot 1}{3\cdot a^4} =\frac{1}{3}\frac{1}{a^4} = \frac{1}{3}a^{-4} richtig
  23. (1a4)−2=1(1a4)2=11a41a4=11a4a4=11a8=a8\left( \frac{1}{a^4}\right)^{-2}= \dfrac{1}{\left(\frac{1}{a^4}\right)^2} =\dfrac{1}{\frac{1}{a^4} \frac{1}{a^4}} = \dfrac{1}{\frac{1}{a^4 a^4}}= \dfrac{1}{\frac{1}{a^8}} = a^{8} richtig
Exercise 2

Die Potenzregeln (erweitert). aa und bb sind reelle Zahlen, nn und mm sind ganze Zahlen (n,m∈Zn,m \in \mathbb{Z}). Fülle die Kästchen aus.

  1. (GB) Gleiche Basis:
    1. a−n⋅a−m=a□a^{-n} \cdot a^{-m} = a^{\square}
    2. a−na−m=a□\frac{a^{-n}}{a^{-m}} = a^{\square}
    3. an⋅a−m=a□a^{n} \cdot a^{-m} = a^{\square}
    4. ana−m=a□\frac{a^{n}}{a^{-m}} = a^{\square}
    5. a−n⋅am=a□a^{-n} \cdot a^{m} = a^{\square}
    6. a−nam=a□\frac{a^{-n}}{a^{m}} = a^{\square}
  2. (GE) Gleicher Exponent:
    1. a−n⋅b−n=(a⋅b)□a^{-n} \cdot b^{-n} = (a\cdot b)^\square
    2. a−nb−n=(ab)□\frac{a^{-n}}{b^{-n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^\square
  3. (PP) Potenz einer Potenz:

    1. (a−n)−m=a□\left(a^{-n}\right)^{-m} = a^\square

    2. (an)−m=a□\left(a^{n}\right)^{-m} = a^\square

    3. (a−n)m=a□\left(a^{-n}\right)^{m} = a^\square

Solution
  1. (GB) Gleiche Basis:
    1. a−n⋅a−m=a−(n+m)a^{-n} \cdot a^{-m} = a^{-(n+m)}
    2. a−na−m=a−n+m\frac{a^{-n}}{a^{-m}} = a^{-n+m}
    3. an⋅a−m=an−ma^{n} \cdot a^{-m} = a^{n-m}
    4. ana−m=an+m\frac{a^{n}}{a^{-m}} = a^{n+m}
    5. a−n⋅am=a−n+ma^{-n} \cdot a^{m} = a^{-n+m}
    6. a−nam=a−n−m\frac{a^{-n}}{a^{m}} = a^{-n-m}
  2. (GE) Gleicher Exponent:
    1. a−n⋅b−n=(a⋅b)−na^{-n} \cdot b^{-n} = (a\cdot b)^{-n}
    2. a−nb−n=(ab)−n\frac{a^{-n}}{b^{-n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}
  3. (PP) Potenz einer Potenz:
    1. (a−n)−m=anm\left(a^{-n}\right)^{-m} = a^{nm}
    2. (an)−m=a−nm\left(a^{n}\right)^{-m} = a^{-nm}
    3. (a−n)m=a−nm\left(a^{-n}\right)^{m} = a^{-nm}