Die Potenzregeln

Wir fassen die verschiedenen Potenzregeln zusammen. aa und bb sind reelle Zahlen, nn und mm sind ganze Zahlen (n,m∈Zn,m \in \mathbb{Z}).

Theorem 1
Dan=a⋅...⋅a⏟nDefinitionen a−n=1ana0=1GBam⋅an=am+ngleiche Basisaman=am−nGEam⋅bm=(a⋅b)mgleicher Exponentambm=(ab)mPP(am)n=am⋅nPotenz einer Potenz\begin{array}{r|l|l}\hline D & a^n = \underbrace{a\cdot ... \cdot a}_{n} &\text{Definitionen }\\ & a^{-n} = \frac{1}{a^n} & \\[0.5em] & a^{0} = 1 & \\\hline GB & a^m \cdot a^n = a^{m+n} & \text{gleiche Basis}\\[0.5em] & \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} & \\\hline GE & a^m \cdot b^m = (a\cdot b)^m & \text{gleicher Exponent}\\[0.5em] & \frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b} \right)^m &\\\hline PP & \left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n} & \text{Potenz einer Potenz}\\\hline \end{array}
Exercise 1

Sind die Gleichungen korrekt? Argumentiere mit den Potenzregeln und gib an, wo welche Regel angewendet werden.

  1. am⋅a−m=1a^m \cdot a^{-m}=1

  2. (ab)−1=ba\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}

  3. 1a−m=am\frac{1}{a^{-m}}=a^m

  4. abm=(ab)mab^m = (ab)^m

  5. (1a)m=1am\left(\frac{1}{a}\right)^m=\frac{1}{a^m}

  6. (ab)−m=bmam\left(\frac{a}{b}\right)^{-m}=\frac{b^m}{a^m}

  7. (a+b)m=am+bm(a+b)^m=a^m+b^m

  8. (am)n=(an)m\left(a^m\right)^n = \left(a^n\right)^m

  9. (aaaa)m=amamamam(aaaa)^m = a^m a^m a^m a^m

Solution
  1. am⋅a−m=GBam+(−m)=a0=Z1a^m \cdot a^{-m} \overset{GB}{=} a^{m+(-m)}=a^0 \overset{Z}{=} 1 richtig
  2. (ab)−1=D1(ab)1=11ab=11⋅ba=ba\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} \overset{D}{=} \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^{1}} = \frac{\frac{1}{1}}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{a} richtig
  3. 1a−m=D11am=111am=11⋅am1=am\frac{1}{a^{-m}} \overset{D}{=} \frac{1}{\frac{1}{a^m}} = \frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{a^m}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{a^m}{1}= a^m richtig
  4. abm=ab...b⏟m≠(ab)mab^m = a\underbrace{b ... b}_{m} \neq (ab)^m falsch
  5. (1a)m=GE1mam1am\left(\frac{1}{a}\right)^m \overset{GE}{=} \frac{1^m}{a^m} \frac{1}{a^m} richtig
  6. (ab)−m=GEa−mb−m=1am1bm=1am⋅bm1=bmam\left(\frac{a}{b}\right)^{-m} \overset{GE}{=} \frac{a^{-m}}{b^{-m}} = \frac{\frac{1}{a^m} }{\frac{1}{b^m} } = \frac{1}{a^m} \cdot \frac{b^m}{1} = \frac{b^m}{a^m} richtig
  7. (a+b)m=D(a+b)(a+b)...(a+b)⏟m≠am+bm(a+b)^m \overset{D}{=} \underbrace{(a+b)(a+b)...(a+b)}_{m} \neq a^m+b^m falsch
  8. (am)n=PPam⋅nan⋅m=PP(an)m\left(a^m\right)^n \overset{PP}{=} a^{m\cdot n} a^{n\cdot m} \overset{PP}{=} \left(a^n\right)^m richtig
  9. (aaaa)m=((aa)⋅(aa))m=GE(aa)m⋅(aa)m=GEamamamam(aaaa)^m =((aa)\cdot(aa))^m \overset{GE}{=} (aa)^m \cdot (aa)^m \overset{GE}{=} a^m a^m a^m a^m richtig OR (aaaa)m=D(a4)m=PPa4m=GE(am)4=Damamamam(aaaa)^m \overset{D}{=} (a^4)^m \overset{PP}{=} a^{4m} \overset{GE}{=} (a^m)^4 \overset{D}{=} a^m a^m a^m a^m richtig