Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ein Ausdruck der Form

3^7

("drei hoch sieben") oder allgemeiner

a^n

wird eine Potenz genannt. Die $3$ oder das $a$ nennt man die Basis, und die $7$ oder das $n$ nennt man den Exponenten. Sowohl die Basis wie auch der Exponent können reelle Zahlen sein, aber hier diskutieren wir den Fall wo

$a$ eine reelle Zahl, und
$n$ eine natürliche Zahl oder $0$ ist ( $n \in \mathbb{N}_0$ ).

In späteren Kapitel werden wir Potenzen besprechen, bei denen der Exponent $n$ auch negativ ( $n\in \mathbb{Z}$ ) oder ein Bruch ( $n\in \mathbb{Q}$ ) sein kann.

Per Definition gibt für $n\in\mathbb{N}_0$ der Exponent an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden müssen. Für die Potenz $3^7$ müssen wir also $3$ siebenmal mit sich selbst multiplizieren:

3^7 =\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}_{7}

und allgemeiner gilt

\boxed{a^n =\underbrace{a\cdot ... \cdot a}_{n}}

Ebenfalls definieren wir

\boxed{a^0= 1}

Um zu sehen, dass es Sinn macht, $a^0=1$ zu definieren, beachte das folgende Beispiel (Basis $a=2$ ):

\begin{array}{lll} 2^3&=8 \quad\quad :2\\ 2^2&=4 \quad\quad :2\\ 2^1&=2 \quad\quad :2\\ 2^0&=\, ? \end{array}

Bei jeder Verringerung des Exponenten um $1$ wir die Potenz durch $2$ dividiert. Wenn wir also dieses Muster beibehalten wollen (und das wollen wir), ist es klar, dass $2^0=1$ sein muss.

Die Basis kann auch ein beliebiger Term sein (was letztendlich, wenn wir Zahlen einsetzen, wieder eine Zahl ist):

(ab)^3=\underbrace{(ab)\cdot (ab)\cdot (ab)}_{3} = ab ab ab

(a+b)^3=\underbrace{(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)}_{3}

Beachte, dass der Exponent "stärker bindet" als Multiplikation und Addition. Daher, es gilt

\begin{array}{rllrl} 2+4^3 &=& 2+4\cdot 4\cdot 4 &&\neq 6^3\\ 2\cdot 4^3 &=& 2\cdot 4\cdot 4\cdot 4 &&\neq 8^3\\ 2a^3 &=& 2\cdot a\cdot a\cdot a&&\neq (2a)^3\\ -2^4 &=& -2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 &= -16 & \neq (-2)^4=16 \end{array}

Es sei daran erinnert, dass Multiplikation "stärker bindet" als Addition:

2+4\cdot 4\cdot 4 = 2+64

und nicht

2+4\cdot 4\cdot 4 = 6\cdot 4\cdot 4\quad \xcancel{\phantom{c }}

Es gibt einige wichtige Regeln, die sagen, wie mit Produkten von Potenzen umgegangen werden muss, die sogenannten Potenzregeln. Aber bevor wir sie besprechen, löse einige Aufgaben.

Exercise 1

Sind die Aussagen richtig, und warum? Argumentiere mit der Definition von Potenzen.

$3+5\cdot 2 = 30$
$3\cdot 4^2 =144$
$0^7=0$ und $a^1=a$
$3^4=81$
$10^4=10000$
$a^3 \cdot a^5 = a^8$
$a^3 \cdot a^5 \cdot a^2 = a^9$
$(a+b)^4=a^4+b^4$
$(a\cdot b)^4=a^4 \cdot b^4$
$(a^3)^5=a^{15}$
$\frac{a^8}{a^4}=a^{2}$
$\frac{a^7}{a^3}=a^{4}$
$a^5\cdot b^5=(a\cdot b)^5$
$a^5\cdot b^4= (ab)^9$
$a^5\cdot b^4= (ab)^{20}$
$\frac{a^5}{a^7}=\frac{1}{a^2}$
$(2a)^4=16a^4$
$a^5\cdot b^5=a b^5$
$2a^4=16 a^4$
$\frac{a^4\cdot b^7\cdot c^2}{b^4\cdot a^5\cdot c^4}=\frac{b^3}{a\cdot c^2}$
$(a+b)^5\cdot (a+b)^4=(a+b)^9$
$\frac{a^5}{a^4}=a$
$\frac{(a+b)^3}{(a+b)^4}=\frac{1}{a+b}$
$(2a)^3 \cdot (3a)^2=72a^5$
$\frac{a^5}{3a^2}=3 a^3$
$a+b^3=(a+b)^3$
$\left(\frac{1}{a}\right)^4=\frac{1}{a^4}$
$\left(\frac{2}{a}\right)^4=\frac{16}{a^4}$
$\frac{2a^2}{a^2}=2$
$\frac{2+a^2}{a^2}=2$

Solution

$3+5\cdot 2 = 3+5+5 = 13 \neq 30$ falsch
$3\cdot 4^2 = 3\cdot 4\cdot 4 \neq 144$ falsch
$0^7=0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0$ richtig, und $a^1=a$ richtig
$3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 =81$ richtig
$10^4=10 \cdot 10\cdot 10\cdot 10 =10000$ richtig
$a^3 \cdot a^5 = aaa\,aaaaa = a^8$ richtig
$a^3 \cdot a^5 \cdot a^2 = aaa\,aaaaa\,aa =a^{10} \neq a^9$ falsch
$(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) \neq a^4+b^4$ falsch
$(a\cdot b)^4= (ab)(ab)(ab)(ab)=abababab=aaaabbbb=a^4 \cdot b^4$ richtig
$(a^3)^5=(a^3)(a^3)(a^3)(a^3)(a^3) = aaa\,aaa\,aaa\,aaa\,aaa = a^{15}$ richtig
$\frac{a^8}{a^4}=\frac{aaaa\not a \not a \not a \not a}{\not a \not a \not a \not a} = a^4 \neq a^{2}$ falsch
$\frac{a^7}{a^3} = \frac{aaaa\not a \not a \not a}{\not a \not a \not a} = a^{4}$ richtig
$a^5\cdot b^5= aaaaa\,bbbbb = ababababab = (ab)(ab)(ab)(ab)(ab) = (a\cdot b)^5$ richtig
$a^5\cdot b^4= aaaaa\,bbbb \neq (ab)^9$ falsch
$a^5\cdot b^4= aaaaa\,bbbb \neq (ab)^{20}$ falsch
$\frac{a^5}{a^7} = \frac{\not a \not a \not a \not a \not a}{\not a \not a \not a \not a \not a aa} = \frac{1}{a^2}$ richtig
$(2a)^4 = (2a)(2a)(2a)(2a) = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot aaaa = 16a^4$ richtig
$a^5\cdot b^5 = aaaaa\,bbbbb = ababababab=(ab)^5 \neq a b^5$ falsch
$2a^4= 2\cdot aaaa \neq 16 a^4$ falsch
$\frac{a^4\cdot b^7\cdot c^2}{b^4\cdot a^5\cdot c^4}= \frac{ \not a \not a \not a \not a \not b \not b \not b \not b bbb \not c \not c}{\not b \not b \not b \not b a \not a \not a\not a \not a \not c \not c cc} = \frac{b^3}{a\cdot c^2}$ richtig
$(a+b)^5\cdot (a+b)^4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\,\,(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)^9$ richtig
$\frac{a^5}{a^4}= = \frac{a \not a \not a \not a \not a}{ \not a \not a \not a \not a} = a$ richtig
$\frac{(a+b)^3}{(a+b)^4} = \frac{\cancel{(a+b)}\cancel{(a+b)}\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a+b)} \cancel{(a+b)} \cancel{(a+b)} (a+b)} = \frac{1}{a+b}$ richtig
$(2a)^3 \cdot (3a)^2 = (2a)(2a)(2a)\,(3a)(3a)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot aaaaa = 72 a^5$ richtig
$\frac{a^5}{3a^2} = \frac{aaa \not a \not a}{3 \not a \not a} = \frac{a^3}{3} \neq 3 a^3$ falsch
$a+b^3 = a+bbb \neq (a+b)^3$ falsch
$\left(\frac{1}{a}\right)^4 = \frac{1}{a}\frac{1}{a}\frac{1}{a}\frac{1}{a} = \frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{aaaa} = \frac{1}{a^4}$ richtig
$\left(\frac{2}{a}\right)^4= \frac{2}{a}\frac{2}{a}\frac{2}{a}\frac{2}{a} = \frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{aaaa} = \frac{16}{a^4}$ richtig
$\frac{2a^2}{a^2}= \frac{2 \not a \not a}{\not a \not a} =2$ richtig
$\frac{2+a^2}{a^2}= \frac{2+aa}{aa} \neq 2$ falsch

Exercise 2

Bestimme $(-1)^3$ , $(-1)^5$ , $(-1)^2$ , und $(-1)^4$ .
Für welche $n$ ist $(-1)^n$ gleich $1$ oder $-1$ ?
Ist $(-2)^{1001}$ eine positive oder negative Zahl?
Welche der zwei Zahlen $(-2)^{1000}$ und $-2^{1000}$ ist negativ, welche positiv?

Solution

$(-1)^3=(-1)(-1)(-1)=\underline{-1}$ , $(-1)^5=(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)=\underline{-1}$ , $(-1)^2=(-1)(-1)=\underline{1}$ $(-1)^4=(-1)(-1)(-1)(-1)=\underline{1}$
$(-1)^n=-1$ für $n$ ungerade, und $(-1)^n=1$ für $n$ gerade.
negativ, da $n$ ungerade: $(-2)^{1001}=\underbrace{(-2)....(-2)}_{1001}<0$ .
$(-2)^{1000}=\underbrace{(-2)....(-2)}_{1000}>0$ ist positiv, $-2^{1000}=-\underbrace{\,2\cdot 2\cdot ...\cdot 2}_{1000}<0$ ist negativ.

Exercise 3

Die Potenzregeln. $a$ und $b$ sind wie immer reelle Zahlen, und $n$ und $m$ sind natürliche Zahlen (oder $0$ ). Fülle die Kästchen aus.

(GB) Gleiche Basis:
1. $a^n \cdot a^m = a^\square$
2. $\frac{a^n}{a^m} = a^\square$
3. $\frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^\square}$
(GE) Gleicher Exponent:
1. $a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^\square$
2. $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^\square$
(PP) Potenz einer Potenz: $\left(a^n\right)^m = a^\square$
(VN) Vergiss nicht Regel: $a^\square + b^\square \neq (a+b)^\square$

Solution

(GB) Gleiche Basis:
1. $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
2. $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\,$ if $n>m$
3. $\frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^{m-n}}\,$ if $n<m$
(GE) Gleicher Exponent:
1. $a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n$ ,
2. $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$
(PP) Potenz einer Potenz: $\left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m}$
(VN) Vergiss nicht Regel: $a^n + b^n \neq (a+b)^n$