Ganze Zahlen

Bis anhin war der bekannte Zahlenbereich die Menge der natürlichen Zahlen, bezeichnet mit dem Symbol $\N$ . In dieser Menge sind Addition und Multiplikation problemlos möglich. Die Subtraktion stösst jedoch an ihre Grenzen. Eine einfache Aufgabe wie $3 - 5$ hat in $\N$ keine Lösung. Dieser Mangel ist nicht nur ein praktisches Problem, sondern auch ein "Schönheitsfehler innerhalb der mathematischen Theorie".

Die Motivation zur Erweiterung des Zahlenbereichs kommt direkt aus dem Alltag, wo Phänomene beschrieben werden müssen, die "unter Null" gehen.

Example 1: Beispiele aus dem Alltag

Temperatur: Fällt die Temperatur von $1^{\circ}\text{C}$ um $4$ Grad, muss das Ergebnis $-3^{\circ}\text{C}$ darstellbar sein.
Finanzen: Hebt man von einem Guthaben von 530,60 Fr. einen Betrag von 700 Fr. ab, entsteht ein negativer Kontostand (Soll).
Geografie: Höhenangaben unter dem Meeresspiegel, wie die der Kattara-Senke in Ägypten ( $-134\,\text{m}$ ), erfordern negative Zahlen.

Diese Beispiele zeigen, dass eine Erweiterung des Zahlenbereichs unumgänglich ist. Die Erweiterung folgt dabei einem wichtigen Leitprinzip.

Note 1: Das Permanenzprinzip

Bei der Erweiterung eines Zahlenbereichs sollen die bereits bekannten Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) ihre Gültigkeit behalten. Dies stellt sicher, dass die neue mathematische Struktur eine logische und konsistente Fortsetzung der alten ist.

Die Zahlengerade

Um die Subtraktion uneingeschränkt zu ermöglichen, wird der Zahlenstrahl zur Zahlengerade erweitert. Der bekannte Strahl, der bei Null beginnt, wird nach links über die Null hinaus fortgesetzt. Zu jeder positiven Zahl $x$ wird durch Spiegelung am Nullpunkt eine neue, negative Zahl $-x$ erzeugt. Dieser erweiterte Bereich wird als die Menge der ganzen Zahlen $\Z$ bezeichnet. Sinngemäss wie bei den natürlichen Zahlen kann die Zahl durch den vom Nullpunkt (Ursprung) zum Punkt $x$ zeigenden Pfeil dargestellt werden:

Definition 1: Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen, bezeichnet mit dem Symbol $\Z$ , ist definiert als:

\Z := \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}

Sie besteht aus den natürlichen Zahlen ( $\N$ ), ihren Gegenzahlen und der Null.

Exercise 1: 🧩

Bei flüchtiger Betrachtung der Zahlenmengen $\N$ und $\Z$ könnte man vermuten, dass es mehr ganze Zahlen als natürliche gibt.

Zeige, dass dem nicht so ist.

Solution

Wir konstruieren eine 1-zu-1-Korrespondenz zwischen den beiden Mengen $\N$ und $\Z$ . Wir ordnen jeder geraden natürlichen Zahl eine positive Zahl in $\Z$ (inkl. $0$ ) und jeder ungeraden Zahl eine negative zu.

Offensichtlich gehört also zu jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl, und damit haben die Mengen gleich viele Elemente.

Der Absolutbetrag

Definition 2: Gegenzahl

Zwei Zahlen heissen Gegenzahlen, wenn die zugehörigen Pfeile auf der Zahlengeraden (vom Nullpunkt ausgehend) gleich lang, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Die Gegenzahl von $a$ wird mit $-a$ bezeichnet.

Theorem 1

Für jede ganze Zahl $a$ gilt:

-(-a)=a

Proof

Die Gegenzahl ist die Spiegelung der Zahl am Ursprung $0$ . Es ist zu beachten, dass die Spiegelung selbstinvers ist.

Note 2

Es ist wichtig, das Minuszeichen als Vorzeichen (Teil des Namens einer Zahl, z. B. in $-3$ ) und als Rechenzeichen (Aufforderung zur Subtraktion, z. B. in $5 - 3$ ) zu unterscheiden. Das Minus in $-a$ ist zunächst ein Vorzeichen.

Definition 3: Betrag

Die Entfernung des Punktes $a$ vom Ursprung, also die Länge des Pfeiles $a$ , heisst Absolutbetrag der Zahl $a$ . Er wird mit $|a|$ bezeichnet. Die beiden senkrechten Striche nennt man Betragsstriche.

Note 3

Oft sagt man statt Absolutbetrag kurz Betrag. Algebraisch kann der Betrag einer Zahl $x$ wie folgt notiert werden:

|x| = \begin{cases} -x & \text{falls } x < 0, \\ x & \text{falls } x \geq 0 \end{cases}

Exercise 2: Betragsgleichungen

Welche Zahlen $z \in \Z$ erfüllen folgende Bedingung? Notiere die Lösung als Menge.

a) $|z| \leq 0$

b) $|z| < 1$

c) $|z| \leq 3$

d) $|z| > 0$

e) $|z| \geq 2$

f) $1 < |z| < 4$

Solution

a) $\{0\}$

b) $\{0\}$

c) $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

d) $\Z \setminus \{0\}$

e) $\Z \setminus \{-1, 0, 1\}$

f) $\{-3, -2, 2, 3\}$

Exercise 3: 🧩

Beweise die Dreiecksungleichung.

Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt:

|x + y| \leq |x| + |y|

Solution

Da beide Seiten der Ungleichung nicht negativ sind, ist das Quadrieren beider Seiten eine Äquivalenzumformung. Die Ungleichung ist also genau dann wahr, wenn die quadrierte Ungleichung wahr ist:

|x + y|^2 \leq (|x| + |y|)^2

Nun nutzen wir die fundamentale Eigenschaft des Betrags $|a|^2 = a^2$ . Anschliessend wenden wir auf beiden Seiten die erste binomische Formel an:

\begin{align*} (|x+y|)^2 = (x+y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 \\ (|x|+|y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 &= x^2 + 2|x||y| + y^2 \end{align*}

Es gilt $2xy \leq 2|x||y|$ nach Definition des Betrags, also

(|x+y|)^2 \leq (|x|+|y|)^2

woraus die Behauptung $|x+y| \leq |x|+|y|$ folgt.

Rechengesetze

Note 4

Die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“ ist keine willkürliche Festlegung, sondern eine logische Notwendigkeit, um die Widerspruchsfreiheit der Rechengesetze zu erhalten.

Note 5: Assoziativgesetze (A)

Die Gruppierung von Operanden ist beliebig.

Addition: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Multiplikation: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Note 6: Distributivgesetz (D)

Dieses Gesetz verbindet Addition und Multiplikation.

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Note 7: Neutrale und Inverse Elemente (N, I)

Addition: Das neutrale Element ist die $0$ ( $a+0=a$ ). Jede Zahl $a$ hat ein inverses Element, ihre Gegenzahl $-a$ , sodass $a+(-a)=0$ .
Multiplikation: Das neutrale Element ist die $1$ ( $a \cdot 1 = a$ ). In $\Z$ haben nur $1$ und $-1$ ein ganzzahliges multiplikatives Inverses.

Historischer Kontext

Die Akzeptanz der negativen Zahlen war ein langer und mühsamer Prozess, der zeigt, dass die konzeptionellen Schwierigkeiten über Jahrhunderte von der gesamten mathematischen Gemeinschaft geteilt wurden.

Negative Zahlen wurden bereits im alten China (schwarze Rechenstäbchen) und in Indien (als "Schulden") verwendet. Griechische und arabische Mathematiker waren skeptisch. Diophant nannte negative Lösungen "unstatthaft". In Europa wurden sie lange mit Misstrauen betrachtet. Michael Stifel nannte sie im 16. Jahrhundert "absurde Zahlen", und selbst Descartes sprach im 17. Jahrhundert noch von "falschen" Lösungen. Die vollständige Integration der negativen Zahlen erfolgte erst im 19. Jahrhundert durch Mathematiker wie George Peacock und Hermann Hankel, die mit dem Permanenzprinzip eine solide theoretische Grundlage schufen.