Ereignisse und logische Aussagen

Beachte, dass nach der Durchführung eines Experiments jeweils genau eines von den möglichen Ergebnissen eintreten kann.

Für Ereignisse ist dies nicht der Fall. Nach der Durchführung eines Experiments kann es sehr wohl der Fall sein, dass mehrere Ereignisse eingetreten sind.

Example 1

Ein Würfel wird geworfen. Betrachte die Ereignisse

E={1,2}E=\{1,2\}

und

F={2,3}F=\{2,3\}

Wenn das Ergebnis 11 ist, tritt das Ereignis EE ein. Wenn das Ergebnis 22 eintritt, treten sowohl Ereignisse EE als auch FF ein, und wenn Ereignis 33 eintritt, tritt das Ereignis FF ein. Bei jedem anderen Ausgang treten weder EE noch FF ein.

Nehmen wir an, wir haben die beiden Ereignisse EE und FF. Oft sind wir nicht am Auftreten von EE und FF interessiert, sondern eher daran, ob sie beide im selben Experiment auftreten, oder ob nur eines von ihnen auftritt und das andere nicht, und so weiter.

Die Mengenlehre erlaubt es uns, solche Aussagen auf einfache Weise zu formulieren. Wenn man das obige Beispiel noch einmal betrachtet, stellt man fest, dass E und F im selben Experiment eintreten, wenn das Experiment ein Ergebnis hervorgebracht hat, das in beiden Ereignissen EE und FF enthalten ist. Mit anderen Worten: EE und FF treten beide auf, wenn das Ergebnis in der Schnittmenge zwischen EE und FF liegt.

E oder F tritt ein, wenn das Ergebnis in EE oder in FF oder in beiden liegt, das heisst, das Ergebnis liegt in der Vereinigung von EE und FF.

Und E tritt nicht ein, wenn das Ergebnis nicht in EE ist, d.h. das Ergebnis im Komplement von E′E^\prime ist.

Fassen wir zusammen:

Theorem 1

Betrachte zwei Ereignisse E⊂SE\subset S und F⊂SF\subset S eines Zufallsexperiments mit Ereignismenge SS. Wir führen nun das Experiment durch.

Equation 1
p(E oder F)=p(E∪F)p(E und F)=p(E∩F)p(nicht E)=p(E‾)\begin{array}{lll} p(E \text{ oder } F) & = & p(E\cup F)\\ p(E \text{ und } F) & = & p(E\cap F)\\ p(\text{nicht } E) & = & p(\overline{E}) \end{array}

Logische Aussagen als Mengenoperatoren

Beachte, dass wir nicht unbedingt die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments kennen müssen - oft haben wir es nur mit Ereignissen zu tun. Siehe dazu die folgenden Übungen.

Exercise 1

Wir betrachten die Wettervorhersage für morgen als ein Zufallsexperiment. Wir sind an den folgenden beiden Ereignissen interessiert:

  • EE="die Sonne scheint"
  • FF="es ist windig"

Drücke die folgenden Ereignisse mit Hilfe von EE und FF, und den Mengenoperatoren Schnittmenge, Vereinigung und Komplement aus.

  1. Es ist windig und die Sonne scheint.
  2. Es ist windig oder die Sonne scheint.
  3. Es ist nicht windig.
  4. Es ist nicht windig und die Sonne scheint.
  5. Es ist entweder windig oder die Sonne scheint (aber nicht beides).
  6. Es ist weder windig noch scheint die Sonne.

Überlege ebenfalls: warum sind EE und FF keine Ergebnisse ?

Solution
  1. E∩FE\cap F
  2. E∪FE \cup F
  3. F′F^\prime
  4. F′∩EF^\prime \cap E
  5. (F∪E)∩(F∩E)′(F \cup E) \cap (F \cap E)^\prime oder auch (E∩F′)∪(E′∩F)(E\cap F^\prime) \cup (E^\prime \cap F)
  6. (E∪F)′(E \cup F)^\prime

EE und FF können keine Ergebnisse sein, weil EE und FF gleichzeitig eintreten können. Bei einem Zufallsexperiment darf aber nur ein Ergebnis eintreten.

Exercise 2

Wir betrachten die Vorhersage, ob die beiden Schüler Albert und Berta zu spät zur Schule kommen, als ein Zufallsexperiment. Wir definieren die beiden Ereignisse

  • EE="Albert kommt zu spät" und
  • FF="Berta kommt zu spät".

Drücke die folgenden Ereignisse als logische Aussagen aus:

  1. E′E^\prime

  2. E∩FE \cap F

  3. E∪FE\cup F

  4. E∩F′E\cap F^\prime

  5. (E∩F′)∪(E′∩F)(E\cap F^\prime) \cup (E^\prime\cap F)

  6. (E∩F)′(E\cap F)^\prime

Solution
  1. Albert kommt rechtzeitig (ist nicht zu spät).
  2. Albert und Berta sind zu spät.
  3. Albert oder Berta sind zu spät (einer von beiden oder beide)
  4. Albert ist zu spät und Berta ist nicht zu spät.
  5. Entweder Albert oder Berta sind zu spät, aber nicht beide.
  6. Beide (Albert und Berta) sind nicht zu spät.
Theorem 2

Es seien E⊂SE\subset S und F⊂SF\subset S zwei disjunkte] Ereignisse eines Zufallsexperiments mit Ergebnisraum SS. Wird das Experminent durchgeführt, so kann höchstens eines dieser beiden Ereignisse eintreten.

Dasselbe gilt für paarweise disjunkte Ereignisse. Es kann immer höchstens eines der Ereignisse eintreffen.

Proof

In der Tat, da ja beide Ereignisse EE und FF nur dann eintreten können, wenn der Ausgang des Experiments in beiden Mengen EE und FF liegt, kann dann E∩FE\cap F nicht leer sein. Analoge Argumention für mehrere Ereingisse.

Theorem 3

Betrachte ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum SS, und nimm an, dass die Teilmengen E1,...,EmE_1,...,E_m eine Partition von SS bilden. Es gilt dann, dass genau eines der Ereignisse E1,...,EmE_1,...,E_m eintreten muss.

Proof

Da Partition, sind E1,...,EmE_1,...,E_m paarweise disjunkt, es kann also höchstens ein Ereignis eintreten. Da Partition, ist jedes Ergebnis in genau einem der Ereignisse E1,...,EmE_1,...,E_m enthalten. Es kann also nie mehr als eines der Ereignisse eintreten.