Baumdarstellung von Ereignissen

Motivation

Oft wollen wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen wie "die Person hat grüne Augen, ist aber nicht gross" oder "es ist weder windig noch regnerisch" usw. ermitteln. Wenn wir uns den Aufbau solcher Aussagen genauer betrachten, sehen wir, dass sie aus zwei verschiedenen Ereignissen bestehen, die durch logische Operatoren kombiniert werden.

Wenn wir zum Beispiel die Ereignisse EE="grüne Augen" und FF="gross" definieren, dann kann das Ereignis "die Person hat grüne Augen, ist aber nicht gross" ausgedrückt werden als "die Person hat grüne Augen UND ist NICHT gross". Mit Mengen ausgedrückt, ist dies E∩F′E\cap F^\prime.

Eine Baumstruktur ist oft hilfreich, logische Verknüpfungen von zwei (oder mehr) Ereignissen darzustellen.

Definition 1

Gegen seien zwei Ereingisse E⊂SE\subset S und F⊂SF\subset S eines Zufallsexperiments mit Ergebnisraum SS. Wir können die Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsbaum anordnen, wobei wir den Baum wiefolgt lesen:

  1. Jede Linie im Wahrscheinlichleitsbaum wird als Ast bezeichnet. Der obige Baum hat 66 Äste.

  2. Folgt man den Ästen von oben nach unten, erhält man einen Pfad, der dafür steht dass alle Ereinisse entlang des Pfads eintreffen. Der obige Baum hat 44 Pfade, die für die folgenden 4 Ereignisse stehen:

    EF=E∩F,EF′=E∩F′,E′F=E′∩F,E′F′=E′∩F′EF=E\cap F, EF^\prime=E\cap F^\prime, E^\prime F=E^\prime\cap F, E^\prime F\prime=E^\prime \cap F^\prime

    (siehe Venn-Diagramme oben). Beachte, dass wir oft das '∩\cap' nicht schreiben, um die Notation etwas zu vereinfachen.

  3. Pfade werden mit dem Operator ODER, oder in Mengenschreibweise mit einem ∪\cup, kombiniert. Kombiniert man zum Beispiel die Pfade EFEF und EF′EF^\prime, so erhält man das Ereignis (E∩F)∪(E∩F′)(E\cap F)\cup (E\cap F^\prime), was einfach EE ist (siehe Venn-Diagramme oben).

Wir werden später solche Baumstrukturen noch öfters benutzen. Dann sollte das Ganze mehr Sinne ergeben.

Exercise 1

Betrachte das Zufallsexperiment am Anfang dieses Abschnitts, d.h. die zufällige Auswahl einer Person aus einer Gruppe, und setze EE="grüne Augen", FF="gross". Welche Pfade gehören zu den Ereignissen:

  1. Die Person hat grüne Augen und ist klein.

  2. Die Person hat keine grünen Augen und ist klein.

  3. Die Person hat grüne Augen.

  4. Die Person ist klein.

Solution
  1. E∩F′E\cap F^\prime (Pfad EF′EF^\prime)
  2. E′∩F′E^\prime \cap F^\prime (Pfad E′∩F′E^\prime\cap F^\prime)
  3. (E∩F)∪(E∩F′)(E \cap F)\cup (E \cap F^\prime) (Pfade EFEF, EF′EF^\prime)
  4. (E∩F′)∪(E′∩F′)(E \cap F^\prime)\cup (E^\prime \cap F^\prime) (Pfade EF′EF^\prime, E′F′E^\prime F^\prime)

Eine baumartige Organisation der Ereignisse eignet sich besonders gut für mehrstufige Experimente, bei denen die Top-Down-Hierarchie des Baums die Stufen widerspiegelt. Hier ist ein Beispiel.

Exercise 2

Wir werfen zweimal eine Münze und interessieren uns für die Ereignisse K1K_1="Kopf beim ersten Wurf" und K2K_2="Kopf beim zweiten Wurf". Zeichne den Baum beginnend mit K1K_1.

  1. Kopf im ersten Wurf

  2. Kopf im zweiten Wurf

  3. genau einen Kopf

  4. mindestens einen Kopf

  5. höchsten einen Kopf

Solution
  1. Pfade K1K2,K1K2′K_1 K_2, K_1 K_2^\prime, Ereignis (K1∩K2)∪(K1∩K2′)(K_1\cap K_2)\cup (K_1 \cap K_2^\prime)
  2. Pfade K1K2,K1′K2K_1 K_2, K_1^\prime K_2, Ereignis (K1∩K2)∪(K1′∩K2)(K_1\cap K_2)\cup (K_1^\prime \cap K_2)
  3. Pfade K1K2′,K1′K2K_1 K_2^\prime, K_1^\prime K_2, Ereignis (K1∩K2′)∪(K1′∩K2)(K_1\cap K_2^\prime)\cup (K_1^\prime \cap K_2)
  4. Pfade K1K2′,K1′K2,K1K2K_1 K_2^\prime, K_1^\prime K_2, K_1 K_2, Ereignis (K1∩K2′)∪(K1′∩K2)∪(K1∩K2)(K_1\cap K_2^\prime)\cup (K_1^\prime \cap K_2) \cup (K_1 \cap K_2)
  5. Pfade K1K2′,K1′K2,K1′K2′K_1 K_2^\prime, K_1^\prime K_2, K_1^\prime K_2^\prime, Ereignis (K1∩K2′)∪(K1′∩K2)∪(K1′∩K2′)(K_1\cap K_2^\prime)\cup (K_1^\prime \cap K_2) \cup (K_1^\prime \cap K_2^\prime)