Zufallsereignisse

Wir diskutieren nun Ereignisse von Zufallsexperimenten. Mit Hilfe von Ereignissen können wir nicht nur die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bestimmen, sondern auch die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebniss eine bestimmte Eigenschaft hat. Wir illustrieren das mit dem Wurf eines Würfels:

Der Ergebnisraum ist S={1,2,3,4,5,6}S=\{1,2,3,4,5,6\}. Ein mögliches Ergebnis ist, dass eine 66 geworfen wird. Vielleicht interessiert uns aber eher, of eine gerade Zahl geworfen wurde, also eine 22, eine 44, oder eine 66. Wir wollen also wissen, ob das Ergebnis des Wurfs in der Teilmenge {2,4,6}\{2,4,6\} enthalten ist, und ultimativ wollen wir wissen, wie gross die Wahrscheinlichkeit dafür ist.

Wir sehen also, dass Ereignisse Teilmengen des Ergebnisraums sind. Wir definieren allgemein:

Definition 1

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum SS. Jede Teilmenge E⊂SE\subset S wird als Ereignis bezeichnet.

Wir führen nun das Experiment durch. Wir sagen, dass das Ereignis E tritt ein, falls das eingetretene Ergebnis in EE enthalten ist.

Example 1

  1. Ein Würfel wird geworfen. Der Stichprobenraum ist S={1,2,3,4,5,6}.S=\{1,2,3,4,5,6\}.

    • das Ereignis E={2,4,6}E=\{2,4,6\} tritt ein kann auch als "eine gerade Zahl tritt ein" ausgedrückt werden.
    • das Ereingis F={1,3,5}F=\{1,3,5\} tritt ein kann auch als Ereignis "eine ungerade Zahl tritt ein" ausgedrückt werden.
    • das Ereignis "eine Zahl kleiner als 33" ist die Teilmenge E={1,2}E=\{1,2\}.

  2. Eine Münze wird zweimal geworfen. Der Stichprobenraum ist S={KK,KZ,ZK,ZZ}S=\{KK,KZ, ZK, ZZ\}

    • Das Ereignis "genau ein Kopf ist aufgetreten" kann auch als "das Ereignis E={KZ,ZK}E=\{KZ, ZK\} ist eingetreten" ausgedrückt werden.
    • Das Ereignis "kein Kopf ist aufgetreten" kann auch als "das Ereignis E={ZZ}E=\{ZZ\} ist aufgetreten" ausgedrückt werden.
    • Das Ereingis "mindestens ein Kopf" ist die Teilmenge {KZ,ZK,KK}\{KZ, ZK, KK\}.

  3. Zufällige Auswahl einer Person aus einer Gruppe von mm Personen. Der Ergebnisraum besteht aus allen möglichen Personen der Gruppe: S={p1,p2,...,pm}S=\{p_1, p_2, ... , p_m\}. Ein Ereignis könnte EE="Person hat grüne Augen" sein. Dieses Ereignis EE enthält dann alle Personen im Ergebnisraum mit grünen Augen.

Einige spezielle Ereignisse:

Definition 2
  • Das Gegenereignis eines Ereignisses EE ist das Ereignis E′E^\prime. Der Name macht Sinn. Falls EE eintritt, kann das Gegenteil E′E^\prime nicht eintreten und umgekehrt, falls EE nicht eintritt, muss das Gegenteil E′E^\prime eintreten.
  • Das sichere Ereignis ist das Ereignis E=SE=S. Diese Bezeichnung ist sinnvoll, da dieses Ereignis immer eintritt.
  • Das unmögliche Ereignis ist das Ereignis E={}E=\{ \}. Auch diese Bezeichnung ist sinnvoll, da dieses Ereignis nie eintreten wird (da das Experiment immer zu einem Ergebnis führt).
  • Die atomaren Ereignisse sind die Ereignisse, die genau ein Ergebnis enthalten, also {o1},{o2},...,{om}\{o_1\}, \{o_2\}, ..., \{o_m\}. Oft werden wir nicht zwischen Ergebnissen und atomaren Ereignissen unterscheiden und einfach o1,...,omo_1, ..., o_m schreiben.
Exercise 1

Drücke jedes Ereignis als eine Auswahl von Ergebnissen aus.

  1. Es wird zweimal gewürfelt.

    EE="die Summe der beiden beobachteten Zahlen ist gerade"

    FF="mindestens eine 6 ist aufgetreten"

    GG="keine 6 ist aufgetreten"

    HH="die Summe liegt zwischen 66 und 88 (einschliesslich 66 und 88)"

  2. Sie wählen zufällig eine Zahl zwischen 11 und 1010 aus einem Korb

    II="die ausgewählte Zahl ist eine Primzahl"

    JJ="die gewählte Zahl ist durch 33 teilbar und grösser als 55"

Solution

  1. E={11,13,15,22,24,26,31,33,35,42,44,46,51,53,55,62,64,66}E=\{11,13,15,22,24,26,31,33,35,42,44,46,51,53,55,62,64,66\}

    F={16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66}F=\{16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66\}

    G=F′G=F^\prime

    H={15,16,24,25,26,33,34,35,42,43,44,51,52,53,61,62}H=\{15,16,24,25,26,33,34,35,42,43,44,51,52,53,61,62\}

  2. I={2,3,5,7}I=\{2,3,5,7\}

    J={6,9}J=\{6,9\}