Skalarprodukt

Wünschenswert wäre eine Formel, mit der man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kann.

Exercise 1: Zwischenwinkel via Cosinussatz

Zeichne ein beliebiges Dreieck und wähle zwei Seiten als v⃗\vec{v} bzw. w⃗\vec{w}. Drücke die dritte Seite als Differenz dieser beiden Vektoren aus und formuliere mit allen dreien den Cosinussatz. Vereinfache danach und löse nach dem Winkel auf.

Solution

Seien v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} Vektoren zweier Seiten mit Zwischenwinkel φ\varphi. Die gegenüberliegende Seite ist dann zum Beispiel v⃗−w⃗\vec{v}-\vec{w}. Nach Cosinussatz also

∣v⃗−w⃗∣2=∣v⃗∣2+∣w⃗∣2−2∣v⃗∣∣w⃗∣cos⁡(φ)|\vec{v}-\vec{w}|^2 = |\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2-2|\vec{v}||\vec{w}|\cos(\varphi)

und daraus weiter

(vx−wx)2+(vy−wy)2+(vz−wz)2=vx2+vy2+vz2+wx2+wy2+wz2−2vwcos⁡(φ)−2(vxwx+vywy+vzwz)=−2vwcos⁡(φ)cos⁡(φ)=vxwx+vywy+vzwzvwφ=arccos⁡(vxwx+vywy+vzwzvw)\begin{align*} (v_x-w_x)^2+(v_y-w_y)^2+(v_z-w_z)^2 &= v_x^2+v_y^2+v_z^2+w_x^2+w_y^2+w_z^2-2vw\cos(\varphi)\\ -2(v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z) &= -2vw\cos(\varphi)\\ \cos(\varphi) &= \frac{v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z}{vw}\\ \varphi &= \arccos\left(\frac{v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z}{vw}\right) \end{align*}

(Herleitung Zwischenwinkel zwischen 2 Vektoren kommentiert)

Diese Herleitung liefert also die Formel, aus der der Zwischenwinkel zweier Vektoren berechnet werden kann. Ferner taucht bei der Herleitung der Term

vxwx+vywy+vzwzv_xw_x+v_yw_y+v_zw_z

auf.

Definition 1: Skalarpordukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} ist definiert durch

v⃗⋅w⃗:=vxwx+vywy+vzwz=∣v⃗∣⋅∣w⃗∣⋅cos⁡(φ).\vec{v}\cdot\vec{w} := v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z = |\vec{v}|\cdot|\vec{w}|\cdot\cos(\varphi).

Mit Hilfe des Skalarprodukts lässt sich der Winkel φ\varphi zwischen zwei Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} in kompakter Form angeben. Es gilt

Theorem 1

Für den Zwischenwinkel φ\varphi zweier Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} gilt

φ=cos⁡−1(v⃗⋅w⃗∣v∣⃗⋅∣w⃗∣)\varphi = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v|}\cdot\mid\vec{w}\mid}\right)
Proof

Siehe Übung oben.

Note 1

Der Punkt als Multiplikationszeichen ist natürlich immer sinngemäss zu interpretieren:

  • Steht er zwischen zwei Vektoren, so meint man das Skalarprodukt.
  • Steht er zwischen zwei reellen Zahlen, dann handelt es sich um die übliche Multiplikation.
  • Steht er zwischen einem Skalar und einem Vektor, so ist die S-Multiplikation gemeint.
Exercise 2: Zwischenwinkel

Berechne das Skalarprodukt und den Zwischenwinkel von

(−680)und(−3124)\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\begin{pmatrix}-3\\12\\4\end{pmatrix}
Solution

\varphi = \arccos\left(\frac{(-6)(-3)+8\cdot12+0\cdot4}{\sqrt{(-6)^2+8^2+0^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+12^2+4^2}}\right) = \arccos\left(\frac{114}{10\cdot13}\right) \approx 29^\circ

Orthogonalität

Man kann ja bekanntlich das Skalarprodukt auch folgendermassen schreiben

v⃗⋅w⃗=∣v∣⃗⋅∣w∣⃗⋅cos⁡(φ).\vec{v}\cdot\vec{w} = |\vec{v|}\cdot|\vec{w|}\cdot\cos(\varphi).

Dies veranschaulicht eine Anwendung des Skalarprodukts. Sind zwei Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} mit positiver Länge gegeben, dann ist ihr Skalarprodukt genau dann gleich 00, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Man sagt dann v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} sind zueinander orthogonal und schreibt kurz v⃗⊥w⃗\vec{v}\bot\vec{w}. Es gilt also

Theorem 2: Satz zur Orthogonalität

Für v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} mit v⃗≠0⃗\vec{v}\neq\vec{0} und w⃗≠0⃗\vec{w}\neq\vec{0} gilt:

v⃗ ⊥ w⃗⇔v⃗⋅w⃗=0\vec{v}\,\bot\,\vec{w} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{v}\cdot\vec{w} = 0
Proof

Gilt v⃗ ⊥ w⃗\vec{v}\,\bot\,\vec{w}, so ist φ=90∘\varphi = 90^\circ und damit cos⁡(90∘)=0\cos(90^\circ) = 0. Also v⃗⋅w⃗=∣v⃗∣⋅∣w⃗∣⋅cos⁡(90∘)=0\vec{v}\cdot\vec{w} = |\vec{v}|\cdot|\vec{w}|\cdot\cos(90^\circ) = 0.

Gelte umgekert v⃗⋅w⃗=0\vec{v}\cdot\vec{w} = 0. Dann folgt wegen v⃗≠0≠w⃗\vec{v} \neq 0 \neq \vec{w} und damit ∣v⃗∣≠0≠∣w⃗∣|\vec{v}| \neq 0 \neq |\vec{w}|, dass cos⁡(φ)=0\cos(\varphi)=0. Also φ=90∘\varphi = 90^\circ.

Exercise 3: Orthogonalität der Achsen

Zeige, dass die xx-, yy- und zz-Achse eines Koordinatensystems paarweise senkrecht aufeinander stehen.

Solution

Seien v⃗≠0⃗≠w⃗\vec{v} \neq \vec{0} \neq \vec{w} orthogonal, dann ist ihr Zwischenwinkel φ=90∘\varphi = 90^\circ und damit cos⁡(90∘)=0\cos(90^\circ) = 0. Also v⃗⋅w⃗=0\vec{v}\cdot\vec{w} = 0.

Gilt umgekehrt v⃗⋅w⃗=0\vec{v}\cdot\vec{w} = 0, wobei v⃗≠0⃗≠w⃗\vec{v} \neq \vec{0} \neq \vec{w}. Dann muss cos⁡(φ)=0\cos(\varphi) = 0 sein, also φ=arccos⁡(0)=90∘\varphi = \arccos(0) = 90^\circ.

Exercise 4: 🧩

Der Vektor u⃗\vec{u} soll auf den Vektoren v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} senkrecht stehen. Berechne uyu_y und uzu_z.

u⃗=(7uyuz),v⃗=(438),w⃗=(−5209)\vec{u}=\begin{pmatrix}7\\u_y\\u_z\end{pmatrix},\quad\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\3\\8\end{pmatrix},\quad\vec{w}=\begin{pmatrix}-5\\20\\9\end{pmatrix}
Solution

u⃗⋅v⃗=28+3uy+8uz=!0\vec{u}\cdot\vec{v} = 28+3u_y+8u_z \stackrel{!}{=} 0. Da 33 und 88 die 2828 nicht teilen, probieren wir aus. Beispielsweise geht uy=−4u_y=-4 und uz=−2u_z=-2.

Exercise 5: Rechtwinkliges Dreieck

Zeige, dass die Vektoren

u⃗=(3−21),v⃗=(1−35),w⃗=(21−4)\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix},\quad\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix},\quad\vec{w} = \begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}

ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Solution

Es ist u⃗⊥w⃗\vec{u}\bot\vec{w}, da ihr Skalarprodukt 00 ist. Ferner u⃗−w⃗=v⃗\vec{u}-\vec{w} = \vec{v} und damit haben wir ein rechtiwinkliges Dreieck.

Exercise 6: Winkel im Dreieck

Berechne die Winkel des Dreiecks mit den Ecken

A(2∣1∣−3),  B(−3∣0∣1) und C(7∣−19∣−1)A(2|1|-3),\; B(-3|0|1)\text{ und }C(7|-19|-1)
Solution

Die Seiten sind

AB⃗=(−5−14),AC⃗=(5−202),BC⃗=(10−19−2)\vec{AB}=\begin{pmatrix} -5\\-1\\4 \end{pmatrix},\quad \vec{AC}=\begin{pmatrix} 5\\-20\\2 \end{pmatrix},\quad \vec{BC}=\begin{pmatrix} 10\\-19\\-2 \end{pmatrix}

Daraus folgen die Winkel α≈89∘\alpha \approx 89^\circ, β≈73∘\beta \approx 73^\circ und damit γ≈18∘\gamma \approx 18^\circ

Exercise 7: Raumdiagonalen im Würfel

Berechne vektoriell den Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen eines Würfels.

Solution

Für die Würfeldiagonalen nehmen wir die Vektoren (kkk)\begin{pmatrix} k\\k\\k \end{pmatrix} und (kk−k)\begin{pmatrix} k\\k\\-k \end{pmatrix} und berechnen ihren Zwischenwinkel.

φ=arccos⁡(2k23k2)=arccos⁡(23)≈48∘\varphi=\arccos\left(\frac{2k^2}{3k^2}\right)=\arccos\left(\frac{2}{3}\right)\approx48^\circ

(Winkel der Raumdiagonalen kommentiert)

Exercise 8: 🧩

Ein Flugzeug fliegt vom Punkt (45∘N∣0∘W)(45^{\circ}\text{N} \mid 0^{\circ}\text{W}) längs des 45∘45^{\circ}-Breitenkreises zum Punkt (45∘N∣75∘W)(45^{\circ}\text{N} \mid 75^{\circ}\text{W}). Wir zeigen, dass der Weg längs eines Grosskreises kürzer ist. Ein Grosskreis ist ein Kreis auf der Kugel mit Mittelpunkt im Kugelmittelpunkt.

Solution

Um den Weg über den Grosskreis zu berechnen, muss man den Öffnungswinkel des Grosskreisbogens bestimmen. Das geht am einfachsten mit dem Skalarprodukt. Der Rest ist dann einfach. Um den Weg längs des Breitenkreises zu berechnen, ermittelt man den Radius auf dieser "Höhe" und damit ist man fast fertig.

Am besten schaut man sich für die Lösung das Video an: (Flugzeug auf Grosskreis kommentiert)

Fun Fact: Es gilt allgemein, dass die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche längs des Grosskreises verläuft, der durch diese beiden Punkte geht.

Exercise 9: Winkel zwischen Flächen

Berechne den Winkel, den die beiden im unten stehenden Würfel skizzierten ebenen Flächen einschliessen.

Zeichne die Schnittgerade der beiden Ebenen ein.

Solution

Man bestimmt die beiden Normalenvektoren und berechnet den Winkel zwischen ihnen.

Die Vektoren sind beispielsweise (−110)\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} und (01−1)\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}. Somit φ=arccos⁡(122)≈69∘\varphi = \arccos(\frac{1}{2\sqrt{2}}) \approx 69^\circ