Gleichungssysteme

Example 1

Wir vergleichen zwei Angebote der Anbieter "Klementine" und "SwissPhone".

Klementine bietet ein Abo mit einer Grundgebühr von $10\,\unit{Franken}$ und jede SMS $25\,\unit{Rappen}$ an.
SwissPhone offeriert eine Grundgebühr von $20\,\unit{Franken}$ und jede SMS $15\,\unit{Rappen}$ .

Wir schätzen die Anzahl SMS, die wir pro Monat verschicken, und vergleichen die beiden Anbieter. Für Klementine haben wir die Kostenfunktion

k_K(x)=0.25x+10

und für SwissPhone

k_S(x)=0.15x+20

Wir sehen, dass ab einer gewissen Anzahl SMS der ursprünglich teurere Anbieter SwissPhone billiger ist als Klementine. Deshalb wollen wir die Anzahl SMS bestimmen, für die die Kosten bei beiden Anbietern gleich ausfallen. In anderen Worten: Wir bestimmen denjenigen $x$ -Wert, für den

k_K(x)=k_S(x)

gilt. Dies ist der Schnittpunkt $P$ . Wir erhalten

\begin{align} k_K(x)&=k_S(x)\tag{Bedingung Schnittpunkt}\\ 0.25x+10&=0.15x+20\tag{$-0.15x-10$}\\ 0.1x&=10\tag{$\cdot10$}\\ x&=100\notag \end{align}

Für $100$ verschickte SMS pro Monat sind beide Anbieter gleich teuer; die Kosten betragen dann

k_K(100)=0.25\cdot100+10=35\,\unit{Franken}.

Das heisst, ab $101$ verschickten SMS pro Monat ist SwissPhone billiger.

Gleichungen, die zusammen betrachtet werden sollen, nennt man ein System von Gleichungen. Eine Gleichung heisst linear, wenn jede Variable separat mit dem Exponenten $1$ vorkommt.

Example 2

Eine lineare Gleichung ist zum Beispiel

x+2y+\sqrt{3}z=5^3

Hingegen sind

x+y^2+\sqrt{z}=5^3

und

x+yz=5^3

keine linearen Gleichungen.

Example 3

Gegeben seien die beiden Gleichungen

\begin{align*} y+2x&=1\\ y-x&=-5 \end{align*}

Es gibt nun verschiedene Methoden, die Lösung $(x\mid y)$ dieses Systems zu berechnen. Bevor wir aber die Lösung bestimmen, wird überlegt, wie viele Lösungen für ein beliebiges System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten existieren können. Wir können annehmen, dass in beiden Gleichungen beide Variablen $x$ und $y$ auftauchen. Ansonsten würde man einfach diejenige mit nur einer Unbekannten nehmen, nach dieser auflösen, in die andere einsetzen und hätte nun bloss noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Wenn beide Variablen vorkommen, löst man beide Gleichungen nach $y$ auf und kann sie als affine Funktionen interpretieren:

\begin{align} y&=-2x+1\tag{$1'$}\\ y&=x-5\tag{$2'$} \end{align}

Da die Lösungen den Schnittpunkten der beiden zugehörigen Geraden entsprechen, können drei Fälle eintreten:

Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
Die Geraden sind parallel und verschieden.
Die Geraden fallen zusammen.

Daher kann es eine, keine bzw. unendlich viele Lösungen geben.

Exercise 1: Lineare Gleichungssysteme

Veranschauliche die Lösungsmengen folgender Gleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem; d. h. forme zur Geradengleichung um und skizziere den Graphen:

a) $x+2y-3=0$

b) $5x-3y=0$

c) $x-5y-5=0$

d) $10x+3y=20$

e) $1.2x+0.5y=0.7$

f) $3x+1\frac{1}{3}y=-6$

Solution

a) Eine Gerade, die durch die Punkte $(3\mid0)$ und $(1\mid1)$ geht.

b) Eine Gerade, die durch den Ursprung $(0\mid0)$ und den Punkt $(3\mid5)$ geht.

c) Eine Gerade, die durch die Punkte $(5\mid0)$ und $(0\mid-1)$ geht.

d) Eine Gerade, die durch die Punkte $(2\mid0)$ und $(0\mid \frac{20}{3})$ geht.

e) Eine Gerade, die durch die Punkte $(\frac{7}{12}\mid 0)$ und $(0\mid \frac{7}{5})$ geht.

f) Eine Gerade, die durch die Punkte $(-2\mid0)$ und $(0\mid -\frac{9}{2})$ geht.

Exercise 2: Reduce

Zeige, dass die folgende Gleichung zu einer linearen Gleichung äquivalent ist, und stelle die Lösungsmenge grafisch dar.

a) $(x+1)^2+(y-5)^2=(5-y)^2$

b) $(x+2)^2+(y-3)^2=(x^2+2)+(y^2+3)$

Solution

a) Äquivalent zu $x=-1$ .

b) Äquivalent zu $y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$ , eine lineare Gleichung. Der Graph ist eine Gerade durch $(0\mid\frac{4}{3})$ und $(-2\mid 0)$ .

Lösungsmethoden

Gleichsetzungsmethode

Um unser Gleichungssystem

\begin{align} y+2x&=1\tag{1}\\ y-x&=-5\tag{2} \end{align}

zu lösen, können wir beide Gleichungen separat nach einer der beiden Variablen auflösen, zum Beispiel nach $y$ :

\begin{align} y&=-2x+1\tag{$1'$}\\ y&=x-5\tag{$2'$} \end{align}

Anschliessend setzt man die beiden gleich und löst auf:

\begin{align} -2x+1&=x-5\tag{$+2x+5$}\\ 6&=3x\tag{$\div3$}\\ 2&=x\notag \end{align}

Die Lösung $x=2$ setzt man nun in einer der beiden Gleichungen ein, um $y$ zu bestimmen:

y=2-5=-3.

Das heisst, das Zahlenpaar $(2\mid -3)$ ist die Lösung des Gleichungssystems $(1), (2)$ .

Substitutionsmethode

Wir wählen eine der beiden Gleichungen

\begin{align} y+2x&=1\tag{1}\\ y-x&=-5\tag{2} \end{align}

aus und lösen diese, zum Beispiel (1), nach einer Variablen auf, hier nach $y$ :

y=-2x+1\tag{1'}

Danach ersetzt man in der anderen Gleichung die Variable durch den gewonnenen Term und löst auf:

\begin{align} y-x&=-5\tag{1') in (2)}\\ -2x+1-x&=-5\tag{$-1$}\\ -3x&=-6\tag{$\div(-3)$}\\ x&=2\notag \end{align}

Schliesslich setzt man die Lösung $x=2$ in eine der Gleichungen ein und erhält

y=-2\cdot 2+1=-3,

also $(2\mid -3)$ als Lösung.

Exercise 3: Lösungsmengen mit dem Einsetzungsverfahren bestimmen

Bestimme die Lösungsmengen nach dem Einsetzungsverfahren:

\begin{align} 2x+y&=4\\ x+y&=3 \end{align}

\begin{align} 2.5x+5y&=0\\ 2.1x+3y&=6 \end{align}

\begin{align} 9x+4y&=55\\ -5x+y&=-37 \end{align}

\begin{align} \frac{2}{3}x+y&=4\\ x+\frac{3}{2}y&=6 \end{align}

Solution

a) $L=\{(1\mid 2)\}$

b) $L=\{(10\mid -5)\}$

c) $L=\{(7\mid -2)\}$

d) $L=\{(x|y)\mid y=-\frac{2}{3}x+4\}$

Additionsmethode

Bei dieser Methode addiert man beide Gleichungen miteinander oder subtrahiert eine Gleichung von der anderen. Die Methode wird hier auf zwei Arten demonstriert. Beim Gleichungssystem

\begin{align} y+2x&=1\tag{1}\\ y-x&=-5\tag{2} \end{align}

kann man direkt $(2)$ von $(1)$ subtrahieren.

3x=6\tag{$(1)-(2)$}

Wir erhalten $x=2$ und daraus $y=-3$ .

Will man aber gleiche Koeffizienten vor dem $x$ , dann multipliziert man die Gleichung $(2)$ mit $2$ .

\begin{align} y+2x&=1\tag{1}\\ 2y-2x&=-10\tag{$2\cdot(2)$} \end{align}

und addiert die beiden Gleichungen:

3y=-9\tag{$(1)+(2')$}.

Das heisst $y=-3$ und daraus $x=2$ .

Exercise 4: Lösungsmengen mit dem Additionsverfahren bestimmen

Verwende das Additionsverfahren:

\begin{align} x+y&=-8\\ x-y&=2 \end{align}

\begin{align} 3x+12y&=5\\ 2x+8y&=4 \end{align}

\begin{align} 29x+37y&=0\\ 13x-17y&=0 \end{align}

\begin{align} 2x-5y&=186\\ 3x+4y&=417 \end{align}

Solution

a) $L=\{(-3\mid -5)\}$

b) $L=\{\}$ (keine Lösung)

c) $L=\{(0\mid 0)\}$

d) $L=\{(123\mid 12)\}$

Exercise 5

Löse das Gleichungssystem:

\begin{align} 2x + 3y &= 5\\ 4x - y &= 3 \end{align}

Solution

Multipliziere die zweite Gleichung mit 3: $12x - 3y = 9$ . Addiere sie zur ersten:

(2x + 3y) + (12x - 3y) = 5 + 9

Erhalte: $14x = 14 \implies x = 1$ .

Setze $x = 1$ in die erste Gleichung ein: $2(1) + 3y = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1$ , also $(1\mid 1)$ .

Exercise 6

Löse das Gleichungssystem:

\begin{align} 3x - 4y &= 2\\ x + 2y &= 3 \end{align}

Solution

Multipliziere die zweite Gleichung mit 3: $3x + 6y = 9$ . Subtrahiere sie von der ersten:

(3x - 4y) - (3x + 6y) = 2 - 9

Erhalte: $-10y = -7 \implies y = \frac{7}{10}$ .

Setze $y = \frac{7}{10}$ in die zweite Gleichung ein: $x + 2(\frac{7}{10}) = 3 \implies x + \frac{14}{10} = 3 \implies x = 3 - \frac{7}{5} = \frac{8}{5}$ . Also $(\frac{8}{5}\mid \frac{7}{10})$ .

Exercise 7

Löse das Gleichungssystem:

\begin{align} 5x + 2y &= 8\\ 3x - y &= 4 \end{align}

Solution

Multipliziere die zweite Gleichung mit 2: $6x - 2y = 8$ . Addiere sie zur ersten:

(5x + 2y) + (6x - 2y) = 8 + 8

Erhalte: $11x = 16 \implies x = \frac{16}{11}$ .

Setze $x = \frac{16}{11}$ in die zweite Gleichung ein: $3(\frac{16}{11}) - y = 4 \implies \frac{48}{11} - y = 4 \implies y = \frac{48}{11} - 4 = \frac{48}{11} - \frac{44}{11} = \frac{4}{11}$ .

Exercise 8: Strahlensatz verifiziert

Verifiziere einen der Strahlensätze – z. B. $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$ – mit Hilfe von linearen Funktionen und Schnittpunktberechnung.

Solution

Man wählt vorzugsweise einen Strahl auf der $x$ -Achse und stellt die übrigen Geradengleichungen allgemein auf. Dann berechnet man die benötigten Schnittpunkte und vergleicht die gewählten Verhältnisse.

Note 1

Die oben aufgeführten Methoden sind auch auf Systeme von $n$ linearen Gleichungen mit $n$ Lösungsvariablen anwendbar. Dabei wird jeweils pro Ausführung eine Variable eliminiert. So kann man sukzessive die Anzahl der Variablen und Gleichungen reduzieren, bis schliesslich eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig bleibt, die man löst. Danach können rückwärts schrittweise alle vorhandenen Variablen berechnet werden.

Cramersche Regel

Die Cramersche Regel

Gibt es für ein System von zwei linearen Gleichungen für zwei Unbekannte eine Lösungsformel? Wir wollen versuchen, diese Frage zu beantworten. Ein solches Gleichungssystem hat allgemein die Form

\text{I} \quad ax+by=e

\text{II} \quad cx+dy=f.

Dabei sind $a, b, c, d, e, f$ beliebige Zahlen. Da durch sie das Gleichungssystem festgelegt ist, muss dies auch für die Lösungen gelten; d. h., die eventuellen Lösungen müssen sich aus diesen Koeffizienten berechnen lassen. Wir versuchen, das System (I, II) durch Äquivalenzumformungen auf die Gestalt $x=u \wedge y=v$ zu bringen. Dazu benutzen wir das doppelte Additionsverfahren:

\text{I} \quad ax+by=e \quad | \cdot d \quad \cdot (-c)

\text{II} \quad cx+dy=f \quad | \cdot (-b) \quad \cdot a

\text{I'} \quad (ad-bc)x = de-bf \qquad \text{I''} \quad (ad-bc)y = af-ce

Man erkennt, dass es möglich ist, das Eliminieren von $y$ aus der ersten und von $x$ aus der zweiten Gleichung so vorzunehmen, dass bei der jeweils übrig bleibenden Unbekannten derselbe Faktor $ad-bc$ steht. Falls dieser von null verschieden ist, kann man die Rechnung fortsetzen:

\text{I''} \quad x=\frac{de-bf}{ad-bc}, \qquad \text{falls } ad-bc \neq 0.

\text{II''} \quad y=\frac{af-ce}{ad-bc}.

In diesem Fall besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung und die Gleichungen $\text{I'}$ , $\text{I''}$ stellen die gesuchte Lösungsformel dar.

Wenn jedoch $ad-bc=0$ gilt, hat das System ( $\text{I'}$ , $\text{II'}$ ) die Form

\text{I'} \quad 0 \cdot x = de-bf

\text{II'} \quad 0 \cdot y = af-ce

und lässt sich nicht auf die Form $x=u \wedge y=v$ bringen. Man kann zeigen, dass es in diesem Fall entweder keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Die für $ad-bc \neq 0$ gefundene Lösungsformel halten wir fest in

Theorem 1

Das Gleichungssystem

ax+by=e

cx+dy=f

hat für $ad-bc \neq 0$ genau eine Lösung, nämlich

x=\frac{de-bf}{ad-bc}, \quad y=\frac{af-ce}{ad-bc}.

Proof

Siehe oben.

Der Term $ad-bc$ , von dessen Wert es abhängt, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht, heisst Determinante (determinare (lat.): abgrenzen) des Gleichungssystems. Die zwei Lösungsformeln im obigen Satz, nach denen man die Lösung berechnen kann, falls diese Determinante von null verschieden ist, werden als Cramersche Regel bezeichnet.

Für Determinanten gibt es eine besondere Schreibweise, vereinbart durch

Definition 1: Zweireihige Determinante

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} := ad-bc

heisst zweireihige Determinante.

Note 2

Wenn man sich die Differenz der beiden Produkte näher ansieht, erkennt man folgende Merkregel für die Berechnung einer zweireihigen Determinante:

Zahl oben links $\cdot$ Zahl unten rechts minus Zahl oben rechts $\cdot$ Zahl unten links

Auch die Zähler der in der Cramerschen Regel auftretenden Brüche kann man als Determinanten schreiben. Es gilt nämlich

de-bf = \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}, \quad af-ce = \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}.

Damit lässt sich der obige Satz in der folgenden Form schreiben, in der wir ihn uns auch merken wollen:

Theorem 2: Cramersche Regel

Das Gleichungssystem

ax+by=e

cx+dy=f

hat für $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0$ genau eine Lösung, nämlich

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}.

Systeme von 3 linearen Gleichungen mit 3 Unbekannten

Ziel ist es, bei jeder Kombination von Gleichungen aus dem System eine Variable zu eliminieren.

Example 4

Gegeben sei das Gleichungssystem

\begin{align} 2x+3y-4z&=-5\tag{1}\\ 3x-5y+2z&=4\tag{2}\\ 4x+\phantom{1}y-2z&=5\tag{3} \end{align}

Wir wählen die Additionsmethode. Die Additionen $(2)+(3)$ und $(1)+2\cdot(2)$ vereinfachen das System auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

\begin{align} 7x-4y&=9\tag{4}\\ 8x-7y&=3\tag{5} \end{align}

und $z$ ist eliminiert. Für das weitere Vorgehen wird erneut die Additionsmethode gewählt und die Gleichungen so präpariert, dass $y$ eliminiert werden kann. $7\cdot(4)$ und $4\cdot(5)$ liefert

\begin{align} 49x-28y&=63\tag{4'}\\ 32x-28y&=12\tag{5'} \end{align}

und $(4')-(5')$ liefert noch eine Gleichung mit einer Unbekannten.

\begin{align} 17x&=51\tag{$\div17$}\\ x&=3\tag{6} \end{align}

Nun setzt man $x=3$ ein, um die Werte für $y$ und $z$ zu erhalten.

\begin{align} 21-4y&=9\tag{(6) in (4)}\\ 12&=4y\tag{$\div4$}\\ 3&=y\tag{7} \end{align}

Wir kennen $x=3$ und $y=3$ und berechnen $z$ mit Gleichung $(1)$ .

\begin{align} 6+9-4z&=-5\tag{(6) und (7) in (1)}\\ 20&=4z\tag{$\div4$}\\ 5&=z\tag{8} \end{align}

Damit erhalten wir die Lösung $(3\mid 3\mid 5)$ .

Note 3

Die Form der obigen Lösung, $(x\mid y\mid z)$ , heisst Tripel.

Exercise 9

Löse das Gleichungssystem

\begin{align} 2x+3y+4z&=1.4\\ 3x-2y-z&=1.2\\ 5x+4y+3z&=1.4 \end{align}

Solution

\begin{align} (1)+4(2): 14x-5y &= 6.2\\ 3(2)+(3): 14x-2y &= 5 \end{align}

Subtrahieren bringt $-3y=1.2\iff y=-0.4$ . Damit ergeben sich $x=0.3$ und $z=0.5$ , also $(0.3\mid -0.4\mid 0.5)$ .

Exercise 10

Löse das Gleichungssystem

\begin{align} 3x+2y+5z&=2.5\\ 4x-3y+z&=3.1\\ 2x+5y+4z&=4.2 \end{align}

Solution

\begin{align} (1)+2(2): 11x-4y &= 8.7\\ 3(2)+(3): 14x-7y &= 11.4 \end{align}

Subtrahieren bringt $-3y=2.7\iff y=-0.9$ . Damit ergeben sich $x=1.2$ und $z=0.7$ , also $(1.2\mid -0.9\mid 0.7)$ .

Regeln zum Lösen von Gleichungssystemen

Beim Lösen von $n$ Gleichungen mit $n$ Unbekannten geht man wie folgt vor:

Reduktion: Aus dem Ausgangssystem stellt man mittels Koeffizienten- oder Substitutionsmethode ein Gleichungssystem von $n-1$ Gleichungen mit $n-1$ Unbekannten her. Auf analoge Weise bestimmt man daraus ein Gleichungssystem von $n-2$ Gleichungen mit $n-2$ Unbekannten und fährt so fort, bis man eine Gleichung mit einer Unbekannten hat.
Lösung: Man löst die erhaltene Gleichung mit einer Unbekannten. Man setzt die im ersten Schritt erhaltene Lösung in eine Gleichung mit zwei Unbekannten ein und fährt so fort, bis man die $n$ -te Unbekannte bestimmt hat.
Kontrolle der Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen.

Exercise 11

Löse das Gleichungssystem

\begin{align} x+4y-z&=6\\ y+4z-u&=10\\ -x+z+4u&=18\\ 4x-y+u&=6 \end{align}

Solution

\begin{align} (9)+(11) : 4x+4z &= 16\\ 4(9)+(10) : -x+4y+17z &= 58\\ (8) : x+4y-z &= 6 \end{align}

\begin{align} -(13)+(14) : 2x -18z &= -52 \end{align}

$(12)-2(15) : 40z=120\iff z=3$ . Somit $x=1$ , $y=2$ und $u=4$ , also $(1\mid 2\mid 3\mid 4)$ .

Zu viele Unbekannte

Exercise 12: Zu viele Unbekannte

Für wie viele Unbekannte muss man bei den folgenden Gleichungen Zahlen vorschreiben, damit eine Lösung eindeutig bestimmt ist?

a) $4x-2.7y+13z=0$

b) $11w-3x-0.1y-12z=17$

Solution

a) Man muss für zwei der drei Unbekannten Werte vorschreiben (z. B. für $y$ und $z$ ), um die dritte ( $x$ ) eindeutig zu bestimmen.

b) Man muss für drei der vier Unbekannten Werte vorschreiben.

Um die Lösungsmenge $L_1$ der Gleichung $\frac{2x+y+1}{x-y}=1$ zu bestimmen, ist es naheliegend, sie auf die Form $2x+y+1=x-y$ zu bringen. Da jede Lösung der ersten Gleichung auch die zweite Gleichung erfüllt, ist $L_1$ in der Lösungsmenge $L_2$ der zweiten Gleichung enthalten. Lösungen der zweiten Gleichung sind aber nur dann auch Lösungen der ersten, wenn für sie der Nenner $x-y$ von null verschieden ist. Man erhält also $L_1$ aus $L_2$ , indem man alle Lösungen mit $x-y=0$ ausschliesst. Aus $2x+y+1=x-y \iff x+2y=-1$ folgt $L_2=\{(x\mid y) \mid x=-2y-1\}$ . Die einzige Lösung aus $L_2$ mit $x-y=0$ ist $x=\frac{2}{3}, y=-\frac{2}{3}$ . Es ergibt sich daher $L_1 = \{(x\mid y)\mid y\neq-\frac{2}{3} \wedge x=-2y-1\}$ .

Exercise 13: Gelochte Geraden

Bestimme die Lösungsmengen folgender Gleichungen:

a) $\frac{x+y}{x-1}=5$

b) $\frac{8x-y}{2y+3}=0$

c) $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y+2}=0$

d) $\frac{x^2+2x-y}{x^2+1}=1$

Solution

a) $L = \{(x\mid y) \mid x \neq 1 \wedge y = 4x-5\}$

b) $L = \{(x\mid y) \mid y \neq -\frac{3}{2} \wedge y=8x\}$

c) $L = \{(x\mid y) \mid x \neq 1 \wedge y \neq -2 \wedge y=-x-1\}$

d) $L = \{(x\mid y) \mid y=2x\}$