Kongruenz, Ähnlichkeit & Strahlensätze

Kongruenzabbildungen

Definition 1: Abbildung

Eine Abbildung ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem Punkt einer ersten Punktmenge genau ein Punkt einer zweiten Punktmenge zugeordnet wird. Wir nennen die erste Punktmenge die Urbilder und die zweite Punktmenge die Bilder. In der Regel bezeichnen wir die Bildpunkte $A$ , $B$ , $P$ , ... zu den Urbildpunkten mit $A'$ , $B'$ , $P'$ , ... .

Abbildungen, bei denen die Bilder deckungsgleich (kongruent) zu den Urbildern ist, heissen Kongruenzabbildungen. Kongruente Figuren haben also dieselbe Form und dieselbe Grösse. Zu den Kongruenzabbildungen gehören

Achsenspiegelungen
Rotationen
Punktspiegelungen
Translationen

Zentrische Streckung

Wir wählen einen Punkt $Z$ der Ebene und eine positive Zahl $k$ . Ordnen wir nun jedem Punkt $P$ einen Bildpunkt $P'$ zu gemäss der Vorschrift

$P'$ liegt auf dem Strahl $ZP$
Die Strecke $ZP'$ ist $k$ -mal so lang wie die Strecke $ZP$

so heisst diese Abbildung eine zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum $Z$ und dem Streckungfaktor $k$ .

Eine zentrische Streckung hat folgende Eigenschaften

Urbildwinkel und Bildwinkel sind gleich gross.
Urbildgerade und Bildgerade sind parallel.
Die Bildstrecke ist $k$ -mal so lang wie die Urbildstrecke.
Der Flächeninhalt der Bildfigur ist $k^2$ -mal so gross wie der Flächeninhalt der Urbildfigur.

Exercise 1: Strecke ein Quadrat

Strecke ein Quadrat $Q$ von einem Punkt $Z$ aus mit dem Streckungsfaktor $3$ zentrisch und überprüfe anschliessend obige Eigenschaften. Wähle $Z$ der Einfachheit halber auf einem Eckpunkt von $Q$ .

Solution

Exercise 2: Negativer Streckungsfaktor

Eine Streckung mit einem negativen Streckungsfaktor bedeutet eine Streckung mit dem entgegengesetzten positiven Streckungsfaktor und eine zusätzliche Punktspiegelung am Streckungszentrum. Strecke ein Dreieck von $Z$ aus mit dem Streckungsfaktor $-\frac{1}{2}$ . Wähle der Anschaulichkeit halber $Z$ ausserhalb der Dreiecksfläche.

Solution

Ähnlichkeitsabbildungen

Kongruenzabbildungen,
zentrische Streckungen und ihre Verkettungen heissen Ähnlichkeitsabbildungen. Figuren, welche durch Ähnlichkeitsabbildungen auseinander hervorgehen, heissen zueinander ähnlich.

Eine Ähnlichkeitsabbildung hat folgende Eigenschaften

Urbildwinkel und Bildwinkel sind gleich gross.
Alle Bildstrecken sind $k$ -mal so lang wie die entsprechenden Urbildstrecken.
Der Flächeninhalt der Bildfigur ist $k^2$ -mal so gross wie der Flächeninhalt der Urbildfigur

Note 1

Daraus folgt insbesondere für ähnliche Dreiecke, dass sie gleiche Winkel haben und im Verhältnis von zwei einander entsprechenden Seiten übereinstimmen.

Exercise 3: Kreise sind ähnlich

Alle Kreise sind zueinander ähnlich. Wie verhalten sich die Flächen zweier Kreise, wenn sich ihre Radien wie $2\div3$ verhalten?

Solution

Kreise gehen durch zentrische Streckung am Mittelpunkt ineinander über. Gegebenenfalls müssen die Mittelpunkte zuerst mit einer Translation zur Deckung gebracht werden.

Flächen sind zweidimensional, also verhalten sie sich wie $\left(\frac{2}{3}\right)^2=4\div9$ .

Strahlensätze

Theorem 1: 1. Strahlensatz

Werden zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem andern Strahl.

Proof

Sei $Z$ der gemeinsame Anfangspunkt (das Zentrum) der beiden Strahlen $g$ und $h$ . Die beiden parallelen Geraden schneiden die Strahlen in den Punkten $A$ und $B$ auf dem Strahl $g$ , und in $A'$ und $B'$ auf dem Strahl $h$ . Dies erzeugt die zwei Dreiecke $\triangle ZAA'$ und $\triangle ZBB'$ .

Um die Verhältnisse der Abschnitte zu beweisen, zeigen wir, dass das kleine Dreieck $\triangle ZAA'$ und das grosse Dreieck $\triangle ZBB'$ ähnlich zueinander sind. Wir verwenden dafür den WW-Ähnlichkeitssatz.

Gemeinsamer Winkel: Der Winkel $\angle AZ A'$ ist beiden Dreiecken gemeinsam (Winkel $\angle Z$ ). $\angle AZA' = \angle BZB'$
Stufenwinkel: Da die Geraden $AA'$ und $BB'$ parallel sind ( $\overline{AA'} \parallel \overline{BB'}$ ), sind die durch den Schnitt mit dem Strahl $g$ entstehenden Winkel gleich (Stufenwinkel). $\angle Z A A' = \angle Z B B'$

Da zwei Winkel übereinstimmen, sind die Dreiecke ähnlich: $\triangle ZAA' \sim \triangle ZBB'$

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Seitenlängen gleich sind. Dies ist die Aussage des 1. Strahlensatzes:

\frac{\text{Strecke auf Strahl } g \text{ (klein)}}{\text{Strecke auf Strahl } g \text{ (gross)}} = \frac{\text{Strecke auf Strahl } h \text{ (klein)}}{\text{Strecke auf Strahl } h \text{ (gross)}}

\frac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}} = \frac{\overline{ZA'}}{\overline{ZB'}} \quad \square

Exercise 4: Teilen

Teile eine Strecke im Verhältnis $2\div3$ .

Solution

Gegeben sei eine Strecke mit Anfangspunkt $A$ und Endpunkt $B$ . Zeichne einen Strahl von $A$ aus und unterteile ihn in fünf beliebig, aber gleich grosse Abschnitte. Verbinde die letzte Markierung mit dem Punkt $B$ . Verschiebe diese Strecke parallel, bis sie die vorletzte Markierung auf dem Strahl schneidet. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke $AB$ teilt diese im Verhältnis $2\div3$

Theorem 2: 2. Strahlensatz

Werden zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Parallelenabschnitte wie die vom Anfangspunkt aus gemessenen Abschnitte auf einem der Strahlen.

Proof

Aus der nächsten Übung.

Exercise 5: Zum 2. Strahlensatz

Beweise folgende Aussagen:

a) $\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$

b) $\frac{a}{g}=\frac{a+b}{h}$

c) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Solution

Man kann die Strahlen auch mit Geraden formulieren und dann mit Schnittpunkten arbeiten. Daraus ergeben sich dann mit Hilfe der Koordinaten dieser Schnittpunkte und dem Satz von Pythagoras die obigen Gleichheiten.

Wir betrachten ein Ähnlichkeitsargument:

a) Sei $a+b=k\cdot a$ eine zentrische Streckung. Dann gilt auch $c+d=kc$ , da die Dreiecke $ABD$ und $AEC$ ähnlich sind. Es folgt

\frac{a}{a+b}=\frac{a}{ka}=\frac{1}{k}=\frac{c}{kc}=\frac{c}{c+d}

b) Diese Beziehung ergibt sich analog zur ersten auf Grund der Ähnlichkeit der Dreiecke.

c) Hier können wir nicht mit einer zentrischen Streckung arbeiten. Aber aus der ersten Gleichheit folgt

a(c+d)=c(a+b)\Leftrightarrow ac+ad=ca+cb\Leftrightarrow ad=cb\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}.

Exercise 6: Telefonstange

Eine freistehende Telefonstange im ebenen Gelände wirft bei einem bestimmten Sonnenstand einen Schatten von $5.6\,\mathrm{m}$ Länge. Um die Stangenhöhe $h$ zu bestimmen, wird ein Meterstab parallel zur Stange aufgestellt, so dass beide Schattengrenzen zusammenfallen. Der Abstand des Meterstabes von der Stange misst $2.9\,\mathrm{m}$ .

Solution

Wir haben die Gleichung $\frac{1}{2.7}=\frac{h}{5.6}$ , woraus unmittelbar $h=\frac{5.6}{2.7}\approx2.1\,\mathrm{m}$ folgt.

Exercise 7: Die unzugängliche Strecke

Zwei sich schneidende Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten. Auf dem ersten Strahl sind die Abschnitte vom Scheitelpunkt aus $x$ und $5\,\mathrm{cm}$ lang. Auf dem zweiten Strahl misst der erste Abschnitt $4\,\mathrm{cm}$ und der darauf folgende Abschnitt (zwischen den Parallelen) $3\,\mathrm{cm}$ . Berechne die Länge des unbekannten Teilstücks $x$ .

Solution

Hier wenden wir den 1. Strahlensatz an (Verhältnis der Teilstücke auf den Strahlen): $\frac{x}{5} = \frac{4}{3}$ Daraus folgt: $x = \frac{4 \cdot 5}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67\,\mathrm{cm}$ .

Exercise 8: Die verdeckte Distanz

Bei einer Vermessung im Gelände liegen die Punkte $A, B$ und $C$ auf einem Strahl, die Punkte $A, D$ und $E$ auf einem anderen. Die Strecken $BD$ und $CE$ sind parallel. Es ist bekannt, dass $AB = 6\,\mathrm{m}$ und $BC = x + 2$ ist. Auf dem anderen Strahl misst $AD = 4\,\mathrm{m}$ und $DE = x$ . Berechne den Wert von $x$ .

Solution

Nach dem 1. Strahlensatz gilt das Verhältnis der Teilstücke: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} \Rightarrow \frac{6}{x + 2} = \frac{4}{x}$ Nun lösen wir die Gleichung durch Über-Kreuz-Multiplizieren: $6x = 4(x + 2)$ $6x = 4x + 8$ $2x = 8 \Rightarrow x = 4\,\mathrm{m}$ .

Exercise 9: Das Wander-Dreieck

Ein Wanderer möchte die Länge einer Brücke $a$ schätzen, die einen Abgrund überspannt. Er markiert am einen Ende der Brücke einen Punkt und geht rechtwinklig zur Brücke $10\,\mathrm{m}$ zur Seite (Punkt $P$ ). Von dort visiert er das andere Ende der Brücke an. Ein Freund stellt sich auf der Linie zwischen $P$ und dem Zielpunkt so auf, dass er nur $3\,\mathrm{m}$ von der Brückenlinie entfernt ist. Der Abstand des Freundes zum Wanderer (entlang der $10\,\mathrm{m}$ langen Strecke) beträgt $4\,\mathrm{m}$ . Wie lang ist die Brücke?

Solution

Dies ist eine Anwendung des 2. Strahlensatzes (V-Figur). Die parallelen Strecken sind die Brücke $a$ und die Position des Freundes ( $3\,\mathrm{m}$ ). Das Verhältnis der Parallelen entspricht dem Verhältnis der Gesamtlänge zur Teillänge auf der Grundlinie: $\frac{a}{10} = \frac{3}{10 - 4} \Rightarrow \frac{a}{10} = \frac{3}{6}$ $\frac{a}{10} = 0.5 \Rightarrow a = 5\,\mathrm{m}$ . Die Brücke ist also $5\,\mathrm{m}$ lang.

Kongruenz, Ähnlichkeit & Strahlensätze

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Strahlensätze

Ähnliche Körper