Biquadratische Gleichungen

Was ist eine biquadratische Gleichung?

Bi heisst $2$ . In der Mathematik verstehen wir unter einer biquadratischen Gleichung eine polynomiale Gleichung vom Grad $4$ , in der nur gerade Exponenten in der Variablen auftauchen. Also haben wir es allgemein mit einer Gleichung vom Typ

ax^4+bx^2+c=0

zu tun. Der Grad $4$ rührt daher, dass wir ein Quadrat vom Quadrat, eben ein Biquadrat, haben:

(x^2)^2=x^2\cdot x^2=x^4

Die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ haben den gleichen Definitionsbereich wie oben. Jedoch gilt selbstverständlich die Lösungsformel nicht bzw. liefert im Allgemeinen keine brauchbaren Resultate. Mit einem kleinen Kniff – einer Variablensubstitution – kann eine biquadratische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden, um dann mithilfe der oben hergeleiteten Methoden die Lösungen für die zugehörige biquadratische Gleichung zu finden.

Wie löst man biquadratische Gleichungen?

Wir betrachten die biquadratische Gleichung

2x^4-3x^2-20=0.

Die Strategie sieht wie folgt aus: Da $x^4=(x^2)^2$ ein Biquadrat ist, liefert die Substitution $z:=x^2$ wegen $x^4=(x^2)^2=z^2$ die quadratische Gleichung

2z^2-3z-20=0,

welche mit den bekannten Methoden gelöst wird. Es wird nach $z$ und nicht nach $x$ aufgelöst, aber die Substitutionsgleichung $z=x^2$ lässt sich weiter verarbeiten. Dabei handelt es sich wiederum um eine quadratische Gleichung, in der die Lösungen für $x$ gefunden werden.

In der Tat: Die substituierte Gleichung $2z^2-3z-20=0$ hat die Lösungen

z_{1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-20)}}{2\cdot2}=\frac{3\pm\sqrt{9+160}}{4}=\frac{3\pm13}{4}= \begin{cases} 4\\ -\frac{5}{2} \end{cases}

Das heisst, für $x^2$ bestehen zwei Möglichkeiten:

Entweder ist $x^2=4$
Oder $x^2=-2.5$

Im Allgemeinen kann eine biquadratische Gleichung also bis zu vier Lösungen haben. Hier aber hat $x^2=-2.5$ keine reelle Lösung und es bleibt $x^2=4$ . Daraus ergeben sich die Lösungen

x_1=2\quad\text{ und }\quad x_2=-2.

Wir testen $x_2=-2$ im Ausgangsproblem:

2\cdot(-2)^4-3\cdot(-2)^2-20=2\cdot 16-3\cdot 4-20=32-12-20=0\;\checkmark

Exercise 1: Biquadratische Gleichungen

Löse die folgenden biquadratischen Gleichungen.

a) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

b) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

c) $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$

d) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$

e) $x^4 - 16x^2 = 0$

f) $2x^4 + 14x^2 - 16 = 0$

Solution

a) Substitution $u=x^2$ führt zu $u^2 - 13u + 36 = 0$ .
$u_1=9 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$ .
$u_2=4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$ .
$L = \{-3, -2, 2, 3\}$

b) Substitution $u=x^2$ führt zu $u^2 - 2u - 8 = 0$ .
$u_1=4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$ .
$u_2=-2 \Rightarrow x^2=-2$ hat keine reelle Lösung.
$L = \{-2, 2\}$

c) Substitution $u=x^2$ führt zu $u^2 + 5u + 4 = 0$ .
$u_1=-1 \Rightarrow x^2=-1$ hat keine reelle Lösung.
$u_2=-4 \Rightarrow x^2=-4$ hat keine reelle Lösung.
$L = \emptyset$

d) Substitution $u=x^2$ führt zu $4u^2 - 17u + 4 = 0$ .
$u_1=4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$ .
$u_2=\frac{1}{4} \Rightarrow x^2=\frac{1}{4} \Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}$ .
$L = \{-2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2\}$

e) Ausklammern: $x^2(x^2 - 16) = 0$ .
$x^2=0 \Rightarrow x=0$ .
$x^2-16=0 \Rightarrow x=\pm4$ .
$L = \{-4, 0, 4\}$

f) Substitution $u=x^2$ führt zu $2u^2 + 14u - 16 = 0 \Leftrightarrow u^2 + 7u - 8 = 0$ .
$u_1=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$ .
$u_2=-8 \Rightarrow x^2=-8$ hat keine reelle Lösung.
$L = \{-1, 1\}$