Vermischte Aufgaben

Exercise 1: Spiegle an Gerade

Spiegle das Dreieck und den Kreis an der Geraden $g$ .

Solution

Exercise 2: Konstruiere Spiegelachse

Die Figur $F$ kann durch eine Achsenspiegelung in die Figur $F'$ überführt werden. Konstruiere die Spiegelachse.

Solution

Exercise 3: Symmetrieachsen

Geht eine Figur durch eine Achsenspiegelung in sich selbst über, so heisst die Figur achsensymmetrisch. Bei Achsensymmetrie heisst die Spiegelachse auch Symmetrieachse der Figur. Zeichne bei den Figuren alle möglichen Symmetrieachsen und Symmetriepunkte ein.

Solution

Exercise 4: Drehe um Z

Drehe den Punkt $P$ um $Z$ um den Winkel $120^\circ$ im Uhrzeigersinn.

Solution

Exercise 5: Drehzentrum?

Der Punkt $A$ wurde um einen Drehpunkt nach $A'$ gedreht. Wo muss der Drehpunkt liegen?

Solution

Exercise 6: Konstruiere Drehzentrum

Die Strecke $AB$ wurde um einen Drehpunkt nach $A'B'$ gedreht. Konstruiere den Drehpunkt.

Solution

Exercise 7: Tischplatte

Eine rechteckige Tischplatte soll auf ihrem Untergestell derart gelagert sein, dass sie die beiden gezeichneten Lagen einnehmen kann. An welcher Stelle muss der Tischler den Drehzapfen anbringen?

Solution

Exercise 8: Sportflugzeug

Ein Sportflugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von $240\,\mathrm{km/h}$ nach Norden. Von Westen weht ein Wind mit $60\,\mathrm{km/h}$ . Bestimmen an der Abbildung die Richtung und die tatsächliche Geschwindigkeit des Flugzeugs gegenüber dem Erdboden.

Solution

Exercise 9: Strecke

Strecke die Figur von $Z$ aus mit dem Streckungsfaktor $\frac{1}{3}$ .

Solution

Exercise 10: Strecke Rechteck

Strecke das Rechteck von $Z$ aus mit dem Streckungsfaktor $-2$ .

Solution

Exercise 11: Seitenmittendreieck

Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks $ABC$ , so entsteht ein weiteres Dreieck. Dieses könnte aus dem Dreieck $ABC$ durch eine zentrische Streckung erhalten werden. Wo liegt das Streckungszentrum und wie gross ist der Streckungsfaktor?

Solution

Der Streckungsfaktor liegt im Schwerpunkt des Dreiecks; $k=-\frac{1}{2}$ .

Exercise 12: Lichtstrahl

In einem Zimmer steht das schwarze rechteckige Brett parallel zur Wand auf dem Boden. Von einem Punkt vom Boden aus strahlt Licht. Zeichnen Sie die Lichtstrahlen durch die oberen Eckpunkte des Bretts und finde so deren Schlagschatten an der Wand.

Solution

Exercise 13: Kreis soll Gerade berühren

Der Kreis mit Mittelpunkt $M$ soll von $Z$ aus so gestreckt werden, dass der Bildkreis die Gerade $g$ berührt. Konstruiere den Bildkreis.

Solution

Exercise 14: Landkarte

Auf einer Karte mit Massstab $1\div25'000$ ist ein horizontales Autobahnstück $65\,\mathrm{mm}$ lang und eine Stadt bedeckt eine Fläche von $420\,\mathrm{cm^2}$ . Wie lang ist das Autobahnstück und wie gross ist die Stadtfläche in Wirklichkeit?

Solution

Das Autobahnstück ist $65\cdot 10^{-3}\cdot25'000=1625\,\mathrm{m}$ lang. Die Stadtfläche beträgt $\frac{420}{100^2}\cdot25'000=1050\,\mathrm{m}^2$ .

Exercise 15: Fläche Schweiz

Die Schweiz hat eine Fläche von $41'000\,\mathrm{km^2}$ . Die Luftlinie Bern-Thun beträgt $25\,\mathrm{km}$ . Welche Fläche hat die Schweiz auf einer Karte, bei der die Distanz Bern-Thun $5\,\mathrm{cm}$ beträgt?

Solution

$\frac{25000}{0.05}=500'000$ . Die Fläche beträgt $\frac{41'000\,\mathrm{km}^2}{500'000^2}+1000^2*100^2=1640\,\mathrm{cm}^2$ .

Exercise 16: Abbildungen klassifizieren

Die Originalfigur $A$ kann je durch eine Ähnlichkeitsabbildung in die Bildfigur $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ oder $G$ abgebildet werden.

Welche Abbildung ist

a) eine Kongruenzabbildung

b) eine Punktspiegelung

c) eine Rotation

d) eine Achsenspiegelung

e) eine Verschiebung

f) eine zentrische Streckung

Solution

a) eine Kongruenzabbildung: B,C,D,F

b) eine Punktspiegelung: F

c) eine Rotation: C,F

d) eine Achsenspiegelung: B

e) eine Verschiebung: D

f) eine zentrische Streckung: E,G

Exercise 17: Ähnliche Figuren

Welche Figuren sind zueinander ähnlich?

Solution

Einerseits A,I,H; andererseits B,F

Exercise 18: Wahr oder falsch?

Wahr oder falsch?

a) Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.

b) Alle rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich.

c) Alle gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich.

d) Alle rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich.

e) Alle Quadrate sind zueinander ähnlich.

f) Alle Rechtecke sind zueinander ähnlich.

g) Alle Kreise sind zueinander ähnlich.

Solution

a) Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich. ✅

b) Alle rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. ❌

c) Alle gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. ❌

d) Alle rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich. ✅

e) Alle Quadrate sind zueinander ähnlich. ✅

f) Alle Rechtecke sind zueinander ähnlich. ❌

g) Alle Kreise sind zueinander ähnlich. ✅

Exercise 19: Gleichschenklige Dreiecke

Zeige, dass die gleichschenkligen Dreiecke $ABC$ und $DAB$ in der Grösse von zwei Winkeln übereinstimmen und somit ähnlich sind.

Solution

Exercise 20: Halbkreis

Über der Strecke $AB$ ist der Halbkreis mit dem Mittelpunkt $M$ gezeichnet, $C$ liegt auf dem Halbkreis. Beweise die Ähnlichkeit der Dreiecke $ADC$ und $ACB$ .

Solution

Exercise 21: Streckenlänge?

Berechne aus den gegebenen Angaben die Streckenlänge $x$ .

Solution

a) $x=2.4$

b) $x=1.12$

c) $x=1.6$

d) $x=9$

e) $x=8.8$

Exercise 22: Teile

Teile, ohne zu messen oder zu rechnen, eine Strecke $AB$ im Verhältnis $1\div2$ .

Solution

Man verwendet den Strahlensatz und drittelt die Hilfsgerade.

Exercise 23: Konstruiere Teilung

Konstruiere eine Strecke, für deren Länge $x$ die Beziehung gilt:

a) $2\div3=5\div x$

b) $x\div5=3\div4$

Solution

Verwende die Strahlensätze. Bei a) den zweiten Strahlensatz bei b) den ersten.

Exercise 24: Berechne u und v

Berechne $u$ und $v$ .

Solution

Exercise 25: Quadrat

Gegeben sei ein Quadrat, darin schneiden sich drei Geraden - wie abgebildet - in einem Punkt. Berechne $w$ , $v$ und $u$ .

Solution

Exercise 26: Quadrat einbeschrieben in gleichschenkliges Dreieck

Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks misst $6\,\mathrm{cm}$ , die Höhe $12\,\mathrm{cm}$ . Dem Dreieck ist ein Quadrat einbeschrieben. Wie lang ist die Quadratseite?

Solution

$4\,\mathrm{cm}$

Exercise 27: Schlagschatten Mond

Die Sonne erzeugt vom Mond einen Schlagschatten, der als Schattenkegel weit in den Raum hinausreicht. Berechne, wie weit die Spitze des Schattenkegels vom Mondzentrum entfernt ist.

Solution

$375'940\,\mathrm{km}$

Exercise 28: Würfel zentrisch strecken

Ein Würfel wird zentrisch gestreckt, so dass sich die Kantenlängen des Bildwürfels zu den Kantenlängen des Originalwürfels wie $3\div2$ verhalten. Wie verhalten sich

a) die Längen der Körperdiagonalen,

b) die Inhalte der Seitenflächen,

c) die Volumen?

Solution

$3\div2$ , $9\div4$ , $27\div8$

Exercise 29: Ägyptische Pyramide

Eine ägyptische Pyramide mit quadratischem Grundriss wird von waagrecht abgelagertem Wüstensand allmählich begraben. Die Höhe der noch sichtbaren Pyramide beträgt nur noch vier Fünftel der Höhe der ursprünglichen Pyramide.

a) Wie verhalten sich die Volumen des sichtbaren und des verschütteten Teils zueinander?

b) Wie viele % des ursprünglichen Pyramidenvolumens ragen noch aus dem Sand?

Solution

$64\div61$ , $51.2\%$

Exercise 30: Kegelverhältnis

In welchem Verhältnis teilen sich die Höhen $H$ und $h$ , wenn das Volumen eines Kegels durch zentrische Streckung an seiner Spitze auf die Hälfte reduziert werden soll?

Solution

Mit einer Ähnlichkeitsüberlegung und dem Streckungsfaktor $2$ kommt man direkt zum Resultat. Ich rechne hier zusätzlich vor:

Für die entsprechenden Volumina haben wir

\begin{align} V &= \frac{1}{3}\pi HR^2\\ \frac{V}{2} &= \frac{1}{3}\pi hr^2 \end{align}

und es gilt die Ähnlichkeit $\tfrac{r}{h}=\tfrac{R}{H}$ . Aus (2) folgt

\begin{align*} \frac{V}{2} &= \frac{1}{3}\pi hr^2 &= \frac{1}{3}\pi h\left(\frac{R}{H}h\right)^2\\ &= \frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{H^2}h^3\\ &= \frac{1}{3}\pi\frac{\frac{3V}{\pi H}}{H^2}h^3\\ &= V\frac{h^3}{H^3} \end{align*}

und damit $\frac{1}{2} = \left(\frac{h}{H}\right)^3$ , d.h.

\frac{h}{H} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\approx0.8=\frac{4}{5}.