Durchschnittliche Änderung

Exercise 1: Höhenmeter

Von Thun (561  M. u¨. M.\qty{561}{M.\,ü.\,M.}) auf die Kleine Scheidegg (2061  M. u¨. M.\qty{2061}{M.\,ü.\,M.}) dauert es mit dem ÖV 1  h  59  min\qty{1}{h}\;\qty{59}{min}. Wie viele Höhenmeter werden bei der Hinfahrt durchschnittlich pro Stunde überwunden?

Solution

Es sind 1500  m\qty{1500}{m} Differenz, wofür knapp 2  h\qty{2}{h} benötigt werden. Also schafft man durchschnittlich 15002=750  m/h\frac{1500}{2} = \qty{750}{m/h}.

Manchmal interessiert aber nicht der genaue Verlauf einer Funktion, sondern ihre Veränderung über einen bestimmten Zeitraum. So spielt es für Anleger etwa eine Rolle, wie stark der SMI im Laufe eines Tages oder einer Woche schwankt – die kleineren Bewegungen innerhalb des Tages sind nebensächlich. In solchen Fällen betrachtet man die Änderung einer Grösse über einen definierten Abschnitt, indem man Anfangs- und Endwert ins Verhältnis zur Dauer der Beobachtung setzt.

Definition 1: Differenzenquotient

Der Quotient

Δf(x)Δx=f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

gibt die Sekantensteigung von ff durch die Punkte (x1∣f(x1))(x_1\mid f(x_1)) und (x2∣f(x2))(x_2\mid f(x_2)) an. Diesen Quotienten nennt man Differenzenquotienten; er kann auch als die durchschnittliche Änderung der Funktion ff im Intervall [x1,x2][x_1,x_2] interpretiert werden.

Example 1

Berechne den Differenzenquotienten der Funktion f(x)=x2+2xf(x) = x^2+2x im Intervall [1,4][1,4].

Wir berechnen

f(4)−f(1)4−1.\frac{f(4)-f(1)}{4-1}.

Zunächst die Funktionswerte:

f(4)=42+2⋅4=16+8=24,f(4)=4^2+2\cdot 4=16+8=24,f(1)=12+2⋅1=1+2=3.f(1)=1^2+2\cdot 1=1+2=3.

Also:

f(4)−f(1)4−1=24−33=213=7.\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{24-3}{3}=\frac{21}{3}=7.

Der Differenzenquotient bzw. die durchschnittliche Änderung der Funktion ff über dem Intervall [1,4][1,4] ist also 77.

Monotonie
Definition 2: monoton

Eine Funktion ff heisst monoton wachsend im Intervall I⊂DI\subset\mathbb{D}, wenn die durchschnittliche Änderung für jedes Teilintervall von II positiv oder null ist. Äquivalent dazu kann man auch formulieren:

∀x,y∈I mit x≤y  ⟹  f(x)≤f(y).\forall x,y\in I\text{ mit }x\le y\quad\implies\quad f(x)\le f(y).

Entsprechend nennt man ff monoton fallend, wenn für jedes Teilintervall von II die durchschnittliche Änderung negativ oder null ist. Oder

∀x,y∈I mit x≤y  ⟹  f(x)≥f(y).\forall x,y\in I\text{ mit }x\le y\quad\implies\quad f(x)\ge f(y).
Exercise 2: Durchschnittliche Änderung

Berechne die durchschnittliche Änderung der Funktion ff über den gegebenen Intervallen.

a) x2x^2 über [0,1],[2,3],[0,3],[−2,−1],[x1,x2][0,1], [2,3], [0,3], [-2,-1], [x_1,x_2]

b) 1x\frac{1}{x} über [0.5,2],[−7,−2],[−1,1],[x1,x2][0.5,2], [-7,-2], [-1,1], [x_1,x_2]

c) x2−2x+1x^2-2x+1 über [−3,4],[0,6],[−2,2][-3,4], [0,6], [-2,2]

d) sin⁡(x)\sin(x) über [0,2π],[0,π2],[π2,π][0,2\pi], [0,\frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \pi]

Solution

a) Sei f(x)=x2f(x)=x^2.

12−021−0=1.\frac{1^2-0^2}{1-0}=1.32−223−2=5.\frac{3^2-2^2}{3-2}=5.32−023−0=3.\frac{3^2-0^2}{3-0}=3.(−1)2−(−2)2−1−(−2)=1−41=−3.\frac{(-1)^2-(-2)^2}{-1-(-2)}=\frac{1-4}{1}=-3.x22−x12x2−x1=x1+x2.\frac{x_2^2-x_1^2}{x_2-x_1}=x_1+x_2.

b) Sei f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} (mit x≠0x\neq 0).

12−22−0.5=−1.\frac{\frac{1}{2}-2}{2-0.5}=-1.−12−(−17)−2−(−7)=−12+175=−114.\frac{-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{7})}{-2-(-7)}=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{7}}{5}=-\frac{1}{14}.1−(−1)1−(−1)=1.\frac{1-(-1)}{1-(-1)}=1.1x2−1x1x2−x1=−1x1x2.\frac{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}{x_2-x_1}=-\frac{1}{x_1x_2}.

c) Sei f(x)=x2−2x+1=(x−1)2f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2.

9−167=−1.\frac{9-16}{7}=-1.25−16=4.\frac{25-1}{6}=4.1−92−(−2)=−84=−2.\frac{1-9}{2-(-2)}=\frac{-8}{4}=-2.(x2−1)2−(x1−1)2x2−x1=x1+x2−2.\frac{(x_2-1)^2-(x_1-1)^2}{x_2-x_1}=x_1+x_2-2.

d)

sin⁡(2π)−sin⁡(0)2π−0=0−02π=0.\frac{\sin(2\pi)-\sin(0)}{2\pi-0} = \frac{0-0}{2\pi} = 0.sin⁡(π2)−sin⁡(0)π2−0=1−0π2=2π.\frac{\sin(\frac{\pi}{2})-\sin(0)}{\frac{\pi}{2}-0} = \frac{1-0}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}.sin⁡(π)−sin⁡(π2)π−π2=0−1π2=−2π.\frac{\sin(\pi)-\sin(\frac{\pi}{2})}{\pi-\frac{\pi}{2}} = \frac{0-1}{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}.
Exercise 3: Lebenskosten

Die Tabelle zeigt die Tarif- und Lebenskostenindizes (Index 1977≈1001977\approx 100) für die Schweiz.

Jahr Fahrpreis Bahn Gesamtlohnindex Konsumentenpreise
1977 100 100 100
1979 101.5 106.6 104.4
1980 102.6 112.3 108.6
1981 107.9 119.3 115.7
1982 115.4 127.7 122.2
1983 125.1 132.5 125.8
1984 128.8 136.2 129.5
1985 131.1 140.4 133.9
1986 133.3 145.4 135.0
1987 130.3 148.9 137.0
1988 130.2 154.1 139.5

a) Zeichne farbig in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der Funktionen, die durch diese Tabelle dargestellt werden.

b) Berechne die durchschnittliche Änderung der drei Funktionen in den Intervallen [1977,1988][1977,1988] und [1986,1988][1986,1988].

Solution

Wir berechnen die durchschnittlichen Änderungsraten. Exemplarisch der Gesamtlohnindex über der Zeitspanne [1977,1988][1977,1988]:

ΔGΔt=G(1988)−G(1977)1988−1977=154.1−10011=54.111≈4.92.\frac{\Delta G}{\Delta t}=\frac{G(1988)-G(1977)}{1988-1977}=\frac{154.1-100}{11}=\frac{54.1}{11}\approx 4.92.

Analog ΔBΔt≈2.75\frac{\Delta B}{\Delta t}\approx 2.75 und ΔKΔt≈3.6\frac{\Delta K}{\Delta t}\approx 3.6.

Über [1986,1988][1986,1988]: ΔGΔt=4.35\frac{\Delta G}{\Delta t}=4.35, ΔBΔt≈−1.6\frac{\Delta B}{\Delta t}\approx -1.6 und ΔKΔt≈2.3\frac{\Delta K}{\Delta t}\approx 2.3.