Inversfunktion

Exercise 1: Selbstinvers

Gibt es eine Funktion f:D⟶Rf:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{R} mit der Eigenschaft f(f(x))=xf(f(x))=x?

Solution

Ja, zum Beispiel f(x)=xf(x)=x.

Exercise 2: Graph f

Durch die Funktionsvorschrift

f(x)=2x−3f(x)=2x-3

ist jedem xx genau ein yy-Wert zugeordnet. Wie sieht der Graph von ff aus?

Solution

Diese Gerade hat die Steigung 22 und schneidet die yy-Achse bei −3-3. Überprüfe dies mit GeoGebra.

Umgekehrt ist in diesem Fall durch ff eine Funktion f−1f^{-1} definiert, die jedem Funktionswert yy genau einen xx-Wert zuordnet.

Exercise 3: Graph f^{-1}

Wie sieht diese Inversfunktion f−1f^{-1} aus?

Solutiony=2x−3y+3=2xy+32=x\begin{align*} y &= 2x-3\tag{$+3$}\\ y+3 &= 2x\tag{$\div2$}\\ \frac{y+3}{2} &= x \end{align*}

Somit f−1(x)=x+32f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}.

Definition Inversfunktion
Definition 1: Inversfunktion

Ist eine Funktion ff injektiv, d. h. gilt für ff

x1≠x2  ⟹  f(x1)≠f(x2)∀x1,x2∈D,x_1\neq x_2\implies f(x_1)\neq f(x_2) \quad\forall x_1,x_2\in\mathbb{D},

dann existiert f−1f^{-1} mit f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x und heisst die Inversfunktion von ff.

Note 1

Allgemein findet man für eine Funktion ff den Funktionsterm von f−1f^{-1}, indem man die Gleichung

f(x)=yf(x)=y

nach xx auflöst. Anschliessend vertauscht man noch die Bezeichnung yy mit xx, weil üblicherweise xx die freie Variable darstellt und dafür die horizontale Achse verwendet wird.

Example 1

Die Inversfunktion zu

f(x)=3x−2f(x)=3x-2

ist demnach

y=3x−2y+2=3xy+23=xf−1(x)=x+23=13x+23\begin{align} y&=3x-2\tag{$+2$}\\ y+2&=3x\tag{$\div3$}\\ \frac{y+2}{3}&=x\notag\\ f^{-1}(x)&=\frac{x+2}{3}=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\notag \end{align}
Exercise 4: Nullstelle und Inversfunktion

Gegeben sei die Funktion g(x)=−2x+6g(x)=-2x+6.

a) Bestimme die Nullstelle von gg.

b) Berechne die Inversfunktion g−1g^{-1}.

Solution

a) Nullstelle: 0=−2x+6  ⇔  2x=6  ⇔  x=30=-2x+6\;\Leftrightarrow\;2x=6\;\Leftrightarrow\;x=3.

b) Inversfunktion:

y=−2x+62x+y=6x=−y+6x=−12y+3\begin{align*} y &= -2x+6\\ 2x + y &= 6\\ x &= -y + 6\\ x &= -\tfrac{1}{2}y+3 \end{align*}

Schliesslich vertauscht man xx und yy und erhält g−1(x)=−12x+3g^{-1}(x)=-\tfrac{1}{2}x+3.

Exercise 5: Nullstelle und Inversfunktion II

Gegeben sei die Funktion h(x)=3x−9h(x)=3x-9.

a) Bestimme die Nullstelle von hh.

b) Berechne die Inversfunktion h−1h^{-1}.

Solution

a) Nullstelle: 0=3x−9  ⇒  3x=9  ⇒  x=30=3x-9\;\Rightarrow\;3x=9\;\Rightarrow\;x=3.

b) Inversfunktion:

y=3x−9y+9=3xx=13(y+9)\begin{align*} y &= 3x-9\\ y+9 &= 3x\\ x &= \tfrac{1}{3}(y+9) \end{align*}

Vertauscht man xx und yy, erhält man h−1(x)=13x+3h^{-1}(x)=\tfrac{1}{3}x+3.

Exercise 6: Inversfunktion II

Sei f(x)=−12x+3f(x)=-\frac{1}{2}x+3. Finde die Inversfunktion von ff und skizziere beide Graphen.

Solution

Es ist

y=−12x+3y−3=−12x−2y+6=x\begin{align*} y &= -\frac{1}{2}x+3\\ y-3 &= -\frac{1}{2}x\\ -2y+6 &= x \end{align*}

Also f−1(x)=−2x+6f^{-1}(x)=-2x+6. Die Graphen:

Definition 2: Bijektiv

Eine Abbildung f:A→Bf:\mathbb{A}\to \mathbb{B} heisst bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist:

  • Injektiv: Für alle x1,x2∈Ax_1,x_2\in \mathbb{A} gilt
f(x1)=f(x2)  ⇒  x1=x2.f(x_1)=f(x_2)\;\Rightarrow\;x_1=x_2.
  • Surjektiv: Für jedes y∈By\in \mathbb{B} existiert ein x∈Ax\in \mathbb{A} mit
f(x)=y.f(x)=y.

Damit ordnet ff jedem Element aus A\mathbb{A} ein eindeutiges Element in B\mathbb{B} zu, und alle Elemente von B\mathbb{B} werden getroffen.

Note 2

Ist eine Funktion ff bijektiv, so existiert ihre Inversfunktion f−1f^{-1} und ist ebenfalls bijektiv.

Proof

Weil ff bijektiv ist, gibt es zu jedem xx genau ein y=f(x)y=f(x). Also gibt es auch zu jedem yy genau ein xx, nämlich x=f−1(y)x=f^{-1}(y).

Theorem 1

Sei die Funktion ff bijektiv und f−1f^{-1} ihre Inversfunktion. Die Graphen von ff und f−1f^{-1} sind achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden y=xy=x durch den ersten und dritten Quadranten.

Proof

Sei f:D→Wf:\mathbb{D}\to\mathbb{W} bijektiv mit dem Graphen

Graph(f)={(x,y)∈D×W∣y=f(x)}.\mathrm{Graph}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{D}\times\mathbb{W}\mid y=f(x)\}.

Betrachten wir einen beliebigen Punkt P(px∣py)P(p_x|p_y) auf dem Graphen von ff, (x,y)∈Graph(f)(x,y)\in\mathrm{Graph}(f), so ist wegen der Bijektivität f−1(y)=xf^{-1}(y)=x und damit (y,x)∈Graph(f−1)(y,x)\in\mathrm{Graph}(f^{-1}). Die Spiegelung an der Geraden y=xy=x wird durch R:R2→R2, R(x,y)=(y,x)R:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ R(x,y)=(y,x) beschrieben. Also ist R(Graph(f))⊆Graph(f−1)R(\mathrm{Graph}(f))\subseteq\mathrm{Graph}(f^{-1}).

Vertauschen wir die Rollen von ff und f−1f^{-1}, erhalten wir umgekehrt R(Graph(f−1))⊆Graph(f)R(\mathrm{Graph}(f^{-1}))\subseteq\mathrm{Graph}(f). Also haben wir insgesamt

R(Graph(f))=Graph(f−1),R(\mathrm{Graph}(f))=\mathrm{Graph}(f^{-1}),

d. h. die Graphen von ff und f−1f^{-1} sind Spiegelbilder an y=xy=x, der Winkelhalbierenden im ersten und dritten Quadranten.

Exercise 7: Selbstinvers II

Sei k(x)=1xk(x)=\frac{1}{x}. Bestimme die maximale Definitionsmenge von kk und berechne anschliessend die Inversfunktion von kk.

Solution

Man muss 00 im Nenner vermeiden, also D=R∗\mathbb{D}=\mathbb{R}^*. Man findet rasch k−1(x)=1xk^{-1}(x)=\frac{1}{x}. Es gilt in diesem Fall also f=f−1f=f^{-1}.

Exercise 8: 🧩

Kann man ausgehend von der Funktion

f:R⟶R,f(x)=x2f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, f(x)=x^2

eine Inversfunktion angeben?

Solution

Ja, aber man muss sich für einen Parabelast entscheiden, d. h. die Definitionsmenge der Inversfunktion einschränken. Also zum Beispiel für f:R0+⟶R0+f:\mathbb{R}_0^+\longrightarrow\mathbb{R}_0^+ ist dann f−1(x)=xf^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Exercise 9: 🧩

Zeichne die Graphen von f(x)=14x2f(x)=\frac{1}{4}x^2 und f−1f^{-1} in dasselbe Koordinatensystem, nachdem du den Funktionsterm von f−1f^{-1} gefunden hast.

Solutiony=14x24y=x2±2y=x\begin{align*} y&=\frac{1}{4}x^2\tag{$\cdot 4$}\\ 4y&=x^2\tag{$\sqrt{\phantom{x}}$}\\ \pm2\sqrt{y} &=x\notag \end{align*}

Es folgt f−1(x)=2xf^{-1}(x)=2\sqrt{x}. Überprüfe deinen Plot mit GeoGebra. Man sollte erkennen, dass die Graphen von ff und f−1f^{-1} achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden y=xy=x sind.