Quadratische Funktionen

Die Parabel

Quadratische Funktionen – beziehungsweise deren Graphen – haben bemerkenswerte Eigenschaften. Zuerst schauen wir uns ein Beispiel an, das die Grundlage vieler Anwendungen im Alltag illustriert.

Definition 1: Parabel

Die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt $B$ und einer gegebenen Geraden $l \not\ni B$ den gleichen Abstand haben, heisst Parabel.

Exercise 1: Parabel

Gegeben sei in der Ebene ein Punkt $F$ und eine Gerade $l$ , die nicht durch diesen Punkt geht. Versuche, alle Punkte $P$ zu skizzieren, die vom gegebenen Punkt $F$ und der Geraden $l$ denselben Abstand haben.

Solution

Wenn man nicht konstruiert, so sollte ein Bild von folgendem Typ skizziert worden sein.

Parabel als Graph einer quadratischen Funktion

Legt man ein Koordinatensystem so, dass die Parabel-Symmetrieachse mit der $y$ -Achse zusammenfällt und die dazu senkrechte $x$ -Achse den Abstand zwischen Brennpunkt $B$ und Leitlinie $l$ teilt, kann man zeigen: Die Funktionsgleichung der Parabel ist vom Typ $ax^2$ .

Exercise 2: Konstruktion der Parabel

Zeichne einen Punkt $B$ und eine Gerade $l$ , die nicht durch diesen Punkt verläuft. Konstruiere anschliessend die Menge aller Punkte, welche von $B$ und $l$ denselben Abstand haben.

Solution

Wir fällen zuerst das Lot von $B$ auf $l$ und halbieren diese Strecke. Dies ergibt den sogenannten Scheitelpunkt $S$ . Um weitere Punkte zu finden, die von $B$ und $l$ denselben Abstand haben, beachten wir, dass der Abstand zu $l$ senkrecht zu $l$ gemessen wird. Daher konstruieren wir eine beliebige Parallele $P$ zu $l$ auf der von $S$ abgewandten Seite von $l$ , fällen das Lot von $P$ auf $l$ , um den Abstand zu messen, und tragen mit der Zirkelöffnung dieser Länge von $B$ aus auf die Parallele ab. So ergeben sich jeweils, ausser im Falle von $S$ , zwei Punkte der Parabel. Wir führen diesen Vorgang für weitere Parallelen durch.

Exercise 3: Abstände vergleichen

Zeige, dass für eine quadratische Funktion der Form

f(x) = ax^2

ein beliebiger Punkt $Q$ auf der Parabel von $f$ vom Brennpunkt $(0 \mid \frac{1}{4a})$ und von der Leitlinie $l(x) = -\frac{1}{4a}$ den gleichen Abstand hat.

Solution

Wir betrachten die beiden Abstände eines beliebigen Punktes $Q(x \mid y)$ auf der Parabel zum Brennpunkt $B$ bzw. zur Leitlinie $l$ . Den Abstand Brennpunkt–Scheitelpunkt bezeichnen wir wie üblich mit $k$ .

Es ist $d_1 = f(x) + \frac{1}{4a}$ und $d_2 = \sqrt{x^2 + (f(x) - \frac{1}{4a})^2}$ . Wir vergleichen die Quadrate:

d_1^2 = a^2x^4 + 2ax^2\frac{1}{4a} + \frac{1}{16a^2} = a^2x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{16a^2}

und

d_2^2 = x^2 + a^2x^4 - 2ax^2\frac{1}{4a} + \frac{1}{16a^2}.

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung. (Kommentar zum Abstand)

Definition 2: Quadratische Funktion

Eine Funktion heisst quadratisch, wenn sie sich mit einer Funktionsgleichung der Form

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)

darstellen lässt.

Note 1

Der Koeffizient von $x^2$ soll jeweils nicht den Wert $0$ annehmen – sonst hätten wir keine quadratische Funktion vorliegen.

Funktionen der Form

f(x) = ax^2

haben die bequeme Eigenschaft, dass ihr Graph durch den Ursprung geht und dort, je nachdem, ob $a > 0$ oder $a < 0$ ist, ihren Tief- bzw. Hochpunkt hat.

Exercise 4: Graphen

Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der Funktionen:

a) $x^2, \frac{1}{2}x^2, 2x^2, -\frac{1}{4}x^2$

b) $x^2 + 1, -x^2 + 1, \frac{1}{2}x^2 - 2, -2x^2 + 3, \frac{1}{5}x^2 - 1$

Solution

Setze ein paar Werte ein: Es bieten sich $-1, 0, 1$ an. Berechne ein paar weitere Punkte und zeichne den Graphen. Kontrolliere mit GeoGebra.

Definition 3: Parabel und Scheitelpunkt

Den Graphen einer quadratischen Funktion nennt man Parabel. Der Tief- oder Hochpunkt heisst Scheitelpunkt.

Theorem 1

Der Scheitel halbiert das vom Brennpunkt auf die Leitlinie gefällte Lot; dieses Lot liegt auf der Symmetrieachse der Parabel.

Proof

Trivial nach geometrischer Definition.

Man kann zeigen, dass jede Parabel der Funktion $f(x) = ax^2$ sich in der Form

f(x) = \frac{1}{4p}x^2

schreiben lässt, wobei $p$ die Hälfte des Abstands des Lots Brennpunkt–Leitlinie ist.

Note 2

Eine Parabel lässt sich sowohl geometrisch als auch algebraisch definieren:

Geometrisch: Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer festen Geraden (der Leitlinie) den gleichen Abstand haben.
Algebraisch: Bis auf eine Verschiebung ist eine Parabel der Graph einer Funktion der Form $f(x) = \frac{1}{4p}x^2$ .

Exercise 5: Brennpunkt und Leitlinie

Berechne den Brennpunkt und die Funktionsgleichung der Leitlinie der Parabel aus dem Einführungsbeispiel.

Solution

Die Information über den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt steckt, wie oben gesehen, im Koeffizienten von $x^2$ :

\begin{align*} \frac{1}{4} &\stackrel{!}{=} \frac{1}{4p} \tag{$\cdot p, \cdot 4$}\\ p &= 1 \end{align*}

Da der Scheitelpunkt in $(0 \mid 0)$ liegt und die Parabel nach oben offen ist, folgt $B(0 \mid 1)$ und $l(x) = -1$ .

Fokus-Eigenschaft

Example 1

Stell dir den unten abgebildeten Graphen der Funktion

f(x) = \frac{1}{4}x^2

als Spiegel vor: Zeichne vier parallel zur $y$ -Achse einfallende Lichtstrahlen und konstruiere ihre Reflexion – beachte dabei, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x$ die Steigung $\frac{1}{2}x$ hat.

Das Beispiel verdeutlicht eine zentrale Eigenschaft quadratischer Funktionen:

Alle Strahlen, die parallel zur $y$ -Achse einfallen, werden in einen einzigen Punkt reflektiert – dieser ausgezeichnete Punkt heisst Brennpunkt. (Brennpunkt kommentiert)

Im Brennpunkt kann es tatsächlich extrem heiss werden! Unten ist einer der grössten Parabolspiegel der Welt abgebildet, der zu Forschungszwecken das Sonnenlicht bündelt. Im kleinen Häuschen, das genau im Brennpunkt steht, entstehen dabei Temperaturen von bis zu $4000\,\mathrm{^\circ C}$ .

Theorem 2

Die Parabel der Funktion

f(x) = ax^2

ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Die $x$ -Achse ist Tangente im Scheitel. Jeder parallel zur $y$ -Achse einfallende Lichtstrahl wird an der Parabel so gespiegelt, dass er durch den Brennpunkt geht.

Proof

Siehe unten.

Wir beantworten nun noch die Frage: Wieso werden alle zur Symmetrieachse der Parabel parallel einfallenden Lichtstrahlen so reflektiert, dass sie durch den Brennpunkt laufen?

Es gilt das Reflexionsgesetz

\text{Einfallswinkel} = \text{Ausfallswinkel};

notieren wir die bekannten Winkel. Wir begründen anschliessend, dass die Abstände $P$ zu $M$ , $P$ zu $B$ und $B$ zu $Q$ gleich gross sind.

Daraus folgt dann, dass $B$ Mittelpunkt des Thaleskreises durch $M, P, Q$ ist und damit jeder parallel zur Symmetrieachse der Parabel einfallende Lichtstrahl nach der Reflexion durch den Punkt $B$ – den Brennpunkt – gehen muss.

Open in GeoGebra

Folgende Bilder veranschaulichen Anwendungen dieser Parabeleigenschaft.

Scheitelform

Wir haben gesehen, dass der Graph von

f(x) = ax^2

eine Parabel ist. Die Parabel ist für $a > 0$ nach oben, für $a < 0$ nach unten geöffnet. Für $|a| < 1$ ist sie weiter, für $|a| > 1$ enger als die Normalparabel. Ihr Scheitel ist $S(0 \mid 0)$ , ihr Brennpunkt bei $B(0 \mid \frac{1}{4a})$ und die Leitlinie hat die Funktionsgleichung $l(x) = -\frac{1}{4a}$ .

Der Graph von

f(x) = ax^2 + v \quad (a, v \in \mathbb{R})

entsteht durch Verschiebung einer Parabel in $y$ -Richtung um $|v|$ Einheiten. Für $v > 0$ ist die Parabel nach oben, für $v < 0$ nach unten verschoben. Ihr Scheitel ist $S(0 \mid v)$ .

Exercise 6: Parabel verschieben

Zeichne in ein und dasselbe Koordinatensystem die Graphen der folgenden Funktionen:

a) $(x - 2)^2, (x + 2)^2, \frac{1}{2}(x - 1)^2, -2(x + 2)^2, x^2 + 6x + 9$

b) $(x - 1)^2 + 1, \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 3, -2(x + 3)^2 + 4, x^2 - 3x - 2$

Solution

Überprüfe deine Ergebnisse mit GeoGebra.

Der Graph von

f(x) = a(x - u)^2 \quad (a, u \in \mathbb{R})

entsteht durch Verschiebung einer Parabel in $x$ -Richtung um $|u|$ Einheiten. Die Parabel ist für $u > 0$ nach rechts, für $u < 0$ nach links verschoben. Ihr Scheitel ist $S(u \mid 0)$ .

Der Graph von

f(x) = a(x - u)^2 + v \quad (a, u, v \in \mathbb{R})

ist die in $x$ -Richtung um $|u|$ Einheiten und in $y$ -Richtung um $|v|$ Einheiten verschobene Parabel mit der Gleichung $y = ax^2$ .

Definition 4: Scheitelform

Da man in dieser Darstellung aus dem Funktionsterm direkt den Scheitel $S(u \mid v)$ ablesen kann, nennt man

f(x) = a(x - u)^2 + v

Scheitelgleichung oder Scheitelform der Parabel.

Durch Ausmultiplizieren der Scheitelform erhält man die Normalform $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Umgekehrt kann man $f(x) = ax^2 + bx + c$ durch quadratische Ergänzung immer in die Scheitelform überführen.

Note 3

Es ist zu beachten, dass der Parameter $a$ bei beiden Formen denselben Wert hat.

Exercise 7: a bleibt a

Zeige die Aussage aus obiger Bemerkung.

Solution

Wir rechnen nach: $a(x - u)^2 + v = a(x^2 - 2ux + u^2) + v = ax^2 - 2aux + au^2 + v$ und vergleichen dies mit der Normalform $ax^2 + bx + c$ .

Example 2

Es ist klar, dass man durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen aus der Scheitelform die Form $ax^2 + bx + c$ erhält. Wie erhält man umgekehrt die Scheitelform? Sei

f(x) = 3x^2 - 30x + 37.

Wir generieren nun eine Form $(x - u)^2$ und passen $v$ «künstlich» an. Man nennt das folgende Vorgehen quadratische Ergänzung:

\begin{align*} f(x) &= 3x^2 - 30x + 37\\ &= 3[(x - 5)^2 - 25] + 37\\ &= 3(x - 5)^2 - 38 \end{align*}

Der Scheitel ist somit $S(5 \mid -38)$ und der Graph lässt sich sofort skizzieren.

Definition 5: Quadratische Funktion

Die Funktion

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a, b, c \in \mathbb{R})

mit $a \neq 0$ heisst quadratische Funktion oder ganzrationales Polynom 2. Grades, falls $a, b, c \in \mathbb{Q}$ .

Note 4

Ihr Graph ist eine Parabel. Ihre Symmetrieachse ist die Parallele zur $y$ -Achse durch den Scheitel $S$ . Die Parabel ist für $a > 0$ nach oben, für $a < 0$ nach unten geöffnet.

Note 5

Statt mit quadratischem Ergänzen kann die Scheitelform aus der Normalform auch mit folgender Überlegung gewonnen werden. Wir betrachten die Lösungsformel für quadratische Gleichungen,

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},

bekanntlich zur Ausgangslage $ax^2 + bx + c = 0$ . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die quadratische Funktion $f$ zwei Nullstellen $x_1$ und $x_2$ hat. In der Mitte dieser Nullstellen liegt die Symmetrieachse der Parabel, welche senkrecht auf der $x$ -Achse steht und durch den Scheitelpunkt $S(u \mid v)$ verläuft. Es gilt $u = \frac{-b}{2a}$ , da uns der Term $\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ von $u$ aus nach links und rechts zu den Nullstellen bringt.

Das heisst, dass wir aus der Normalform ohne quadratische Ergänzung den Scheitelpunkt $S(u \mid v)$ berechnen können. Es gilt $u = -\frac{b}{2a}$ und $v$ , den Scheitel- $y$ -Wert, berechnen wir durch Einsetzen des Scheitel- $x$ -Wertes in $f$ : $f(u) = v$ .

Exercise 8: Skizze über Scheitelform

Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der quadratischen Funktionen $x \mapsto$ :

a) $x^2 - 6x + 11, 2x^2 - 3x, -x^2 + 6x - 7$

b) $0.5x^2 - 4x + 7, 0.25x^2 - 2x + 1, -0.1x^2 - x - 1$

Solution

Für das erste Beispiel $x^2 - 6x + 11$ ist $u = -\frac{-6}{2} = 3$ und damit $v = 3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = 2$ . Also $S(3 \mid 2)$ und $a = 1$ . Berechne zuerst die Scheitelform und skizziere anschliessend. Kontrolliert wird mit GeoGebra.

Exercise 9: Parabel-Funktionsgleichung

Wie lautet die Funktionsgleichung der gegebenen Parabeln?

Solution

a) $2(x + 2)^2 - 3$

b) $0.5(x - 4)^2 + 1$

c) $-(x - 3)^2 - 1$

Exercise 10: Scheitelgleichung

Ermittle die Scheitelgleichung der Parabel mit dem Scheitel $S$ so, dass sie durch den Punkt $P$ geht.

a) $S(2 \mid 4), P(3 \mid 3)$

b) $S(2 \mid 4), P(-1 \mid 7)$

c) $S(-2 \mid -3), P(0 \mid 0)$

Solution

a) Klar ist $a(x - 2)^2 + 4$ . Und weil es auf eine Einheit nach rechts eine Einheit runter geht, ist $a = -1$ .

b) Wiederum $a(x - 2)^2 + 4$ . Nun geht es auf $3$ Einheiten nach links $3$ hoch. Also ist $a = \frac{1}{3}$ .

c) $a(x + 2)^2 - 3$ und $a = \frac{3}{4}$ .

Exercise 11: Parabel-Scheitelgleichung II

Ermittle die Gleichung $y = x^2 + bx + c$ einer Parabel so, dass sie durch die Punkte $A(2 \mid -7)$ und $B(-3 \mid 8)$ geht.

Solution

Die Bedingungen ergeben ein $2 \times 2$ -Gleichungssystem, das wir nach $b$ und $c$ lösen:

\begin{align} -7 &= 2^2 + 2b + c \label{eq:A}\\ 8 &= (-3)^2 + b \cdot (-3) + c \label{eq:B} \end{align}

Subtrahieren wir $\eqref{eq:A} - \eqref{eq:B}$ : $-15 = -5 + 5b$ , um $c$ zu eliminieren. Es folgt $b = -2$ und unmittelbar $c = -7$ .

Exercise 12: Parabel-Gleichung

Ermittle die Gleichung $y = ax^2 + bx + c$ einer Parabel so, dass sie durch die Punkte $A, B$ und $C$ geht.

a) $A(1 \mid 0), B(-1 \mid 1)$ und $C(2 \mid 1)$

b) $A(1 \mid 2), B(3 \mid 4)$ und $C(5 \mid 1)$

Solution

Wir lösen $3 \times 3$ -Gleichungssysteme.

a) Die Punkte verwertet ergeben:

\begin{align} 0 &= a + b + c \label{eq:13}\\ 1 &= a - b + c \label{eq:23}\\ 1 &= 4a + 2b + c \label{eq:33} \end{align}

$\eqref{eq:23} - \eqref{eq:13}$ und $\eqref{eq:33} - \eqref{eq:13}$ ergibt:

\begin{align*} 1 &= -2b\\ 1 &= 3a + b \end{align*}

Daraus folgt $b = -\frac{1}{2}$ und $a = \frac{1}{2}$ ; schliesslich $c = 0$ .

\begin{align} 2 &= a + b + c \label{eq:14}\\ 4 &= 9a + 3b + c \label{eq:24}\\ 1 &= 25a + 5b + c \label{eq:34} \end{align}

Wir eliminieren $c$ via $\eqref{eq:24} - \eqref{eq:14}$ und $\eqref{eq:34} - \eqref{eq:24}$ ergibt:

\begin{align*} 2 &= 8a + 2b\\ -3 &= 16a + 2b \end{align*}

Nach $2b$ aufgelöst und gleichgesetzt: $2 - 8a = -3 - 16a \Leftrightarrow 8a = -5 \Leftrightarrow a = -\frac{5}{8}$ . Somit $b = \frac{7}{2}$ und $c = -\frac{7}{8}$ . (Parabel aus 3 Pkt)

Exercise 13: Schneiden

Gegeben seien die Parabel $p(x) = x^2 + x - 1$ und die Gerade $g(x) = 2x + 5$ .

a) Berechne die Nullstellen der beiden Funktionen.

b) Berechne den Scheitelpunkt von $p$ .

c) Berechne die Schnittpunkte der Graphen von $p$ und $g$ .

d) Skizziere die Graphen.

Solution

Die Nullstellen sind $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$ bzw. $x = -2.5$ . Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(-0.5 \mid -1.25)$ . Die Schnittpunkte sind $(-2 \mid 1)$ und $(3 \mid 11)$ .

Exercise 14: Schnittpunkte und Analyse

Gegeben seien die Parabel $p(x) = x^2 - 2x - 3$ und die Gerade $g(x) = x + 1$ .

a) Berechne die Nullstellen der beiden Funktionen.

b) Berechne den Scheitelpunkt von $p$ .

c) Berechne die Schnittpunkte der Graphen von $p$ und $g$ .

d) Skizziere die Graphen.

Solution

Nullstellen $p$ : $x_1 = 3$ und $x_2 = -1$ . Nullstelle $g$ : $x = -1$ . Scheitelpunkt $p$ : $S(1 \mid -4)$ . Schnittpunkte: $P_1(4 \mid 5)$ und $P_2(-1 \mid 0)$ .

Exercise 15: 🧩

Ein Brückenbogen hat die Form einer Parabel. Die Scheitelhöhe beträgt $4\,\mathrm{m}$ , die Spannweite $8\,\mathrm{m}$ .

a) Kann ein Lastwagen mit einer Höhe von $3.5\,\mathrm{m}$ und einer Breite von $2.1\,\mathrm{m}$ passieren?

b) Wie breit darf der Lastwagen höchstens sein?

c) Kann der Lastwagen aus (a) zugleich mit einem Pkw der Höhe $1.6\,\mathrm{m}$ und der Breite $1.8\,\mathrm{m}$ passieren, wenn zwischen ihnen ein Abstand von $0.3\,\mathrm{m}$ bleiben soll?

Solution

Wir berechnen zuerst die Funktionsgleichung der Parabel, die den Brückenbogen repräsentiert. Wir wählen den Scheitel auf der $y$ -Achse bei $(0 \mid 4)$ . Damit ergeben sich die Nullstellen bei $(\pm 4 \mid 0)$ . Da wir keine Verschiebung in $x$ -Richtung haben, wählen wir als Ansatz $f(x) = ax^2 + c$ . $c = 4$ ist trivial und $a$ bestimmen wir entweder durch Einsetzen oder mit einer Überlegung. Vom Scheitel aus muss die Parabel auf $4$ Einheiten parallel zu $x$ in $y$ um $4$ Einheiten sinken; es folgt $a = -\frac{1}{4}$ . Wir halten fest: $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 4$ .

a) Wenn er es clever durch die Mitte versucht, dann müssen wir $f(\frac{2.1}{2}) \stackrel{?}{<} 3.5$ überprüfen. Es ist $f(1.05) = 3.72$ , und er kann passieren.

b) $f(x) \stackrel{!}{=} 3.5 = -\frac{1}{4}x^2 + 4$ , also $2 = x^2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2} \approx 1.4$ ; somit ca. $2.8\,\mathrm{m}$ breit.

c) Wir setzen den Lastwagen an der Stelle $x = -1.4$ an, wo er gerade noch unten durchpasst. Wir überprüfen die Stelle $x = -1.4 + 2.1 + 0.3 + 1.8 = 2.8$ und prüfen $f(2.8) \stackrel{?}{\geq} 1.6$ . Da $f(2.8) = 2.04$ ist, kann der Pkw passieren.

(Brückenbogen vorgelöst)

Maxima & Minima

Der grösste bzw. kleinste Wert einer Wertemenge heisst Maximum bzw. Minimum. Die quadratische Funktion

f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - u)^2 + v

hat für

x = u = -\frac{b}{2a}

ein Maximum, falls $a < 0$ , bzw. ein Minimum, falls $a > 0$ . Das Maximum bzw. Minimum ist $v = f(u)$ .

Begründung: Der Term $(x - u)^2$ ist nicht negativ; für $a < 0$ wird $f(x) \leq v$ und für $a > 0$ wird $f(x) \geq v$ . Das Gleichheitszeichen gilt aber nur für $x = u$ .

Exercise 16: Min und Max

Ermittle das Maximum bzw. das Minimum der folgenden Terme für $x \in \mathbb{R}$ :

x^2 - 8x + 25; \quad 3 - 2x - x^2; \quad x^2 + x - 18; \quad -x^2 + 6x + 2.

Solution

Wir berechnen den Scheitelpunkt $S(u \mid v)$ mit $u = -\frac{b}{2a}$ und $v = f(u)$ . Ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt, liest man am Parameter $a$ ab: $u = 4, v = 9$ Minimum; $u = -1, v = 4$ Maximum; $u = -0.5, v = -18.25$ Minimum; $u = 3, v = 11$ Maximum.

Exercise 17: Rechteck

Welches Rechteck vom Umfang $160\,\mathrm{cm}$ hat den grössten Inhalt?

Solution

Für ein Rechteck mit Länge $x$ und Breite $y$ gilt für die Rechtecksfläche $A = xy$ . Zudem haben wir die Nebenbedingung $U = 160 = 2x + 2y$ , die wir nach $y = 80 - x$ auflösen, um damit $y$ in der Flächenformel zu eliminieren: $A(x) = x(80 - x) = -x^2 + 80x$ . Diese Flächenfunktion ist eine Parabel mit Maximum bei $u = -\frac{80}{-2} = 40$ . Damit hat das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt die Breite $x = 40\,\mathrm{cm}$ und $y = 80 - 40 = 40\,\mathrm{cm}$ . Die Fläche ist $A = 40^2 = 1600\,\mathrm{cm^2}$ .

Exercise 18: Feld

Mit $120\,\mathrm{m}$ Zaun soll ein möglichst grosses rechteckiges Feld abgegrenzt werden,

a) auf offenem Gelände,

b) wenn an einer Seite ein Fluss die Grenze bildet.

Wie gross wird jeweils das Feld?

Solution

a) Es gilt $A = xy$ und $U = 120 = 2x + 2y$ , also $y = 60 - x$ und damit $A(x) = x(60 - x) = -x^2 + 60x$ . Die Flächenfunktion ist eine nach unten offene Parabel und hat daher ein Maximum bei $u = -\frac{60}{-2} = 30$ . Somit $x = 30\,\mathrm{m}, y = 30\,\mathrm{m}$ und $A(30) = 30^2 = 900\,\mathrm{m^2}$ .

b) Hier ist $U = 120 = 2x + y$ , also $y = 120 - 2x$ . $A(x) = x(120 - 2x) = -2x^2 + 120x$ . Maximum bei $x = -\frac{120}{-4} = 30$ . Somit $x = 30\,\mathrm{m}, y = 60\,\mathrm{m}$ und $A = 1800\,\mathrm{m^2}$ .

Exercise 19: Jazzlokal

Ein Jazzlokal hat bei einem Eintritt von $8\,\mathrm{Fr.}$ durchschnittlich $240$ Besucher. Würde man den Eintrittspreis um $0.5\,\mathrm{Fr.}, 1\,\mathrm{Fr.}$ usw. erhöhen, so ginge die Besucherzahl um $10, 20$ usw. zurück. Bei welchem Eintrittspreis sind die Einnahmen am grössten?

Solution

Sei $x$ der Eintrittspreis und $b(x)$ die Anzahl Besucher. Es ist $b(x) = -20x + 400$ , da pro Franken die Besucherzahl um $20$ abnimmt und bei $8$ Franken $240$ Besucher erwartet werden. Für den Umsatz gilt $U(x) = x \cdot (-20x + 400) = -20x^2 + 400x$ . Den grössten Umsatz erzielt man für einen Eintrittspreis von $u = -\frac{400}{-40} = 10$ Franken. Der zugehörige Umsatz ist $U(10) = 10 \cdot 200 = 2\,000\,\mathrm{Franken}$ .

Exercise 20: Stehlampe

Der Schirm einer Stehlampe soll die Form einer quadratischen Säule haben. Für das Gestell stehen $440\,\mathrm{cm}$ Draht zur Verfügung.

a) Welche Ausmasse hat der Lampenschirm, wenn der Mantel zur dekorativen Gestaltung möglichst gross sein soll? Wie gross ist diese Mantelfläche? b) Wie sind die Ergebnisse, wenn für eine entsprechende Hängelampe die Oberfläche maximal sein soll?

Solution

Sei $x$ die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche und $y$ die Höhe des Quaders. Das Gestell erzwingt $R = 440 = 8x + 4y \Leftrightarrow y = 110 - 2x$ .

a) $M(x) = 4xy = 4x(110 - 2x) = -8x^2 + 440x$ . Damit $u = -\frac{440}{-16} = 27.5\,\mathrm{cm}$ , $y = 55\,\mathrm{cm}$ und $M = 6050\,\mathrm{cm^2}$ .

b) $O(x) = 2x^2 + 4xy = 2x^2 - 8x^2 + 440x = -6x^2 + 440x$ . Es folgt $u = -\frac{440}{-12} = 36\frac{2}{3}\,\mathrm{cm}$ , $y = 36\frac{2}{3}\,\mathrm{cm}$ und $O \approx 8067\,\mathrm{cm^2}$ .

Exercise 21: Inverse einer Parabel

Kann man, ausgehend von der Funktion

f(x) = x^2, \quad \mathbb{D} = \mathbb{R},

eine Inversfunktion angeben?

Solution

Nein, $f$ ist nicht injektiv. Man muss den Definitionsbereich auf $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+_0$ einschränken.

Note 6

Man findet den Funktionsterm von $f^{-1}$ , indem man die Gleichung

f(x) = y

nach $x$ auflöst. Anschliessend vertauscht man noch die Bezeichnung $y$ mit $x$ , weil üblicherweise $x$ die freie Variable darstellt und man dafür die horizontale Achse verwenden will.

Example 3

Die Inversfunktion zu

f(x) = x^2 + x - 1

findet man vielleicht so:

\begin{align*} y &= x^2 + x - 1 \tag{$-y$}\\ 0 &= x^2 + x - (1 + y)\\ x_{1,2} &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(1 + y)}}{2}\\ f^{-1}(x) &= \frac{-1 + \sqrt{5 + 4x}}{2} \end{align*}

Man muss sich für einen Parabelast entscheiden – hier wurde die additive Variante gewählt.

Exercise 22: f invers

Zeichne die Graphen von $f(x) = \frac{1}{4}x^2$ und $f^{-1}$ aus dem Einführungsbeispiel in dasselbe Koordinatensystem, nachdem du den Funktionsterm von $f^{-1}$ gefunden hast.

Solution

Wir setzen:

\begin{align*} y &= \frac{1}{4}x^2 \tag{$\cdot 4$}\\ 4y &= x^2 \tag{$\sqrt{\phantom{x}}$}\\ \pm 2\sqrt{y} &= x \end{align*}

Wir entscheiden uns für den positiven Parabelast: $f^{-1}(x) = 2\sqrt{x}$ . Die Skizze kontrolliert man mit GeoGebra und bemerkt die Achsensymmetrie zur Winkelhalbierenden $y = x$ .