Vektoroperationen

Addiere Vektor zu Punkt

Gegeben ist ein Punkt $A$ und ein Vektor $\vec v$ . Was meinen wir mit der Addition eines Vektors zu einem Punkt? Wenn wir bei $A$ starten und den Komponenten von $\vec v$ folgen

\begin{array}{lcl} A & \rightarrow & B \\ \hline A_x & \overset{+v_x}{\rightarrow} & A_x+v_x \\ A_y & \overset{+v_y}{\rightarrow} & A_y+v_y \\ A_z & \overset{+v_z}{\rightarrow} & A_z+v_z \\ \end{array}

so gelangen wir zu einem neuen Punkt mit den Koordinaten

(A_x+v_x \vert A_y+v_y \vert A_z + v_z)

Wir bezeichnen diesen Punkt mit

\boxed{A+\vec v}

oder, falls wir dem Punkt einen Namen geben, etwa $B$ , so schreiben wir

\boxed{B = A+\vec v}

Addition von Vektoren

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ . Die Summe der Vektoren ist ein neuer Vektor, den wir mit

\boxed{\vec u+\vec v}

bezeichnen. Seine Komponenten sind wie folgt definiert:

\vec u+\vec v = \left(\begin{array}{r} u_x+v_x\\ u_y+v_y\\ u_z+v_z \end{array}\right)

Was ist die Beziehung zwischen den Pfeilen der Vektoren $\vec u$ , $\vec v$ , und $\vec u+\vec v$ ? Wir können einen Pfeil von $\vec u+\vec v$ mit Hilfe der Pfeile von $\vec u$ und $\vec v$ konstruieren, und zwar wie folgt:

hänge $\vec v$ an den Startpunkt von $\vec v$ an.
der Pfeil $\vec u+\vec v$ ist dann der Pfeil, der vom Startpunkt von $\vec u$ zur Spitze von $\vec v$ geht (siehe Skizze unten). Man vervollständigt also das Dreieck.

Beachte: Um den Pfeil einer Summe von $3$ Vektoren zu finden, $\vec u+\vec v+\vec w$ , formen wir eine Kette von Pfeilen (siehe Skizze unten).

Subtraktion von Vektoren

Die Subtraktion des Vektors \vec v vom \vec u wird definiert als die Summe der Vektoren $\vec{u}$ und dem Gegenvektor des Vektors $\vec{v}$ :

\boxed{\vec u-\vec v = \vec u+ (-\vec v)}

Die Komponenten sind somit

\vec u - \vec v = \left(\begin{array}{r} u_x-v_x\\ u_y-v_y\\ u_z-v_z \end{array}\right)

Wir können den Pfeil von $\vec u-\vec v$ analog wie bei der Summe konstruieren, wobei wir zuerst aber noch den Pfeil von $-\vec{v}$ bilden müssen (siehe Skizze).

Multiplication eines Vektors mit einem Skalar

Gegeben sei ein Vektor $\vec u$ und eine Konstante $c$ , wobei $c$ eine reelle Zahl ist. Im Kontext von Vektoren wird die Zahl $c$ auch Skalar genannt. Die Multiplikation von c mit dem Vektor \vec u wird mit

\boxed{c\cdot \vec{u}}

bezeichnet. Es ist ein neuer Vektor mit den Komponenten

c\cdot \vec u = \left(\begin{array}{r} c\cdot u_x\\ c \cdot u_y\\ c \cdot u_z \end{array}\right)

Daher jede Komponente von $\vec u$ wird mit $c$ multipliziert.

Beachte:

Der Pfeil von $c \cdot \vec{u}$ ist eine um den Faktor $c$ gestreckte Version von $\vec u$ .
Ist $c$ positive, so zeigen beide Pfeile in die gleiche Richtung, ist $c$ is negativ, so zeigt $c \vec{v}$ in die entgegengesetzte Richtung von $\vec v$ .
$2 \vec v$ ist zweimal so lang wie $\vec v$ , und $0.5\vec{v}$ ist halb so lang wie $\vec v$ .
Genereller, für $c>1$ wird gestreckt, für $0<c<1$ wird gestaucht.

Exercise 1

F1

Gegeben ist der Vektor $\vec{u}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 2\\ -1 \end{array}\right)$ . Bestimme die Komponenten des Vektors $\vec{v} = 3\cdot \vec{u}$ und verifiziere, dass dessen Betrag $3$ drei mal grösser ist als der Betrag von $\vec{u}$ .

F2

Zeige, dass $0\cdot \vec{a}=\vec{0}$ .

F3

Zeige, dass $4\cdot (5\cdot \vec{a})=20\cdot \vec{a}$

F4

Zeige:

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$
$\vec{b}-\vec{a}$ ist der Gegenvektor von $\vec{a}-\vec{b}$
$\vec{a}+\vec{a}=2 \vec{a}$
$4 \vec{a} + 6 \vec{a} =10 \vec{a}$
$4 \vec{a} - 6 \vec{a} =-2 \vec{a}$
$3 (\vec{a} +\vec{b}) =3 \vec{a}+3 \vec{b}$

F5

Konstruiere die folgenden Vektoren: $\vec{a}+\vec{b}$ , $\vec{a}-\vec{b}$ , wobei $\vec a$ und $\vec b$ in der $yz$ -Ebene sind (siehe Skizze unten).

F6

Konstruiere die folgenden Vektoren: $1.5\vec{a}+3\vec{b}$ , $0.5\vec{a}-2\vec{b}$ , wobei $\vec a$ und $\vec b$ in der $yz$ -Ebene sind (siehe Skizze unten).

F7

Finde den Mittelpunkt der Strecke zwischen $A(1\vert 4\vert -2)$ und $B(10 \vert 2 \vert 4)$ .

F8

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 1 \end{array}\right)$ and $\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\\ -1 \end{array}\right)$ .

Bestimme $\vert \vec a + \vec b \vert$ und zeige, dass nicht gilt: $\vert \vec a \vert + \vert \vec b \vert$ .
Zeige allgemein mit einer Skizze, dass gilt $\vert \vec a + \vec b \vert \leq \vert \vec a \vert + \vert \vec b \vert$ . Für welche Vektoren ist $\vert \vec a + \vec b \vert = \vert \vec a \vert + \vert \vec b \vert$ ?
Bestimme $\vert \vec a - \vec b \vert$ . Zeige, dass $\vert \vec a - \vec b \vert \neq \vert \vec a \vert - \vert \vec b \vert$ .
Bestimme den Einheitsvektor von $\vec a$ .

Solution

A1

$\vert\vec{u}\vert=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}=3$ , $\vec v = 3\cdot \vec u = \left(\begin{array}{r} -6\\ 6\\ -3 \end{array}\right) \rightarrow \vert \vec{v}\vert =\sqrt{(-6)^2+6^2+(-3)^2}=9$ . Also in der Tat dreimal grösser.

A2

$0\cdot \vec{a}=\left(\begin{array}{r} 0\cdot a_x\\ 0\cdot a_y\\ 0\cdot a_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$

A3

$4\cdot (5\cdot \vec{a})= 4\cdot \left(\begin{array}{r} 5\cdot a_x\\ 5\cdot a_y\\ 5\cdot a_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 20\cdot a_x\\ 20\cdot a_y\\ 20\cdot a_z \end{array}\right)= 20\cdot \vec{a}$

A4

$\vec{a}+\vec{b}=\left(\begin{array}{r} a_x+b_x\\ a_y+b_y\\ a_z+b_z \end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} b_x+a_x\\ b_y+a_y\\ b_z+a_z \end{array}\right) =\vec{b}+\vec{a}$
$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}+\left(\begin{array}{r} b_x+c_x\\ b_y+c_y\\ b_z+c_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_x+b_x+c_x\\ a_y+b_y+c_y\\ a_z+b_z+c_z \end{array}\right)$ und ähnlich, $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\left(\begin{array}{r} a_x+b_x\\ a_y+b_y\\ a_z+b_z \end{array}\right)+\vec{c}=\left(\begin{array}{r} a_x+b_x+c_x\\ a_y+b_y+c_y\\ a_z+b_z+c_z \end{array}\right)$ , also die gleichen Vektoren.
$\vec{b}-\vec{a}=\left(\begin{array}{r} b_x-a_x\\ b_y-a_y\\ b_z-a_z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -(a_x-b_x)\\ -(a_y-b_y)\\ -(a_z-b_z) \end{array}\right)=-(\vec{a}-\vec{b})$ , und dies ist der Gegenvektor von $\vec{a}-\vec{b}$
$\vec{a}+\vec{a}=\left(\begin{array}{r} a_x+a_x\\ a_y+a_y\\ a_z+a_z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2 a_x \\ 2 a_y\\ 2 a_z \end{array}\right)=2 \vec{a}$
$4 \vec{a} + 6 \vec{a} =\left(\begin{array}{r} 4a_x+6a_x\\ 4a_y+6a_y\\ 4a_z+6a_z \end{array}\right) = 10 \vec{a}$
$4 \vec{a} - 6 \vec{a} =\left(\begin{array}{r} 4a_x-6a_x\\ 4a_y-6a_y\\ 4a_z-6a_z \end{array}\right) =-2 \vec{a}$
$3 (\vec{a} +\vec{b}) = 3\left(\begin{array}{r} a_x+b_x\\ a_y+b_y\\ a_z+b_z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 3(a_x+b_x)\\ 3(a_y+b_y)\\ 3(a_z+b_z) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 3a_x+3b_x\\ 3a_y+3b_y\\ 3a_z+3b_z \end{array}\right) =3\vec{a}+3 \vec{b}$

A5

A6

A7

A8

$\vec a + \vec b = \left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 0 \end{array}\right) \rightarrow \vert \vec a + \vec b \vert = \sqrt{3^2+1^2+0^2}=\sqrt{10}$ . Aber $\vert \vec a \vert + \vert \vec b \vert = \sqrt{6} +\sqrt{14} \neq \sqrt{10}$ .
Folgt aus der Skizze zur Vervollständigung des Dreiecks. Die Gleichung gilt, falls die Vektoren parallel sind, und in die gleiche Richtung zeigen.
$\vec a - \vec b = \left(\begin{array}{r} -1\\ -5\\ 2 \end{array}\right) \rightarrow \vert \vec a - \vec b \vert = \sqrt{(-1)^2+(-5)^2+2^2}=\sqrt{30}$ . Aber $\vert \vec a \vert - \vert \vec b \vert = \sqrt{6} -\sqrt{14} \neq \sqrt{30}$
$\vert \vec a \vert =\sqrt{6}$ ist die Länge des Pfeils $\vec a$ . $\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \vec a$ streckt den Pfeil $\vec a$ um den Faktor $\frac{1}{\sqrt{6}}$ , hat also gerade die Länge $1$ . Der Einheitsvektor ist also $\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \vec a = \left(\begin{array}{r} 1/\sqrt{6}\\ -2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6} \end{array}\right)$