Kollineare Vektoren

Zwei Vektoren v⃗\vec v und w⃗\vec w sind kollinear,

v⃗∥w⃗\vec v \parallel \vec w

falls ein Skalar cc existiert, für den gilt

v⃗=c⋅w⃗\boxed{\vec v = c \cdot \vec w}

Mit anderen Worten, v⃗\vec v und w⃗\vec w sind kollinear, falls w⃗\vec w und v⃗\vec v gestreckte Versionen voneinander sind. Insbesondere sind also die Pfeile von v⃗\vec v und w⃗\vec w parallel. Da cc auch negativ sein kann, müssen die Pfeile nicht in die gleiche Richtung schauen (siehe Skizze unten, die Vektoren links sind kollinear, die rechts sind nicht kollinear).

Beachte, dass falls ein Streckungsfaktor cc existiert mit v⃗=c⋅w⃗\vec v = c\cdot \vec w, so existiert auch ein Streckungsfaktor dd mit w⃗=d⋅v⃗\vec w = d\cdot \vec v, wobei gilt d=1/cd=1/c.

Wie überprüfen wir, ob zwei Vektoren kollinear sind? Wir müssen eine einzige Konstante cc finden mit

vx=c⋅wxvy=c⋅wyvz=c⋅wz\boxed{ \begin{array}{lcl} v_x & = & c\cdot w_x \\ v_y & = & c\cdot w_y \\ v_z & = & c\cdot w_z \\ \end{array} }
Exercise 1

Sind die folgenden Vektoren kollinear?

  1. u⃗=(1−1.55)\vec{u} = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1.5\\ 5 \end{array}\right) and v⃗=(2−39)\vec{v} = \left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ 9 \end{array}\right)

  2. u⃗=(1−1.55)\vec{u} = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1.5\\ 5 \end{array}\right) and v⃗=(2−310)\vec{v} = \left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ 10 \end{array}\right)

  3. u⃗=(−423)\vec{u} = \left(\begin{array}{r} -4\\ 2\\ 3 \end{array}\right) and v⃗=(6−3−4.5)\vec{v} = \left(\begin{array}{r} 6\\ -3\\ -4.5 \end{array}\right)

  4. u⃗=(804)\vec{u} = \left(\begin{array}{r} 8\\ 0\\ 4 \end{array}\right) and v⃗=(402)\vec{v} = \left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 2 \end{array}\right)

Solution
  1. nein
  2. ja (u⃗=0.5v⃗\vec u = 0.5 \vec v or v⃗=2u⃗\vec v=2\vec u)
  3. ja (u⃗=−23v⃗\vec u=-\frac{2}{3}\vec v oder v⃗=−1.5u⃗\vec v=-1.5\vec u)
  4. ja (u⃗=2v⃗\vec u=2\vec v oder v⃗=0.5u⃗\vec v=0.5\vec u)