Spezielle Vektoren

Der Einheitsvektor

Ganz allgemein ist ein Einheitsvektor ein Vektor mit Betrag 11. Etwas spezieller, der Einheitsvektors eines Vektors u⃗\vec{u} ist derjenige Vektor, der in die gleiche Richtung wie u⃗\vec{u} zeigt, und den Betrag 11 hat.

Gegenvektor

Der Gegenvektor eines Vektors u⃗\vec{u} wird mit −u⃗-\vec{u} bezeichnet, und hat die Komponenten

−u⃗=(−ux−uy−uz)\boxed{-\vec{u}=\left(\begin{array}{r} -u_x\\-u_y\\-u_z \end{array}\right)}

Es ist leicht einzusehen, dass die Komponenten des Gegenvektors beschreiben, wie man von der Spitze von u⃗\vec{u} zu dessen Start kommt (siehe Bild unten).

Der Ortsvektor eines Punktes

Gegeben sei ein Punkt AA. Der Vektor von OO nach AA with Ortsvektor von AA genannt, und hat die Komponenten

OA→=(AxAyAz)\boxed{\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{r} A_x\\ A_y\\ A_z\end{array}\right)}

Statt OA→\overrightarrow{OA} wird dieser Vektor auch oft mit A⃗\vec{A} bezeichnet.

Exercise 1

  1. Bestimme den Gegenvektor von v⃗=(−22−3)\vec{v}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 2\\ -3 \end{array}\right).

  2. Es ist:

    1. Bestimme den Betrag des Nullvektors.
    2. Wie viele Vektoren mit Betrag 00 gibt es?

  3. Es ist:

    1. Bestimme einen Einheitsvektor mit mindestens zwei von 00 verschiedenen Komponenten.
    2. Grundsätzlich, viele mögliche Einheitsvektoren gibt es? Falls die Pfeile dieser Vektoren an den Koordinatennullpunkt angehängt werden, was für ein geometrisches Objekt bildet die Menge der Pfeilspitzen?

  4. Unten abgebildet sind Pfeile in der yzyz-Ebene.

    1. Welche dieser Pfeile sind Gegenvektoren von a⃗\vec{a}?
    2. Welche Pfeile haben die gleichen Komponenten?
    3. Bestimme die Komponenten der Pfeile.

  5. Bestimme den Ortsvektor von C(4∣5∣10)C(4\vert 5\vert 10) und zeichne ihn in einem 3d-Koordinatensystem.

Solution
  1. −v⃗=(−(−2)−2−(−3))=(2−23)-\vec{v}=\left(\begin{array}{r} -(-2)\\ -2\\ -(-3) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ 3 \end{array}\right)
  2. Es ist
    1. u⃗=(000)\vec{u}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right) und somit ∣u⃗∣=02+02+02=0\vert \vec{u}\vert = \sqrt{0^2+0^2+0^2}=0.
    2. Der Nullvektor ist der einzige mit Betrag 00. Hat irgend ein Vektor u⃗\vec{u} eine Komponenten verschieden von 00, so ist dessen Betrag ∣u⃗∣=ux2+uy2+uz2>0\vert \vec{u}\vert =u_x^2+u_y^2+u_z^2>0.
  3. Es ist
    1. Zum Beispiel für den Vektor u⃗=(uxuy0)\vec{u}=\left(\begin{array}{r} u_x\\ u_y\\ 0 \end{array}\right) haben wir die Bedingung ∣u⃗∣=ux2+uy2+02=1∣()2\vert \vec{u}\vert = \sqrt{u_x^2+u_y^2+0^2}=1 \quad \vert ()^2 ux2+uy2=1u_x^2+u_y^2=1 Wähle, zum Beispiel, ux=0.5u_x=0.5 (oder irgend einen anderen Wert zwischen −1-1 und 11), und es folgt 0.52+uy2=10.5^2+u_y^2=1 Somit gilt uy=±0.75u_y=\pm \sqrt{0.75}
    2. Es gibt unendlich viele Einheitsvektoren, da es unendliche viele Pfeile mit Länge 11 gibt, welche alle in verschiedene Richtungen zeigen. Am Koordinatennullpunkt angehängt, bilden die Pfeilspitze eine Sphere (Kugel) mit Radius 11.
  4. Es ist
    1. c⃗\vec{c}
    2. a⃗,d⃗\vec{a}, \vec{d}
    3. a⃗=(0−14)\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 4 \end{array}\right) b⃗=(0−3−3)\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 0\\ -3\\ -3 \end{array}\right) c⃗=(01−4)=−a⃗\vec{c}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -4 \end{array}\right)=-\vec{a} d⃗=(0−14)=a⃗\vec{d}=\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 4 \end{array}\right)=\vec{a}
  5. OC→=(4510)\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 5\\ 10\end{array}\right)