Wissenschaftliche Notation

Die wissenschaftliche Notation (oder wissenschaftliche Schreibweise) ist eine nützliche Art, sehr grosse oder sehr kleine Zahlen zu schreiben (klein in dem Sinne, dass sie nahe bei 00 liegen). Wissenschaftler und Ingenieure verwenden diese Notation häufig, weil viele Dinge in unserem Universum entweder durch unglaublich grosse oder kleine Zahlen beschrieben werden. Hier sind einige Beispiele:

Example 1: Gross: das Universum

Wenn wir nachts nach oben schauen, sehen wir viele, viele Sterne (etwa 25002500). Aber das ist tatsächlich nur die lokale Umgebung unserer Galaxie (siehe kleiner Kreis im Bild unten).

Das (beobachtbare) Universum

  • enthält etwa 1000000000000000000000000000⏟231\underbrace{000000000000000000000000000}_{23} Sterne. Anders ausgedrückt: Für jedes Sandkorn auf unserer Welt gibt es etwa 1000010 000 (!) Sterne da draussen. Und man schätzt, dass es für jedes Sandkorn 100100 erdähnliche Planeten im Universum gibt ... wo sind also all die Ausserirdischen? Das nennt man das Fermi-Paradox.
  • hat einen Durchmesser von 880000000000000000000000⏟22 km88\underbrace{0000000000000000000000}_{22}\, km
  • hat eine Gesamtmasse von 1500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000⏟52 kg15\underbrace{00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}_{52}\, kg
Example 2: Klein: das Atom

Die Atome können verschieden gross und schwer sein, aber typischer Wert ist:

  • Radius: 0.0000000000⏟103 m0.\underbrace{0000000000}_{10}3\, m
  • Masse: 0.000000000000000000000000⏟2416605 kg0.\underbrace{000000000000000000000000}_{24}16605\, kg

Es sollte klar sein, dass das Schreiben so grosser oder kleiner Zahlen mit so vielen Nullen schwer zu lesen ist. Es ist zum Beispiel sehr leicht, eine Null zu übersehen. Hier kommen Zehnerpotenzen ("Zehnerpotenzen") ins Spiel. Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 1010, also 10n10^n, wobei nn eine ganze Zahl ist. Auch diese Potenzen haben viele Nullen, z.B.

104=10000103=1000102=100101=10100=110−1=0.110−2=0.0110−3=0.00110−4=0.000110100=10...0⏟10010−100=0.0...0⏟991\begin{array}{lll} 10^4 = & 10000\\ 10^3 = & 1000\\ 10^2 = & 100\\ 10^1 = & 10\\ \mathbf{10^0 =} & \mathbf{1}\\ 10^{-1} = & 0.1\\ 10^{-2} = & 0.01\\ 10^{-3} = & 0.001\\ 10^{-4} = & 0.0001\\ &\\ 10^{100}= & 1\underbrace{0...0}_{100}\\ 10^{-100}= & 0.\underbrace{0...0}_{99}1 \end{array}

Einige dieser Zehnerpotenzen haben sogar spezielle Namen, z. B.

Wie helfen Zehnerpotenzen bei unserem Problem der Darstellung sehr grosser oder sehr kleiner Zahlen? Nun, nehmen wir zum Beispiel die beiden Zahlen 2400024000 und 0.000240.00024. Diese beiden Zahlen können mit Hilfe von Zehnerpotenzen auf folgende Weise geschrieben werden (wissenschaftliche Notation genannt):

24000=2.4⋅10000=2.4⋅10424000 = 2.4 \cdot 10000 = 2.4 \cdot 10^4 0.00024=2.4⋅0.0001=2.4⋅10−40.00024 = 2.4 \cdot 0.0001 = 2.4 \cdot 10^{-4}

Beachte, dass die Zahl 2400024000 auch wie folgt hätte schreiben können:

24000=24⋅1000=24⋅10324000 = 24 \cdot 1000 = 24 \cdot 10^3

oder auch so:

24000=0.24⋅100000=0.24⋅10524000 = 0.24 \cdot 100000 = 0.24 \cdot 10^5

aber dies wird nicht wissenschaftliche Notation genannt, weil die Zahl vor der Zehnerpotenz (der Koeffizient) nicht zwischen 11 und 1010 liegt. Hier ist die formale Definition:

Definition 1

die wissenschaftliche Notation einer Zahl hat die Form

c⋅10nc\cdot 10^n

oder

c⋅10−nc\cdot 10^{-n}

wobei der Koeffizient cc eine reelle Zahl zwischen 11 und 1010 ist (genauer: c∈[1,10[)c\in [1,10[)) und n∈0,1,2,...n\in {0,1,2,...}.

Um die wissenschafltiche Notation einer Uahl zu finden, beachte, dass nn angibt, um wie viele Schritte man den Dezimalpunkt nach links oder rechts verschieben muss. Zum Beispiel,

24000.0=2400.00⋅101 (step 1)=240.000⋅102 (step 2)=24.0000⋅103 (step 3)=2.40000⋅104 (step 4)0.00024=00.0024⋅10−1 (step 1)=000.024⋅10−2 (step 2)=0000.24⋅10−3 (step 3)=00002.4⋅10−4 (step 4)\begin{array}{lll} 24000\mathbf{.}0 & = & 2400\mathbf{.}00\cdot 10^1 \text{ (step 1)}\\ & = & 240\mathbf{.}000 \cdot 10^2 \text{ (step 2)}\\ & = & 24\mathbf{.}0000 \cdot 10^3 \text{ (step 3)}\\ & = & 2\mathbf{.}40000 \cdot 10^4 \text{ (step 4)}\\ &\\ 0\mathbf{.}00024 &= & 00\mathbf{.}0024\cdot 10^{-1} \text{ (step 1)}\\ &= & 000\mathbf{.}024 \cdot 10^{-2} \text{ (step 2)}\\ &= & 0000\mathbf{.}24 \cdot 10^{-3} \text{ (step 3)}\\ &= & 00002\mathbf{.}4 \cdot 10^{-4} \text{ (step 4)}\\ \end{array}
Exercise 1

Schreibe die folgenden Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise:

  1. Anzahl Sterne im Universum:

    100000000000000000000000.0100000000000000000000000.0

  2. Durchmesser des Universums:

    880000000000000000000000.0km880000000000000000000000.0 km

  3. Masse des Universums:

    150000000000000000000000000000000000000000000000000000.0150000000000000000000000000000000000000000000000000000.0

  4. Atom Radius:

    0.0000000003m0.0000000003 m

  5. Atom Masse

    0.00000000000000000000000016605kg0.00000000000000000000000016605 kg
Solution
  1. 1⋅10231\cdot 10^{23}
  2. 8.8⋅1023km8.8 \cdot 10^{23} km
  3. 1.5⋅1053kg1.5\cdot 10^{53} kg
  4. 3⋅10−10m3 \cdot 10^{-10} m
  5. 1.6605⋅10−25kg1.6605\cdot 10^{-25} kg
Exercise 2

Schreibe in wissenschaftlicher Notation:

  1. 4034000040340000

  2. 291000291000

  3. 345.1345.1

  4. 55

  5. 0.0003020.000302

  6. 0.000012340.00001234

Solution
  1. 40340000.0=4.034⋅107‾40340000.0=\underline{4.034\cdot 10^{7}}
  2. 291000.0=2.91⋅105‾291000.0=\underline{2.91\cdot 10^{5}}
  3. 345.1=3.451⋅102‾345.1 = \underline{3.451\cdot 10^2}
  4. 5=5⋅100‾5 = \underline{5\cdot 10^0}
  5. 0.000302=3.02⋅10−4‾0.000302 = \underline{3.02\cdot 10^{-4}}
  6. 0.00001234=1.234⋅10−5‾0.00001234 = \underline{1.234\cdot 10^{-5}}
Exercise 3

Schreibe als Dezimalzahl:

  1. 3.232⋅1053.232\cdot 10^5

  2. 3.232⋅10−53.232\cdot 10^{-5}

  3. 2.03005⋅1032.03005 \cdot 10^{3}

  4. 2.03005⋅10−32.03005 \cdot 10^{-3}

  5. 2⋅1020⋅1.4⋅10−192\cdot 10^{20} \cdot 1.4\cdot 10^{-19}

Solution
  1. 3.2320000⋅105=323200.00=323 200‾3.2320000\cdot 10^5 = 323200.00=\underline{323\,200}
  2. 000003.232⋅10−5=0.00003232‾000003.232\cdot 10^{-5} = \underline{0.00003232}
  3. 2.03005⋅103=2030.05‾2.03005 \cdot 10^{3} = \underline{2030.05}
  4. 2.03005⋅10−3=0.00203005‾2.03005 \cdot 10^{-3} = \underline{0.00203005}
  5. 2⋅1020⋅1.4⋅10−19=2⋅1.4⋅1020−19=28‾2\cdot 10^{20} \cdot 1.4\cdot 10^{-19} = 2\cdot 1.4\cdot 10^{20-19}=\underline{28}.

Beachte, dass durch Umformung in die wissenschaftliche Schreibweise die Multiplikation oder Division grossen oder kleinen Zahlen wesentlich einfacher wird (mit Hilfe der Potenzregeln).

Example 3

Multipliziere die Zahlen 13000001300000 und 0.00000030.0000003. Wir formen zuerst um:

1300000=1.3⋅1061300000 = 1.3 \cdot 10^6

und

0.0000003=3⋅10−70.0000003 = 3\cdot 10^{-7}

und somit haben wir

1300000⋅0.0000003=1.3⋅106⋅3⋅10−7=1.3⋅3⋅106⋅10−7=3.9⋅10−1=0.39\begin{array}{ccl} 1300000\cdot 0.0000003&=&1.3 \cdot 10^6\cdot 3\cdot 10^{-7}\\ & =& 1.3\cdot 3\cdot 10^{6}\cdot 10^{-7}\\ &=& 3.9\cdot 10^{-1}\\ &=& 0.39 \end{array}

Brauche diesen Trick für die folgenden Aufgaben.

Exercise 4

  1. Aus wie vielen Atomen besteht ungefähr ein menschlicher Körper mit der Masse 70kg70 kg? Hinweis: Nimm an, alle Atome haben die selbe Masse mam_a, und zwar so wie in den obigen Beispielen angegeben.

  2. Bestimme das geometrische Mittel der Masse der Sonne und der Masse eines Protons (unten angegeben). Hinweis: das geometrische Mittel zweier Zahlen aa und bb ist ab\sqrt{ab}.

    ms=1989000000000000000000000000000 kgm_s=1 989 000 000 000 000 000 000 000 000 000\, kg mp=0.0000000000000000000000000016726 kgm_p=0.0000000000000000000000000016726\, kg
Solution
  1. Die Anzahl Atome im Körper ist 70ma=701.6605⋅10−25=701.6605⋅110−25=701.6605⋅1025=42.15⋅1025=4.215⋅10⋅1025=4.215⋅1026‾\begin{array}{ccl} \frac{70}{m_a}&=&\frac{70}{1.6605\cdot 10^{-25}}\\[0.3em] & = &\frac{70}{1.6605}\cdot \frac{1}{10^{-25}}\\[0.3em] & = & \frac{70}{1.6605} \cdot 10^{25}\\[0.3em] & = & 42.15 \cdot 10^{25}\\[0.2em] & = & 4.215\cdot 10 \cdot 10^{25}\\[0.2em] & = & \underline{4.215\cdot 10^{26}} \end{array}
  2. Es ist ms=1989000000000000000000000000000.0kg=1.989⋅1030 kgm_s=1989000000000000000000000000000.0 kg = 1.989\cdot 10^{30}\, kg und mp=0.0000000000000000000000000016726kg=1.6726⋅10−27 kgm_p=0.0000000000000000000000000016726 kg = 1.6726\cdot 10^{-27}\, kg Also ms⋅mp=1.989⋅1030⋅1.6726⋅10−27=1.989⋅1.6726⋅1030⋅10−27=3.327⋅103\begin{array}{ccl} m_s\cdot m_p &=& 1.989\cdot 10^{30}\cdot 1.6726\cdot 10^{-27} \\ &=&1.989\cdot 1.6726 \cdot 10^{30}\cdot 10^{-27}\\ &=&3.327\cdot 10^3 \end{array} Das geometrische Mittel ist somit 3.327⋅103=57.67kg‾\sqrt{3.327\cdot 10^3}=\underline{57.67 kg} (also ungefähr die Masse eines Menschen ... hmmm).
Exercise 5

Rechne in die gegebene Einheit um und stelle das Ergebnis in in wissenschaftlicher Notation dar.

  1. 1.31.3 Gigabyte in Bytes

  2. 0.7620.762 Mikrometer in Meter

  3. 0.1020.102 g in Kilogramm

  4. 10200001020000 km in Meter

Solution
  1. 1.31.3 Gigabyte = 1.3⋅109‾\underline{1.3 \cdot 10^9} Bytes
  2. 0.7620.762 Mikrometer = 0.762⋅10−6m=7.62⋅10−1⋅10−6m=7.62⋅10−7m‾0.762\cdot 10^{-6} m = 7.62\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-6} m = \underline{7.62\cdot 10^{-7} m}
  3. 0.1020.102 g = 0.102⋅10−3kg=1.02⋅10−1⋅10−3kg=1.02⋅10−4kg‾0.102 \cdot 10^{-3} kg = 1.02 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} kg = \underline{1.02 \cdot 10^{-4} kg}
  4. 10200001020000 km = 1020000.0⋅103m=1.02⋅106⋅103m=1.02⋅109m‾1020000.0 \cdot 10^3 m =1.02\cdot 10^6 \cdot 10^3 m = \underline{1.02 \cdot 10^9 m}