Die orientierte Fläche

Bisher haben wir Beispiele betrachtet, bei denen der Graph immer oberhalb der xx-Achse lag. Wir diskutieren nun den Fall, in dem der Graph unterhalb der xx-Achse verläuft. Siehe dazu den den unten abgebildeten Graphen einer Funktion ff.

Beachte, dass es nun zutreffender ist, von der Region zwischen dem Graphen von ff und der xx-Achse zu sprechen. Falls wir einen Graphen haben, der manchmal oberhalb der xx-Achse und manchmal unterhalb der xx-Achse liegt, erhalten wir Teilregionen (siehe Bild unten). Im Beispiel unten seien die Flächen dieser Teilregionen 33, 44 und 22.

Um also die Fläche zwischen dem Graphen von ff und der xx-Achse zu finden, müssen wir die Flächen der einzelnen Teilbereiche bestimmen und diese addieren (siehe Bild oben, links):

Af=3+4+2=9A_f= 3+4+2=9

Manchmal wollen wir aber die Teilregionen unterhalb der xx-Achse negativ zählen (es gibt viele Beispiele in der Physik, bei denen das sinnvoll ist). Siehe Bild oben, rechts. In diesem Fall kann die Summe der Flächen aller Teilbereiche negativ, positiv oder sogar Null sein. In unserem Beispiel gilt:

Af=3−4+2=1A_f= 3-4+2=1

Diese Fläche, bestehend aus der Summe von positiven und negativen Teilflächen, wird als orientierte Fläche (oder orientierter Flächeninhalt) bezeichnet.

Der Bereich zwischen einem Graphen ff und der xx-Achse kann also zwei verschiedene Flächeninhalte haben: den (normale) Flächeninhalt und den orientierte Flächeninhalt. Welcher dieser Bereiche uns interessiert, aus wir bestimmen müssen, wird oft explizit in der Aufgabenstellung angegeben oder wird aus der Situation klar.

Exercise 1

Bestimme den orientierten Flächeninhalt der Region zwischen dem Graphen von ff und der xx-Achse:

  1. f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x), wobei −π≤x≤π-\pi \leq x\leq \pi.
  2. f(x)=4x3f(x)=4x^3, wobei −2≤x≤2-2 \leq x\leq 2.

Hinweis: Skizziere zuerst die Fläche.

Solution

Zeichne den Graphen! Aus Symmetrie Gründen gilt in beiden Fällen, dass der orientierte Flächeninhalt 00, weil beide Teilgebiete die gleiche Grösse haben (die wir noch nicht kennen), aber der eine positiv, der andere negativ gezählt wird.

Exercise 2

Gegeben sei die Funktion

f(x)=(x−3)2−2.25f(x)=(x-3)^2-2.25

Betrachte den Bereich zwischen dem Graphen von ff für 0≤x≤60\leq x\leq 6 und der xx-Achse eingeschlossen ist (graue Fläche in der Skizze unten).

  1. Bestimme eine Approximation des Flächeninhalts durch die Summe von 6 Balkenflächen:

    Af≈∑k=16f(xk)ΔxA_f \approx \sum_{k=1}^6 f(x_k)\Delta x

  2. Approximiert die obige Summe den normalen oder den orientierten Flächeninhalt?

Solution

  1. Es ist

    Af≈f(1)⋅1+f(2)⋅1+f(3)⋅1+f(4)⋅1+f(5)⋅1+f(6)⋅1=1.75−1.25−2.25−1.25+1.75+6.75=5.5‾\begin{array}{lll} A_f &\approx & f(1)\cdot 1 + f(2)\cdot 1 + f(3)\cdot 1 + f(4)\cdot 1 + f(5)\cdot 1 + f(6)\cdot 1\\ & = & 1.75-1.25-2.25-1.25+1.75+6.75\\ &=& \underline{5.5} \end{array}

  2. Für f(xk)<0f(x_k)<0 ist die Balkenfläche f(xk)Δxf(x_k)\Delta x negativ. Es wird also der orientierte Flächeninhalt approximiert.