Exakte Berechnung der orientierten Fläche

Gegeben ist ein Bereich von $a$ bis $b$ zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse. Wir wissen, wie man eine Näherung der orientierten Fläche mit Hilfe von $n$ Balken gleicher Breite finden kann:

A_f \approx \underbrace{\sum_{k=1}^n}_{Summe} \underbrace{\overbrace{f(x_k)}^{Höhe}\overbrace{\Delta x}^{Breite}}_{Balkenfläche}

$A_f$ ist die exakte orientierte Fläche, und die rechte Seite die Summe der Balkenflächen, wobei gilt:

$\Delta x$ ist die Breite der Balken: $\Delta x=\frac{b-a}{n}$
$x_k$ ist die Position der rechten Seite des $k$ -ten Balkens auf der $x$ -Achse
$f(x_k)$ ist die Höhe des $k$ -ten Balkens
$f(x_k)\Delta x$ ist also die Fläche des $k$ -ten Balkens

Je mehr Balken wir nehmen, desto dünner werden die Balken, weil sie alle in das Intervall von $a$ bis $b$ passen müssen. Das sieht man auch, wenn man die Formel zur Berechnung der Breite betrachtet

\Delta x=\frac{b-a}{n}

Und wenn wir den Bereich unterhalb der Kurve mit dünneren Balken abdecken, wird die Summe ihrer Balkenflächen die exakte Fläche $A_f$ besser approximieren. Siehe dazu die Animation unten.

Open in GeoGebra

Die in der obigen App verwendete Funktion ist

f(x)=(x-3)^2-2.25

und der Bereich, den wir betrachten, liegt zwischen $a=0$ und $b=6$ . Bewege den Schieberegler nach rechts, um die Anzahl der Balken $n$ zu erhöhen. Beobachte, wie sich die Summe der Balken einem bestimmten Wert (hier $4.5$ ) nähert, wenn wir immer mehr Balken verwenden, d.h. wenn wir $n$ gegen unendlich gehen lassen (und die Balkenbreite gegen 0). Dieser spezifische Wert wird mit

\int_a^b f(x)\,dx

bezeichnet, und wird das Integral von f von a nach b genannt. Mit dieser Notation können wir schreiben:

\boxed{\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x}

und um anzuzeigen, dass das Integral der Wert ist, gegen den die Summe der Balken für $n\rightarrow \infty$ konvergiert, schreiben wir

\boxed{\sum_{k=1} f(x_k)\Delta x \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)dx}

Die Notation $\int_a^b f(x)\,dx$ ist übrigens recht intuitiv. Sie beschreibt die Summe von unendlich vielen Balkenflächen, wobei die Balken eine unendlich kleine Breite $dx$ haben:

\underbrace{\int_a^b}_{sum} \underbrace{\overbrace{f(x)}^{Höhe}\, \overbrace{dx}^{Breite}}_{Balkenfläche}

Im Gegensatz zu $\Delta x$ gibt es jedoch keinen Wert, der mit $dx$ assoziiert ist ... er ist einfach "unendlich klein", das heisst, $dx$ ist grösser als Null, aber kleiner als jede positive Zahl (hmm...). Natürlich gibt es über $dx$ eine Menge zu sagen, aber wir werden nicht in diese Diskussion einsteigen.

Die Werte $a$ und $b$ werden die Integrationsgrenzen genannt. Die niedrigere Zahl steht immer unten beim Symbol $\int$ , die höhere Zahl oben.

Es ist ziemlich klar, wenn wir mit der obigen App herumspielen, dass für wachsendes $n$ die Balken die Region immer genauer überdecken. Die Summe der Balken strebt also gegen den orientierten Flächeninhalt $A_f$ . Wir können also schreiben:

\boxed{\begin{array}{lll}A_f &\approx&\sum_{k=1}^n f(x_k)\,\Delta x\\[0.5em] && \Downarrow n\rightarrow \infty\\[0.5em] A_f &=& \int_a^b f(x)\,dx\end{array}}

Exercise 1

Zeichne den Graphen und gib den Bereich an, der durch das Integral bestimmt wird.

$\int_{-2}^3 (x+1)\, dx$
$\int_{4}^9 \sqrt{x}\, dx$
$\int_{-1}^{1.5} (x^2-1)\, dx$

Solution

Wir wissen nun also, wie wir die exakte orientierte Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse finden können. Aber natürlich haben wir immer noch ein Problem: Wir müssen dazu eine riesige Anzahl von Zahlen addieren. Wenn wir zum Beispiel $10\,000$ Balken verwenden, müssen wir $10\,000$ Balkenflächen addieren ... wie können wir so viele Zahlen addieren? Und wir müssen nicht nur die Balkensumme für $10\,000$ Balken finden, sondern für $n$ Balken, wobei $n\rightarrow \infty$ .

Wir hatten ein ähnliches Problem, als wir die Steigung der Tangente bestimmen wollten. Dort mussten die Steigung von vielen Sekanten bestimmen, um die Tangentensteigung zu finden. Dies mussten wir zuerst auf die harte Tour machen, bevor wir schöne Differentialregeln gefunden haben, welche das Ganze vereinfachten. Das werden wir auch hier tun - zuerst die harte Methode, dann die eleganten Integrationsregeln!

Hier ist ein Beispiel.

Example 1

Betrachte die Region zwischen dem Graphen von $f(x)=3x$ und der $x$ -Achse, wobei $a=0$ und $b=3$ . Wir wollen den genauen (orientierten) Flächeninhalt $A_f=\int_0^3 3x\, dx$ dieser Region finden.

Approximiere $\int_0^3 3x\, dx$ mit $n$ Balken und finde eine Formel für die Summe der $n$ Balken. Hinweis: Du brauchst eine der berühmten Summen, siehe Abschnitt 25.
Lass $n$ gegen unendlich gehen und finde den genauen Wert $\int_0^3 3x\,dx$ .
Bestimme den genauen Flächeninhalt $A_f$ mit geometrischen Mitteln und vergleiche mit dem obigen Ergebnis.

Solution

Für $n$ Balken haben wir

\Delta x = \frac{3-0}{n}=\frac{3}{n}

Es ist

x_1=\frac{3}{n}, x_2=\frac{6}{n}, x_3=\frac{9}{n}, ..., x_n=\frac{3n}{n}=3

f(x_1)=\frac{9}{n}, f(x_2)=\frac{18}{n}, f(x_3)=\frac{27}{n}..., f(x_n)=\frac{9n}{n}=9

Approximieren wir $\int_0^3 3x\, dx$ mit $n$ Balken, erhalten wir
$\begin{array}{lll} \int_0^3 3x\, dx &\approx & \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x \\[0.1em] & = & \frac{9}{n}\cdot\frac{3}{n}+\frac{18}{n}\cdot\frac{3}{n}+\frac{27}{n}\cdot\frac{3}{n}+...+\frac{9n}{n}\cdot \frac{3}{n}\\[0.1em] &=& \frac{27}{n^2}+\frac{54}{n^2}+\frac{81}{n^2}+...+\frac{27n}{n^2}\\[0.1em] &=& \frac{1}{n^2}(27+54+81+...+27n)\\[0.1em] &=& \frac{27}{n^2}(\underbrace{1+2+3+...+n}_{\frac{n(n+1)}{2}})\\[0.1em] &=& \frac{27}{n^2}\frac{n^2+n}{2}\\[0.1em] &=& \frac{27}{2}\frac{n^2+n}{n^2}\\[0.1em] &=& 13.5\cdot (\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2})\\[0.1em] &=& 13.5\cdot (1+\frac{1}{n})\\[0.1em] \end{array}$
Beachte, dass wir die Summenformel
$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
verwendet haben (siehe Kapitel 25, Aufgabe 2).
Falls $n\rightarrow \infty$ so sehen wir, dass gelten muss
$\int_0^3 3x\, dx = 13.5\cdot (1+0)= \underline{13.5}$
Dies ist $A_f$ .
Der Bereich ist ein Dreieck mit Basis $3$ und Höhe $f(3)=9$ . Die Fläche ist somit
$\frac{3\cdot 9}{2} = \underline{13.5}$

Exercise 2

Bestimme

\int_0^1 x^2\, dx

mit Hilfe der Summe von Balkenflächen.

Solution

Wir bilden die Summe von $n$ Balken, um die Fläche zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen von $f$ zu approximieren, wobei $a=0$ und $b=1$ ist. Mit

\Delta x = \frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}

haben wir

x_1=\frac{1}{n}, x_2=\frac{2}{n}, x_3=\frac{3}{n}, ..., x_n=\frac{n}{n}=1

f(x_1)=\frac{1^2}{n^2}, f(x_2)=\frac{2^2}{n^2}, f(x_3)=\frac{3^2}{n^2}, ..., f(x_n)=\frac{n^2}{n^2}

und somit

\begin{array}{lll} \int_0^1 x^2\,dx &\approx& \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x \\[0.1em] & =& f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x +f(x_3)\Delta x + ...+ f(x_n)\Delta x \\[0.1em] & = & \left(\frac{1}{n}\right)^2 \frac{1}{n}+\left(\frac{2}{n}\right)^2 \frac{1}{n}+\left(\frac{3}{n}\right)^2 \frac{1}{n}+...+\left(\frac{n}{n}\right)^2 \frac{1}{n}\\[0.1em] & = & \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+...+\frac{n^2}{n^3}\\[0.1em] & = & \frac{1}{n^3} (\underbrace{1^2 +2^2+3^2+...+n^2}_{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}})\\[0.1em] &=& \frac{n(n+1)(2n+1)}{6 n^3}\\[0.1em] &=& \frac{(n^2+n)(2n+1)}{6 n^3}\\[0.1em] &=& \frac{2n^3+3n^2+n}{6 n^3}\\[0.1em] &=& \frac{2n^3}{6 n^3}+\frac{3n^2}{6 n^3}+\frac{n}{6 n^3}\\[0.1em] &=& \frac{1}{3}+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{6 n^2} \end{array}

Beachte, dass wir eine Formel verwendet haben, um die ersten $n$ Quadratzahlen zu finden (siehe Abschnitt 25):

1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Für $n\rightarrow \infty$ bekommen wir

\int_0^1 x^2\,dx =\frac{1}{3}+0+0=\underline{\frac{1}{3}}