Annäherung der Fläche unter der Kurve

Wie finden wir nun den Flächeninhalt der Region von $a$ bis $b$ unterhalb des Graphen einer Funktion $f$? Bezeichnen wir diesen Bereich mit

Es gibt tatsächlich ein allgemeines Verfahren, um $A_f$ zu finden. Die Idee ist, zuerst eine Annäherung an die Fläche zu finden, dann bilden wir immer bessere Näherungen, bis wir sehen, gegen welche Werte diese Näherungen konvergieren. Und dieser Wert muss die Fläche sein, die wir suchen. Der analoge Schritt in der Differentialrechnung war, mit Hilfe der Sekanten immer bessere Näherungen für die Steigung der Tangente zu finden. Die Steigung der Tangente war dann die Zahl, gegen die die Steigung der Sekanten konvergierte.

Um die Sache konkret zu halten, kehren wir zu unserem Beispiel zurück, in dem wir die Fläche von $a=0.1$ bis $b=3$ unter dem Graphen der Funktion finden wollen

Somit ist $A_f$ die Fläche des schattierten Bereichs in der Abbildung unten. Die Abbildung zeigt auch, wie wir eine Näherung für diese Fläche finden können. Wir bedecken die Fläche einfach mit vielen vertikale Balken gleicher Breite und addieren die Flächen dieser Balken. Wenn wir $n$ Balken nehmen, und die Balkenflächen mit $A_1, ..., A_n$ bezeichnet werden, haben wir also

Die Summe auf der rechten Seite nennen wir die Summe der Balkenflächen. Wir wollen nun besprechen, wie man die Balkenflächen $A_1, ..., A_n$ findet.

Wir müssen zunächst besprechen, wie wir die Balken tatsächlich konstruiert haben, damit wir ihre Breite und Höhe ermitteln können. Erst dann können wir fortfahren, die Flächen dieser Balken zu berechnen.

• Wir wollen, dass jeder Balken die gleiche Breite hat, die wir mit

  $$\boxed{\Delta x}$$

• Die Breite der Balken wird durch die Anzahl der Balken $n$ bestimmt, die wir verwenden. Dies ist so, weil die Balken bei $a$ beginnen und bei $b$ enden müssen, was eine Länge von $b-a$ ist. Wir müssen also diese Länge in $n$ gleiche Teile aufteilen, von denen jeder die Basis eines Balkens bildet. Die Breite eines jeden Balkens ergibt sich also aus der Formel

  $$\boxed{\Delta x =\frac{b-a}{n}}$$

  Im Beispiel müssen die $4$-Balken in das Intervall der Länge $3-0.1$ passen, und für die Breite $\Delta x$ jedes Balkens muss gelten, dass $4\cdot \Delta x=3-0.1$, und somit haben wir

  $$\Delta x =\frac{3-0.1}{4}=0.725$$

• Die Höhe eines Balkens wird durch seinen rechten Rand bestimmt. Dieser Rand muss auf dem Graphen von $f$ enden. Beachten Sie, dass wir wissen, wo auf der $x$-Achse jeder Balken seinen rechten Rand hat:

  $$\boxed{\begin{array}{lll} \text{bar } 1 : & x_1 = a+1\cdot \Delta x\\ \text{bar } 2 : & x_2 = a+2\cdot \Delta x\\ ... & \\ \text{bar } k : & x_k = a+k\cdot \Delta x\\ ... & \\ \text{bar } n : & x_n = a+n\cdot \Delta x = b\\ \end{array}}$$

  Für das Beispiel haben wir

  $$\begin{array}{l} \text{bar } 1 : & x_1 = 0.1+1\cdot 0.725 =0.825\\ \text{bar } 2 : & x_2 = 0.1+2\cdot 0.725 = 1.55\\ \text{bar } 3 : & x_3 = 0.1+3\cdot 0.725 = 2.275\\ \text{bar } 4 : & x_4 = 0.1+4\cdot 0.725 = 3\\ \end{array}$$

  Wir können also auch die Höhe der einzelnen Balken berechnen:

  $$\boxed{\begin{array}{lll} \text{bar } 1 : & h_1 = f(x_1)\\ \text{bar } 2 : & h_2 = f(x_2)\\ ... & \\ \text{bar } k : & h_k = f(x_k)\\ ... & & \\ \text{bar } n : & h_n = f(x_n)=f(b)\\ \end{array}}$$

  Für das Beispiel haben wir

  $$\begin{array}{lll} \text{bar } 1: & h_1 = f(0.825)=\frac{1}{4}\cdot0.825^2+\frac{1}{2}=0.670\\ \text{bar } 2 : & h_2 = f(1.55)=\frac{1}{4}\cdot1.55^2+\frac{1}{2}=1.100\\ \text{bar } 3 : & h_3 = f(2.275)=\frac{1}{4}\cdot2.275^2+\frac{1}{2}=1.794\\ \text{bar } 4 : & h_4 = f(3)=\frac{1}{4}\cdot 3^2+\frac{1}{2}=2.25\\ \end{array}$$

• Damit können wir die Fläche jedes Balkens bestimmen:

  $$\boxed{\begin{array}{lll} \text{bar } 1 : & A_1 = f(x_1)\cdot \Delta x\\ \text{bar } 2 : & A_2 = f(x_2)\cdot \Delta x\\ ... & \\ \text{bar } k : & A_k = f(x_k)\cdot \Delta x\\ ... & & \\ \text{bar } n : & A_n = f(x_n)\cdot \Delta x=f(b)\cdot \Delta x\\ \end{array}}$$

  Für das Beispiel haben wir

  $$\begin{array}{lll} \text{bar } 1: & A_1 = f(0.825)\cdot \Delta x = 0.67 \cdot 0.725=0.485\\ \text{bar } 2: & A_2 = f(1.55)\cdot \Delta x = 1.10 \cdot 0.725=0.798\\ \text{bar } 3: & A_3 = f(2.275)\cdot \Delta x = 1.79 \cdot 0.725=1.300\\ \text{bar } 4: & A_4 = f(3)\cdot \Delta x = 2.25 \cdot 0.725=1.994\\ \end{array}$$

• Schliesslich können wir die Summe der Balkenflächen bilden, was eine Näherung von $A_f$ ist.

  $$\boxed{\begin{array}{lll} A_f & \approx \sum_{k=1}^n \underbrace{f(x_k)\Delta x}_{A_k}\\ A_f & \approx \underbrace{f(x_1)\Delta x}_{A_1}+ ... + \underbrace{f(x_n)\Delta x}_{A_n}\\ \end{array}}$$

  Für das Beispiel haben wir

  $$\begin{array}{lll} A_f & \approx f(0.825)\cdot \Delta x + f(1.55)\cdot \Delta x + f(2.275)\cdot \Delta x + f(3)\cdot \Delta x\\ & = 0.485+0.798+1.300+1.994\\ & = 4.577 \end{array}$$

Exercise 1

F1

Bestimme mit $n$ Balken näherungsweise den Flächeninhalt des Bereichs von $a$ bis $b$ unter dem Graphen der Funktion $f$. Ausserdem

• berechne, wenn möglich, den genauen Flächeninhalt und vergleiche ihn mit der Näherung (siehe auch Abschnitt 27).
• Erstelle immer eine Skizze und zeichne die Balken ein.

1. $f(x)=3$ für alle $x$ (konstante Funktion), $a=0.5, b=4, n=7$.
2. $f(x)=0.5x+1, a=-1, b=3, n=4$.
3. $f(x)=\sqrt{1-x^2}, a=-1, b=1, n=5$.
4. $f(x)=x^2$, $a=0$, $b=2$, $n=3$
5. $f(x)=\frac{2}{x}$, $a=1$, $b=2$, $n=2$

F2

Approximiere mit $100$-Balken die Fläche von $a=0$ bis $b=1$ unter dem Graphen der Funktion $f(x)=x^2$. Hinweis: Sie benötigen eine Summenformel, die wir in Abschnitt 25 besprochen haben.

F3

Ein Auto bewegt sich entlang einer Geraden. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $x$ kann durch eine Funktion $f(x)$ beschrieben werden. Wir approximieren die Fläche vom Zeitpunkt $a$ bis zum Zeitpunkt $b$ unter dem Graphen von $f$ mit $n$ Balken. Was ist in diesem Zusammenhang die Bedeutung der Summe der Balkenflächen

$$\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x ?$$

Was ist somit die Bedeutung der Fläche unter der Kurve $f$?

Solution

A1

Die Graphen sind unten dargestellt.

1. $\Delta x =\frac{4-0.5}{7}=0.5$

   $x_1=1, x_2=1.5, x_3=2, x_4=2.5, x_5=3, x_6=3.5, x_7=4$

   $\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^7 f(x_k)\Delta x & = f(1)\cdot 0.5+ f(1.5)\cdot 0.5+...+f(4)\cdot 0.5\\ & = 1.5+1.5+1.5+1.5+1.5+1.5+1.5\\ & = \underline{10.5}\\ \end{array}$

   $A_f=3.5\cdot 3=\underline{10.5}$ (siehe Übung im vorherigen Abschnitt)

2. $\Delta x =\frac{3-(-1)}{4}=1$

   $x_1=0, x_2=1, x_3=2, x_4=3$

   $\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^4 f(x_k)\Delta x & = f(0)\cdot 1+ f(1)\cdot 1+f(2)\cdot 1+f(3)\cdot 1\\ & =1+1.5+2+2.5\\ & =\underline{7}\\ \end{array}$

   $A_f=\underline{7}$ (siehe Übung im vorherigen Abschnitt).

3. $\Delta x =\frac{1-(-1)}{5}=0.4$

   $x_1=-0.6, x_2=-0.2, x_3=0.2, x_4=0.6, x_5=1$

   $\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^5 f(x_k)\Delta x & = f(-0.6)\cdot 0.4+ f(-0.2)\cdot 0.4+f(0.2)\cdot 0.4+f(0.6)\cdot 0.4+f(1)\cdot 0.4\\ & = 0.32+0.39+0.39+0.32+0\\ & =\underline{1.42}\\ \end{array}$

   $A_f=\frac{\pi}{2}=\underline{1.57...}$ (siehe Übung im vorherigen Abschnitt).

4. $\Delta x =\frac{2-0}{3}=\frac{2}{3}$

   $x_1=\frac{2}{3}, x_2=\frac{4}{3}, x_3=2$

   $\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^3 f(x_k)\Delta x & = f(\frac{2}{3})\cdot \frac{2}{3}+ f(\frac{4}{3})\cdot \frac{2}{3}+f(2)\cdot \frac{2}{3}\\ & =\frac{8}{27}+\frac{32}{27}+\frac{72}{27}\\ & =\frac{112}{27}=\underline{4.15}\\ \end{array}$

   ($A_f=\underline{2.\overline{6}}$, aber Sie wissen noch nicht, wie man das berechnet).

5. $\Delta x =\frac{2-1}{2}=0.5$ $x_1=1.5, x_2=2$

   $\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^2 f(x_k)\Delta x & = f(1.5)\cdot 0.5+ f(2)\cdot 0.5\\ & =\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\underline{1.1\overline{6}}\\ \end{array}$

   ($A_f=\underline{1.386...}$, aber Sie wissen noch nicht, wie man das berechnet)

A2

Wir haben

$$\Delta x = \frac{1-0}{100}=\frac{1}{100}$$

Daraus folgt,

$$\begin{array}{lll} x_1 =& \frac{1}{100} \\ x_2 =& \frac{2}{100} \\ x_3 =& \frac{3}{100} \\ ...& \\ x_{100} =& \frac{100}{100}=1 \\ \end{array}$$

und somit

$$\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x & =& f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x +f(x_3)\Delta x + ...+ f(x_n)\Delta x \\ & = & \left(\frac{1}{100}\right)^2 \frac{1}{100}+\left(\frac{2}{100}\right)^2 \frac{1}{100}+\left(\frac{3}{100}\right)^2 \frac{1}{100}+...+\left(\frac{100}{100}\right)^2 \frac{1}{100}\\ & = & \frac{1^2}{100^3} + \frac{2^2}{100^3}+\frac{3^2}{100^3}+...+\frac{100^2}{100^3}\\ & = & \frac{1}{100^3} (1^2 +2^2+3^2+...+100^2)\\ \end{array}$$

Beachten Sie, dass wir eine Formel zum Finden der ersten $n$-Quadratzahlen haben (siehe Abschnitt 25):

$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Für $n=100$ erhalten wir

$$1^2+2^2+3^2+...+100^2=\frac{100\cdot 101 \cdot 201}{6}=338350$$

Die Summe der Balken ist also

$$\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \frac{338350}{100^3}=\underline{0.33835}$$

Der genaue Flächeninhalt ist übrigens $\frac{1}{3}$, aber Sie wissen momentan nicht, wie man das berechnet.

A3

Jede Balkenfläche ist das Produkt aus einer Geschwindigkeit $f(x)$ und einer Zeit $\Delta x$, also ist jede Balkenfläche die gefahrene Strecke, die das Auto in der Zeit $\Delta x$ zurückgelegt hat (zumindest eine Näherung davon). Die Summe der Balken zwischen den Zeitpunkten $a$ und $b$ ist also die näherungsweise zurückgelegte Strecke im Zeitintervall von $a$ bis $b$.