Von der logistischen Funktion zur Mandelbrotmenge

Sensibilität von frf_r gegenüber den Startwerten

Zuerst gleisen wir wiederum die logistische Funktion auf und rekapitulieren die wichtigsten Facts.

Attraktorwerte von frf_r

Wir haben also noch durch obigen Satz so was wie ein "sicheres" Attraktorintervall

Ir:=(12−12r,12+12r)I_r := \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2r},\frac{1}{2}+\frac{1}{2r}\right)

erhalten.

𝐼𝑛=(0.142857,0.857143)𝐼_𝑛 = (0.142857,0.857143) 1+6≈3.449489742783181+\sqrt{6} \approx 3.44948974278318

Den Attraktorbereich der Fixpunkte der Periode 22 kann man sich auf Wunsch noch mal in Youtube auf gym math zu Gemüte führen:

Attraktoren von frf_r.

Was passiert für r>3r>3?

Klar ist, dass für r>3r>3 die beiden Fixpunkte nicht mehr attraktiv sind; sie sind aber natürlich nach wie vor "da". Wir kriegen also nebst xp1=0x_{p1}=0 und xp2=1−1rx_{p2}=1-\frac{1}{r} nun zusätzlich

xp3,p4=(r+1)±(r+1)(r−3)2r.x_{p3,p4} = \frac{(r+1)\pm\sqrt{(r+1)(r-3)}}{2r}.

und haben bereits gesehen, dass diese Fixpunkte für 3<r<1+63<r<1+\sqrt{6} anziehend sind. Bemerkenswert ist nun, dass die weiteren Verzweigungen (Bifurkationen) in immer kürzer werdenden Abständen stattfinden. Und, dass diese verschiedenen oberen Grenzen der Attraktivität der Ordnung kk, rkr_k, selbst einen Grenzwert haben. Es ist:

r∞:=lim⁡k→∞rk=3.569945672… .r_{\infty} := \lim_{k\to\infty}r_k = 3.569945672\dots.

Für r>r∞r>r_{\infty} hat man chaotisches Verhalten. Aber selbst in diesen Bereichen gibt es immer wieder "Fenster" der Ordnung. Zudem kann der Verlauf eines Orbits für fixes rr äusserst empfindlich gegenüber Anfangsbedingungen sein.

"Leicht" verschiedene Startwerte

Im Folgenden soll die Empfindlichkeit des zeitlichen Verlaufs der logistischen Funktion frf_r gegenüber nur minim unterschiedlichen Startwerten illustriert werden. Für gewisse rr wird nämlich das Verhalten der Iteration so zu sagen "chaotisch". Man spricht in diesem Kontext auch etwa vom "Schmetterlingseffekt". Natürlich findet man diesen Effekt nicht für alle 0<r<40<r<4, wie wir bereits wissen.

Dabei stösst man auch auf dynamische Probleme, welche analytisch anspruchsvoll sind: zum Beispiel das Doppelpendel

Das Feigenbaum-Diagramm

Jetzt möchte ich noch einen Vergleich zwischen den Werten von rr und den Fixpunktwerten illustrieren. Wers schon kennt findet das passende Youtube-Video Feigenbaumdiagramm auf gym math. Setzen wir den Plot von oben fort und suchen Fixpunkte höherer Ordnung, so ergibt sich folgendes Bild, das Feigenbaum-Diagramm genannt wird:

Ihr seht hier den kompletten Bereich 0<r<40<r<4. Grün habe ich jeweils markante Änderungen im Fixpunktverhalten hervorgehoben. Oben sind das der Übergang vom Attraktor 00 zum Attraktor 1−1r1-\frac{1}{r} bei r=1r=1, dann zum 2-Zyklus bei r=3r=3, zum 4-Zyklus bei r=1+6r=1+\sqrt{6} und etwas später zum 8-Zyklus.

Ferner, falls vom einem zum nächsten Plot ein "Zoom" erfolgt, so hab ich das Fenster in Orange angedeutet. Natürlich kann man sich auch an der Skala orientieren.

Jetzt setze ich die grünen Marker auf Fenster, in denen man 3-, 5-, 7- und 9-Zyklen beobachten kann.

Phänomenal! Da haben wir eine kleine Kopie - zumindest siehts so aus - des "grossen" Feigenbaum-Diagramms! Man spricht in diesem Zusammenhang etwa auch von Selbstähnlichkeit. Dazu vielleicht mehr im Kapitel Fraktale.

Ungerade Zyklen

Zu Beginn hatte man den Eindruck, es würden nur Zyklen der Ordnung 2k2^k existieren. Es gibt aber wie oben gesehen auch ungerade Zyklen, zum Beispiel der Ordnung 3,5,7 oder 9.

Die sind im Folgenden im Überblick mit einem Cobweb Diagramm illustriert.

Fraktale

Fraktale und die Mandelbrotmenge

Ein Fraktal ist ...

Aus Wikipedia:

Fraktal ist ein vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 geprägter Begriff (lateinisch fractus "gebrochen", von lateinisch frangere‚ (in Stücke zer-)‚brechen), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet.
Diese Gebilde oder Muster besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige Hausdorff-Dimension, sondern eine gebrochene – daher der Name – und weisen zudem einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit auf. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

Zuerst möchte ich einige Bilder zeigen, bevor wir uns dann auf die Mandelbrotmenge stürzen.

Die Koch'sche Schneeflocke

Die Sierpinski Pyramide

Der Romanesco

Das Farn

Die Mandelbrotmenge