Die harmonische Schwingung

Eine Funktion der Form

Equation 1

f(x)=A\cdot \sin{\large(}u(x-v){\large)}+b

wird harmonische Schwingung genannt. $A$ , $u$ , $v$ und $b$ sind Parameter, welche typischerweise spezifisch sind für ein gegebenes Problem. Die harmonische Schwingung kommt in der Physik oft vor und beschreibt die Position von schwingenden Objekten (im einfachsten Fall ein Pendel) als Funktion der Zeit. $x$ nimmt dann die Rolle der der Zeit ein, und $y=A\cdot \sin(u(x-v))+b$ beschreibt die Auslenkung.

Im folgenden untersuchen wir die Bedeutung der Parameter etwas genauer. Wir werden viele Parallelen zu den Parametern entdecken, die wir verwendet haben, um eine quadratische Funktion oder allgemeiner Potenzfunktionen zu verschieben und zu strecken.

Beginnen wir unsere Untersuchungen damit, ein paar harmonische Schwingungen zu zeichnen.

Exercise 1

Skizziere mit Hilfe des Einheitskreises die folgenden Graphen und vergleiche mit der einfachen Sinusfunktion $h(x)=\sin(x)$ :

$f(x)=2\sin(x)$ und $g(x)=0.5\sin(x)$
$f(x)=\sin(2x)$ und $g(x)=\sin(0.5x)$
$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})$ und $g(x)=\sin(x-\frac{\pi}{4})$
$f(x)=\sin(x)+0.5$ und $g(x)=\sin(x)-0.5$

Solution

Das folgende ist aus den Skizzen ersichtlich. Es sei $h(x)=\sin(x)$ und $f(x)=A\sin(u(x-v))+b$ . Die Parameter $A, u, v$ und $b$ beschreiben geometrische Transformationen um vom Graphen $h$ zum Graphen $f$ zu kommen, wobei gilt:

$A$ streckt den Graphen von $h$ um den Faktor $A$ in $y$ -Richtung.
1. $\sin(x) \rightarrow 2\sin(x)$ : Graph wird um den Faktor $2$ gestreckt.
2. $\sin(x) \rightarrow \frac{1}{2}\sin(x)$ : Graph wird um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestreckt (Stauchung).
$u$ streckt den Graphen von $h$ um den Faktor $\frac{1}{u}$ in $x$ -Richtung.
1. $\sin(x) \rightarrow \sin(2x)$ : Graph wird um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestreckt (Stauchung).
2. $\sin(x) \rightarrow \sin(\frac{1}{2}x)$ : Graph wird um den Faktor $2$ gestreckt.
$v$ verschiebt den Graph von $h$ um $v$ Einheiten in $x$ -Richtung.
1. $\sin(x) \rightarrow \sin(x-\frac{\pi}{4})$ : Verschiebung um $\frac{\pi}{4}$ Einheiten nach rechts.
2. $\sin(x) \rightarrow \sin(x+\frac{\pi}{4})$ : Verschiebung $\frac{\pi}{4}$ Einheiten nach links.
$b$ verschiebt den Graph von $h$ um $b$ Einheiten in $y$ -Richtung.
1. $\sin(x) \rightarrow \sin(x)+\frac{1}{2}$ : Verschiebung um $\frac{1}{2}$ Einheiten nach oben.
2. $\sin(x) \rightarrow \sin(x)-\frac{1}{2}$ : Verschiebung um $\frac{1}{2}$ Einheiten nach unten.

Das gleiche gilt auch für die Graphen der Funktionen $\cos(x)$ und $\tan(x)$ . Und in der Tat gilt es für den Graphen jeder Funktion.

Theorem 1: Transformationen des Sinus

Zusammengefasst haben wir die folgende Interpretation der Parameter $A, u, v$ und $b$ in der Funktion

f(x)=A\sin(u(x-v))+b

$A$ : strecke $\sin(x)$ um Faktor $A$ in $y$ -Richtung
$u$ : strecke den neuen Graphen um den Faktor $\frac{1}{u}$ in $x$ -Richtung
$v$ : Verschiebe den resultierenden Graphen um $v$ nach rechts ( $v>0$ ) oder nach links ( $v<0$ ).
$b$ : Verschiebe den resultierenden Graphen um $b$ nach oben ( $b>0$ ) oder nach unten ( $b<0$ ).

Die obige Reihenfolge der Transformationen ist zu beachten, um von Graphen von $h(x)=\sin(x)$ auf den Graphen von $f(x)=A\sin(ux-v)+b$ zu kommen.

Example 1: Harmonische Funktion skizzieren

Wir illustrieren dies am Graphen der Funktion

f(x)=\sin(0.5(x-\frac{\pi}{2}))

Dies ist die blaue durchgezogenen Linie in der Skizze unten. Es ist $A=1, u=0.5, v=\frac{\pi}{2}$ und $b=0$ . Wir sehen also, dass der Graph $\sin(x)$ zuerst um den Faktor $\frac{1}{u}=2$ in $x$ -Richtung gestreckt wird (blaue gestrichelte Linie) und dann um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben wird.

Wir können übrigens die Funktion auch so schreiben:

f(x)=\sin(0.5x-\frac{\pi}{4})

In dieser Form können wir aber die Verschiebung in $x$ -Richtung nicht direkt ablesen.

Exercise 2

Finde die Transformationen, welche von der Sinuskurve $\sin(x)$ auf die gestrichelte Linie führen, und schreibe die Funktionsgleichung der gestrichelten Linie hin.

Solution

Streckung der Sinuskurve $\sin(x)$ um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $x$ -Richtung ( $\rightarrow u=\frac{1}{1/2}=2$ ) und Verschiebung nach rechts um $\frac{\pi}{4}$ .

Es gilt also $f(x)=\sin(2(x-\frac{\pi}{4}))$ .

Exercise 3

Mit Hilfe welcher Transformationen gelange ich vom Graphen der Funktion $h(x)=\sin(x)$ zum Graphen der Funktion $f(x)=3\sin(0.5x-\frac{\pi}{4})+1$ ?

Zeichne dann den Graphen von $f$ , indem du die Transformationen auf den Graphen von $h$ anwendest.

Solution

Bringe auf das richtige Format: $f(x)=3\sin(0.5x-\frac{\pi}{4})+1=3\sin(0.5(x-\frac{\pi}{2}))+1$ , also $A=3, u=0.5, v=\frac{\pi}{2}, b=1$ , also ausgehend von $\sin(x)$ :

strecke um den Faktor $3$ in $y$ -Richtung, dann
strecke um den Faktor $2$ in $x$ -Richtung, dann
verschiebe um $\frac{\pi}{2}$ Einheiten nach rechts, dann
verschiebe um eine Einheit nach oben.

Exercise 4

Finde die $x$ -Achsenabschnitte der Funktion $f(x)=\sin(0.2x-2)$ auf zwei verschieden Arten:

durch Berechnung.
indem überlegt wird, wie die $x$ -Achsenabschnitte der Funktion $\sin(x)$ Transformiert werden.

Solution

$\sin(x)$ hat die $x$ -Achsenabschnitte bei $..., -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$ . Finde also $x$ mit $0.2x-2=-\pi$ , $0.2x-2=0, 0.2x-2=\pi, 0.2x-2=2\pi, ...$ , und wie sehen, dass $x=10-5\pi, 10, 10+5\pi, 10+10\pi, ...$ .
Wegen $f(x)=\sin(0.2x-2)=\sin(0.2(x-10))$ sehen wir, dass $\sin(x)$ um den Faktor $\frac{1}{u}=\frac{1}{0.2}=5$ in $x$ -Richtung gestreckt, und dann in um $v=10$ nach rechts verschoben. Die Punkte $..., -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$ werden also zuerst um $5$ gestreckt, also $-5\pi, 0, 5\pi, 10\pi, ...$ , und dann um $10$ nach rechts verschoben, also $-5\pi+10, 10, 10+5\pi, 10+10\pi, ...$ .

Exercise 5

Falls nicht ausdrücklich erwähnt, sind alle Aufgaben ohne TA zu lösen.

Beschreibe die geometrischen Transformationen, um vom Graphen der Sinus- oder Kosinus auf den Graph der Funktion $f$ zu kommen. Skizziere dann den Graphen von $f$ , in dem die Transformationen ausgeführt werden.
1. $h(x)=\sin(x) \rightarrow f(x)=4\sin(x)+3$
2. $h(x)=\cos(x) \rightarrow f(x)=1.5\cos(0.25 x)$
3. $h(x)=\sin(x) \rightarrow f(x)=0.25\sin(4x + 1)-1$
Der Graph der Funktion $h(x)=\cos(x)$ werde um den Faktor $0.75$ sowohl in $x$ - wie auch in $y$ -Richtung gestreckt, und dann nach links um 2 Einheiten verschoben. Bestimme die Funktionsgleichung $f$ des erhaltenen Graphen.
Der Graph der Funktion $h(x)=\sin(x)$ werde zuerst um den Faktor $2$ in $x$ -Richtung gestreckt, und dann um $\frac{\pi}{4}$ Einheiten nach rechts verschoben. Skizziere den Graphen durch Anwendung der Transformationen und bestimme die Funktionsgleichung des erhaltenen Graphen.
Wiederhole die Transformation von oben, aber in umgekehrter Reihenfolge. Skizziere den Graphen durch Anwendung der Transformationen und vergleiche mit oben. Stimmen die beiden Graphen überein? Bestimme die Funktionsgleichung.
Welche Transformation wird für $A=-1$ ausgeführt, und welche für $u=-1$ ?
Überlege mit Skizzen, welche Gleichungen korrekt sind. Falls eine Gleichung nicht stimmt, korrigiere die rechte Seite so, dass sie stimmt.
1. $\sin(-x)=-\sin(x)$
2. $\cos(-x)=-\cos(x)$
3. $-\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos(x)$
4. $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$
Bestimme ohne TA mindestens zwei $x$ -Achsenabschnitt der Funktion $f(x)=10\sin(3x-2)$
Bestimme mit TA mindestens zwei $x$ -Achsenabschnitt der Funktion $f(x)=10\sin(3x-2)+5$
Der Graph der Funktion $h(x)=\tan(x)$ soll um die horizontale Gerade auf der Höhe $y=2$ gespiegelt werden. Bestimme die Funktionsgleichung des gespiegelten Graphen.
Bestimme die Funktionsgleichungen der folgenden Graphen:
Welche Transformationen braucht es, um den Graphen der Funktion $\sin(x)$ auf den Graphen der Funktion $f(x)=3\sin(1.5x-\frac{\pi}{6})+1$ überzuführen? Skizziere den Graphen von $f$ .
Auf den Graphen der Funktion $\cos(x)$ werden sukzessive die folgenden Transformationen angewendet:
1. Strecken in $x$ -Richtung um Faktor $3$
2. Strecken in $y$ -Richtung um Faktor $1.5$
3. Verschieben nach links um $6$
4. Verschieben nach unten um $2$ Bestimme die Funktionsgleichung von $f$ .

Solution

Wir haben
1. Streckung in $y$ -Richtung mit Faktor $4$ , dann Verschiebung um 3 nach oben.
2. Streckung in $y$ -Richtung mit Faktor $1.5$ , dann Streckung in $x$ -Richtung mit Faktor $1/u=1/0.25=4$ .
3. Streckung in $y$ -Richtung mit Faktor $0.25$ , dann Streckung in $x$ -Richtung mit Faktor $1/u=1/4$ , dann Verschiebung um $v=1/4$ nach links und Verschiebung um $1$ nach unten.
$A=0.75$ , $1/u=0.75 \rightarrow u=4/3$ , $v=-2$ . Also $f(x)=0.75\cos(\frac{4}{3}(x+2))$ (siehe Graph unten)
$1/u=2\rightarrow u=1/2$ , $v=\frac{\pi}{4} \rightarrow f(x)=\sin(\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4}))$ .
Wird $\sin(x)$ zuerst um $\pi/4$ nach rechts verschoben, und dann um den Faktor $2$ in $x$ -Richtung gestreckt, so erhalten wir den folgenden Graphen (unten gezeigt). Es ist nicht derselbe Graph wie in Aufgabe 3. Ausgehend vom $\sin(x)$ erhalten wir den unten stehenden Graphen durch eine Streckung um den Faktor $2$ in $x$ -Richtung und anschliessender Verschiebung nach rechts um $\pi/2$ . Es ist also $u=1/2$ und $v=\frac{\pi}{2}$ und somit $f(x)=\sin(\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{2}))$ .
Es ist
1. $A=-1$ , daher $f(x)=-\sin(x)$ : der Graph $\sin(x)$ wird an der $x$ -Achse gespiegelt.
2. $u=-1$ , daher $f(x)=\sin(-x)$ : der Graph $\sin(x)$ wird an der $y$ -Achse gespiegelt.
Skizziere den linken und den rechten Graphen:
1. $\sin(-x)=-\sin(x)$ ist correct
2. $\cos(-x)=-\cos(x)$ ist falsch, es gilt $\cos(-x)=\cos(x)$
3. $-\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos(x)$ ist falsch, es gilt $-\sin(x-\frac{\pi}{2})=\cos(x)$
4. $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$ ist falsch, es ist $\cos(x+\pi)=-\sin(x)$
Finde $x$ mit $f(x)=10\sin(3x-2)=0$ . Die Sinusfunktion hat die $x$ -Achsenabschnitte $...,-\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$ , finde also $x$ mit $\begin{array}{llll} 3x-2 & = & -\pi & \rightarrow & x =\frac{-\pi+2}{3}\\ 3x-2 & = & 0 & \rightarrow & x =\frac{2}{3}\\ 3x-2 & = & \pi & \rightarrow & x =\frac{\pi+2}{3}\\ 3x-2 & = & 2\pi & \rightarrow & x =\frac{2\pi+2}{3}\\ ... & & & & \end{array}$
Finde $x$ mit $f(x)=10\sin(3x-2)+5=0$ , also $\sin(\underbrace{3x-2}_{s})=-0.5$ Wir müssen also herausfinden, für welche Bogenwerte $s$ der Sinus gerade $-0.5$ ergibt (siehe Einheitskreis unten). Einen Wert können wir mit Hilfe des Arkussinus berechnen, $s_1=\arcsin(-0.5)=-0.524$ Einen weiteren Wert finden wir bei $s_2=\pi+0.524=3.665$ (siehe Einheitskreis unten). Wir haben also $3x-2=s_1=-0.524$ und somit $x_1=\underline{0.492}$ , und $3x-2=s_2=3.665$ , woraus folgt $x_2=\underline{1.888}$ . Wir können dies kontrollieren: $f(-0.524)=10\sin(3\cdot (-0.524)-2)+5=0.003\approx 0$ (Rundungsfehler), und $f(1.888)=10\sin(3\cdot 1.888-2)+5=0.010\approx 0$ (Rundungsfehler).
Idee: Zeichne zuerst den gespiegelten Graphen und überlege dir dann, welche Transformationen gebraucht werden, um von $\tan(x)$ auf den gespiegelten Graphen zu kommen. Es folgt dann, dass wir $\tan(x)$ zuerst an der $y$ -Achse spiegeln können, $A=-1$ , und dann um $4$ nach oben verschieben ( $b=4$ ). Wir haben also $f(x)=\underline{-\tan(x)+4}$ .
Wir starten jeweils mit $\sin(x)$ , und überlegen uns, wir wir durch Strecken und dann durch Verschieben auf den abgebildeten Graphen kommen.
1. Strecken in $y$ -Richtung um Faktor $1.5$ ( $A=1.5$ ), und in $x$ -Richtung um Faktor $0.25$ ( $u=1/0.25=4$ ). Also $f(x)=\underline{1.5\sin(4x)}$ .
2. Strecken in $x$ -Richtung um Faktor $0.5$ ( $\frac{1}{u}=0.5\rightarrow u=2$ ), spiegeln an der $x$ -Achse ( $A=-1$ ), verschieben nach oben um $1$ ( $b=1$ ). Wir haben also $f(x)=\underline{-\sin(2x)+1}$ (siehe Bild unten).
Wir schreiben $f$ in besserer Form: $f(x)=3\sin(1.5x-\frac{\pi}{6})+1==3\sin(1.5(x-\frac{\pi}{9})+1$ Es ist also $A=3, u=1.5, v= \frac{\pi}{9}, b=1$ . Es folgt:
1. Strecke $\sin(x)$ in $y$ -Richtung um $3$ , dann
2. strecke in $x$ -Richtung um $\frac{1}{u}=\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$ , dann
3. verschiebe nach rechts um $v\frac{\pi}{9}$ , dann
4. verschiebe nach oben um $1$
Es ist $A=1.5, \frac{1}{u}=3 \rightarrow u=\frac{1}{3}, v=-6 \rightarrow v=-6$ , und $b=-2$ . Also ist $f(x)=1.5\cos(\frac{1}{3}(x+6))-2$