Trigonometrische Funktionen

Wir kennen bereits die trigonometrischen Beziehungen, mit welchen die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden können, falls ein Winkel $\alpha$ des Dreiecks bekannt ist:

Siehe die Abbildung unten (links). Hier bezeichnen $H$, $G$ und $A$ die Hypotenuse, die Gegenkathete und die Ankathete. Da wir uns in einem rechtwinkligen Dreieck bewegen, muss $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ sein. Im Moment ist noch nicht klar, was $\sin(140^\circ)$ bedeutet, da es kein rechtwinkliges Dreieck mit einem solchen Winkel gibt. Letztendlich wollen wir aber in der Lage sein, $\sin(\alpha), \cos(\alpha)$ und $\tan(\alpha)$ für $\alpha=140^\circ$ oder für jeden anderen Winkel beliebiger Grösse zu berechnen. Dies führt zu den trigonometrischen Funktionen.

Betrachten wir zunächst spezielle rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse $H=1$ (Abbildung oben, Mitte). Wir haben dann

und

Wenn also $H=1$ ist, ist der Sinus gerade die Länge der vertikalen Seite und der Kosinus die Länge der horizontalen Seite.

Nebenbemerkung: Wir können auch $\tan(\alpha)$ als Seitenlänge darstellen. Dazu erweitern wir das Dreieck so, dass die horizontale Seite die Länge $1$ hat (Abbildung oben rechts). Die senkrechte Seite $u$ des neuen Dreiecks ist dann $\tan(\alpha)$, denn

Erweiterung der Definition von Sinus und Kosinus

Um $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ auf beliebige Werte von $\alpha$ zu erweitern, konzentrieren wir uns auf die oben beobachtete Tatsache: Für $H=1$ ist der Wert $\sin(\alpha)$ gerade die vertikale Seitenlänge und der Wert $\cos(\alpha)$ gerade die horizontale Seitenlänge. Wir führen eine neue Definition von Sinus und Kosinus ein, die sich auf den Einheitskreis bezieht.

1. Zeichne einen Einheitskreis und gib eine vertikale und eine horizontale Achse an, die beide durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufen (siehe Abbildung unten). Jeder beliebige Winkel $\alpha$ bestimmt die Lage eines Punktes $P$ auf dem Einheitskreis. Von nun an verwenden wir die Bogenlänge (Radiant) $x$ und nicht mehr den Winkel $\alpha$, um die Position dieses Punktes $P$ zu beschreiben. Die Umwandlung von Grad zu Bogenlänge und umgekehrt ist einfach, wie im vorhergehenden Kapitel gezeigt wurde.
2. Bestimme für einen gegebenen Wert von $x$ (die Eingabe) den entsprechenden Punkt $P$ auf dem Einheitskreis und definiere die folgende Ausgabe $y$:

Zusätzlich definieren wir die vertikale Distanz negativ, falls $P$ unterhalb der horizontalen Achse liegt, und die horizontale Distanz negativ, falls $P$ links von der vertikalen Achse liegt. Dies klingt komplizierter als es ist; betrachte einfach die Skizze unten.

Es ist ersichtlich, dass für $x$ zwischen $0$ und $\frac{\pi}{2}$ (oder für $\alpha$ zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$) diese Definitionen mit den ursprünglichen trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck übereinstimmen.

Zusätzlich haben wir nun aber den Sinus und Kosinus für alle möglichen Werte erweitert. Die Funktion $\tan(x)$ können wir mit Hilfe von Sinus und Kosinus definieren als

Als Zusammenfassung stellen wir die drei trigonometrischen Funktionen $\sin(x), \cos(x)$ und $\tan(x)$ als Maschinen dar. Die Eingabe $x$ wird als Bogenlänge (Radiant) interpretiert:

Exercise 1

1. Ohne Taschenrechner! Bestimme $\sin(x)$, $\cos(x)$ und $\tan(x)$ für die folgenden $x$-Werte: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$, $\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}$.
2. Bestimme ohne die trigonometrischen Funktionstasten sin, cos und tan auf dem Taschenrechner $\sin(x)$, $\cos(x)$ und $\tan(x)$ für die folgenden $x$-Werte: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$, $-\frac{5\pi}{6}$. Überprüfe die Ergebnisse mit Hilfe des Taschenrechners.
3. Schätze ohne die trigonometrischen Funktionstasten sin^-1 und cos^-1 auf dem Taschenrechner $x$ so ab, dass $\sin(x)=0.75$. Wenn $\sin(x)=0.75$, wie lautet dann der genaue Wert von $\sin(x+\pi)$?
4. Skizziere ohne Taschenrechner den Graphen der drei trigonometrischen Funktionen. Verwende den Einheitskreis und gib die Punkte des Graphen bei $x=0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ und $2\pi$ an. Überprüfe die Graphen mit GeoGebra. Eine Animation, die die Beziehung zwischen dem Einheitskreis und dem Graphen der Sinus- und Kosinusfunktionen veranschaulicht, findet sich hier: Animation. Hinweis: Denke daran, dass $\frac{0}{1}=0$ und Ausdrücke wie $\frac{1}{0}$ gegen unendlich streben.
5. Drücke ohne Taschenrechner die Funktionen $f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$ und $g(x)=\sin(x-\frac{\pi}{2})$ durch $\cos(x)$ aus.
6. Wie gross ist $\sin^2(x)+\cos^2(x)$ für jedes $x$? Hinweis: Die Notation $\sin^2(x)$ ist eine Kurzform für $\sin(x)\cdot \sin(x)=(\sin(x))^2$.
7. Finde mit dem Taschenrechner eine Nullstelle der Funktionen $f$ und $g$ durch Lösen der Gleichungen $f(x)=0$ und $g(x)=0$:
   1. $f(x)=2\cos(2x+1)+1$
   2. $g(x)=0.5 \tan(3x)-10$
8. Finde mit dem Taschenrechner einen Schnittpunkt zwischen den Funktionen $f$ und $g$:
   1. $f(x)=\sin(x)$, $g(x)=0.4$
   2. $f(x)=3\cos(2x-0.5)$, $g(x)=0.1$
   3. $f(x)=\sin(3x)$, $g(x)=2\cos(3x)$
9. Gegeben sei $\sin(x)=0.6$. Nutze den Arkussinus (oder $\sin^{-1}$), um $x$ zu finden: $$x=\arcsin(0.6)=\sin^{-1}(0.6)$$ Warum steht das Wort „Arkus“ im Namen? Argumentiere mit dem Einheitskreis.
10. Finde ohne Taschenrechner die Lösungen von:

    1. $\cos(2x)=-1$

    2. $2\sin(3x-1)=0$

Solution

Zu 10

1. Finde $x$ mit $2x=\pi$, oder $2x=3\pi$ usw., sodass $x=\frac{\pi}{2}$, oder $x=\frac{3\pi}{2}$ ...
2. Finde $x$ mit $3x-1=0$ oder $3x-1=\pi$ usw., sodass $x=\frac{1}{3}$, oder $x=\frac{\pi+1}{3}$ ...