Binomialexperiment

Exercise 1: Grundbegriffe

Was ist ein Bernoulli Experiment, und was ein Binomialexperiment? Gib einfache Beispiele.

Solution

Ein Bernoulli Experiment ist ein einfaches Experiment mit den zwei möglichen Ausgängen Erfolg oder Misserfolg. Ein Binomialexperiment besteht aus der Wiederholung mehrerer Bernoulli Experimente (daher ein spezieller Fall von einem mehrstufigen Experiment).

Beispiele:

Eine Münze $7$ -mal werfen. Bernoulli: "Münze werfen" mit Erfolg="Kopf".
Einen Würfel $5$ -mal werfen. Bernoulli: "Würfel werfen" mit Erfolg="6".

Exercise 2: Münzwurf-Experiment

Ein Münze mit $p(K)=0.3$ wird $3$ -mal geworfen.

Zeichne einen Baum, welches dieses Experiment repräsentiert, und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
Gib für dieses Experiment ein Ergebnis und ein Ereignis an.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu beobachten.

Solution

Baum:
Beispiele für Ergebnisse: $KKK$ , $ZKK$ , ... Beispiel für ein Ereignis: $\{KZZ, ZKZ, ZZK\}$ (genau einmal Kopf).
Berechnung über den Baum:
$p=3\cdot 0.3\cdot 0.7^2+3\cdot 0.3^2\cdot 0.7+1\cdot 0.3^3=\underline{0.657}$
Oder über das Gegenereignis:
$p=1-p(ZZZ)=1-0.7^3=0.657$

Exercise 3: Die Formel der Binomialverteilung

Was wird mit der Formel $\left(\begin{array}{c}n\\k \end{array}\right) p^k (1-p)^{n-k}$ berechnet? Gib ein konkretes Beispiel. Und wie heisst diese Formel?

Solution

Die Formel, genannt Binomialverteilung, berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Binomialexperiment genau $k$ mal Erfolg auftritt, wenn das Bernoulli Experiment $n$ Mal wiederholt wird ( $p$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit).

Beispiel: Münze wird $7$ Mal geworfen, Erfolg = "Kopf", $p(K)=0.6$ . Wahrscheinlichkeit für genau $4$ Mal Kopf:

p=\left(\begin{array}{cc}7\\4 \end{array}\right) 0.6^4 (1-0.6)^{7-4}=\left(\begin{array}{cc}7\\4 \end{array}\right) 0.6^4 \cdot 0.4^{3}=0.29

Exercise 4: Münzwurf-Experimente

Eine faire Münze wird $4$ -mal geworfen. Es sei $N$ ="Anzahl Köpfe".

Repräsentiere das Experiment mit einem Baum.
Berechne die Wahrscheinlichkeit $p(N=1)$ , indem du das Experiment als Laplace experiment auffasst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit $p(N=1)$ , indem du das Experiment als Binomialexperiment auffasst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu bekommen.

Solution

Baum ist unten gezeigt.
Der Ergebnisraum ist $S=\{KKKK, KKKZ, ...\}$ (jeder Pfad entlang des Baums), und die Anzahl Ergebnisse ist
$|S|=2^4=16$
Das Ereignis $E=$ "genau einmal Kopf" ist $E=\{KZZZ, ZKKK, ZZKZ, ZZZK\}$ und somit ist
$|E|=4$
Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich (da fairer Würfel), und somit ist dies ein Laplace experiment. Es gilt also
$p(N=1)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{4}{16}=0.25$
Die Erfolgswahrscheinlichkeit (Kopf) ist $p=0.5$ , und es wird $n=4$ -mal repetiert. Also ist
$p(N=1)=\left(\begin{array}{cc}4 \\ 1\end{array}\right)\cdot 0.5^1 \cdot 0.5^{3}=4\cdot 0.5^4=0.25$
$p(N\geq 1)=1-p(N<1)=1-p(N=0)$ :
$p(N\geq 1)=1-\left(\begin{array}{cc}4 \\ 0\end{array}\right)\cdot 0.5^0 \cdot 0.5^{4}=1-1\cdot 0.5^4=1-0.0625=0.9375$

Exercise 5: Kugeln ziehen (mit und ohne Zurücklegen)

Eine Box enthält $10$ Kugeln. Drei Kugeln haben das Gewicht $1g$ , fünf Kugeln haben das Gewicht $2g$ und die restlichen Kugeln haben das Gewicht $5g$ .

Zwei Kugeln werden nacheinander gezogen, mit zurücklegen. Repräsentiere das Experiment mit einem Baum und zeichne die Wahrscheinlichkeiten ein. Zeichne ebenfalls einen Baum für den Fall, in dem die gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird.
Bestimme für beide Fälle (mit oder ohne zurücklegen) die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln ein Gesamtgewicht von $6g$ ergeben.
Du bist daran interessiert, die $5g$ -Kugeln zu ziehen. Du ziehst $10$ Kugeln mit zurücklegen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal eine $5g$ -Kugel zu ziehen?

Solution

Die zwei Bäume sind unten gezeigt.
Alle Pfade, die 6g ergeben sind in den Bäumen eingezeichnet (gelb).
- Mit Zurücklegen: $p(6g)=\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{10}+\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{25}$
- Ohne Zurücklegen: $p(6g)=\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}+\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{2}{15}$
Dies ist ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0.2$ ( $5g$ Kugel ziehen) und $n=10$ Repetitionen. Es sei $N$ ="Anzahl gezogene $5g$ -Kugeln". Es ist dann

p(N\geq 1)=1-p(N<1)=1-p(N=0)=1-\left(\begin{array}{cc}10 \\ 0\end{array}\right)\cdot 0.2^0 \cdot 0.8^{10}=1-0.8^{10}=0.893

Exercise 6: Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln

Ein Würfel wird $10$ -mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit,

$3$ oder $4$ -mal eine $6$ zu würfeln.
Wie oft muss mindestens gewürfelt werden, bis eine $6$ mit Wahrscheinlichkeit $0.999$ beobachtet wird?

Solution

Ein Würfel wird $10$ -mal geworfen. Dies ist eine Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{6}$ (eine Sechs), und $n=10$ Repetitionen. Es sei $N=$ "Anzahl gewürfelte Sechs".

Es ist somit
$\begin{array}{lll} p(N=3\text{ oder } N=4) &=& p(N=3)+p(N=4)\\ &=&\left(\begin{array}{cc}10 \\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^7 + \left(\begin{array}{cc}10 \\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6\\ &=& 0.155+0.054 = 0.209 \end{array}$
Finde $n$ (Anzahl Würfe) so, dass $p(N>0)=0.999$ . Mit $p(N>0)=1-p(N=0)=0.999$ folgt $p(N=0)=0.001$ :
$\begin{array}{lll} \left(\begin{array}{cc}n \\ 0\end{array}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n &=&0.001\\ \left(\frac{5}{6}\right)^n &=&0.001 \quad | \log(.)\\ \log(\left(\frac{5}{6}\right)^n)&=&\log(0.001)\\ n\cdot \log(\frac{5}{6})&=&\log(0.001)\\ n&=&\frac{\log(0.001)}{\log(\frac{5}{6})} \approx 37.8 \end{array}$
Es muss also $n=38$ sein.