Permutationen und Binomialkoeffizient

Exercise 1: Grundbegriffe

  1. Was nennt sich der Ausdruck 5!5! und was ist sein Wert und seine Bedeutung?

  2. Wie nennt man diesen Ausdruck:

    (104)\left(\begin{array}{cc}10\\4\end{array}\right)

    Was ist sein Wert? Was ist seine Bedeutung?

Solution
  1. Der Ausdruck 5!5! nennt sich 55 Fakultät, und sein Wert ist 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120 n!n! gibt an, wie viele Wörter durch herum arrangieren der Buchstaben eines Worts mit nn Buchstaben gebildet werden können, wobei alle Buchstaben im Wort verschieden sein müssen. Zum Beispiel lassen sich aus ABCDE 120120 Wörter bilden.
  2. Der Ausdruck (104)\left(\begin{array}{c}10\\4\end{array}\right) ist der Binomialkoeffizient "1010 tief 44". Sein Wert ist (104)=10!4!⋅(10−4)!=10!4!⋅6!=10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅14⋅3⋅2⋅1⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=10⋅3⋅7=210\begin{array}{lll} \left(\begin{array}{c}10\\4\end{array}\right)&=&\frac{10!}{4!\cdot (10-4)!}\\[0.2em] &=&\frac{10!}{4!\cdot 6!}\\[0.2em] &=&\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\[0.2em] &=& 10\cdot 3\cdot 7\\[0.2em] &=&210 \end{array} Der Ausdruck (nk)\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) gibt an, wie viele Wörter durch umarrangieren der Buchstaben eines Worts mit nn Buchstaben gebildet werden können, wobei kk Buchstaben gleich sind und die anderen n−kn-k Buchstaben ebenfalls. Beispiel: 210210 Möglichkeiten für das Wort AAAABBBBBBAAAABBBBBB.