Der Fundamentalsatz der Analysis

Auch bekannt als der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

Wie wir gesehen haben, ist das berechnen des (orientierten) Flächeninhalts harte Arbeit und mit Ausnahme einiger weniger Beispiele fast unmöglich zu bewerkstelligen. Um dies nochmals zu veranschaulichen, nehmen wir zum Beispiel die Fläche unter dem Graphen von f(x)=xf(x)=\sqrt{x}, d.h.,

∫01x dx\int_0^1 \sqrt{x}\, dx

Bildet man die Summe der nn Balkenflächen, so erhalten wir die Näherung

∫01x dx≈∑k=1nf(xk)Δx=1n1n+2n1n+...+nn1n=1n1.5+1n1.5+...nn1.5=1n1.5(1+2+...+n)⏟??\begin{array}{lll}\int_0^1 \sqrt{x}\, dx &\approx& \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\\ &=& \sqrt{\frac{1}{n}}\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{2}{n}}\frac{1}{n}+...+\sqrt{\frac{n}{n}}\frac{1}{n}\\ &=& \frac{\sqrt{1}}{n^{1.5}}+\frac{\sqrt{1}}{n^{1.5}}+...\frac{\sqrt{n}}{n^{1.5}}\\ &=& \frac{1}{n^{1.5}}\underbrace{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)}_{??}\\ \end{array}

Mit Hilfe des Computer können wir zum Beispiel n=10 000n=10\,000 wählen, und erhalten die Summe

∫01x dx≈110 0001.5⋅(1+2+...+10 000)≈0.6667164...\begin{array}{lll}\int_0^1 \sqrt{x}\, dx &\approx& \frac{1}{10\,000^{1.5}}\cdot (\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{10\,000})\\ &\approx& 0.6667164... \end{array}

Dies ist sicherlich eine gute Approximation, aber wenn wir den exakten Wert wollen, müssen wir nn gegen unendlich streben lassen ... aber gegen welche Zahl dann die Summe der Balkenflächen strebt ist in diesem Beispiel nicht einfach zu beantworten.

Es ist daher erstaunlich zu erfahren, dass es eine recht einfache Methode gibt, den exakten Flächeninhalt herauszufinden, und zwar ohne überhaupt Balkenflächen addieren zu müssen. Die Berechnung geht wie folgt:

∫01x dx=23⋅13/2−23⋅03/2=23=0.66‾\int_0^1 \sqrt{x}\, dx = \frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}=\frac{2}{3}=0.6\overline{6}

Wir sehen also, dass die Approximation durch die 10 00010\,000 Balkenflächen in der Tat recht genau war. Wie nun funktioniert die exakte Methode? Nun, es brauchte mehrere hundert Jahre Mathematik und Physik, um die richtigen Konzepte zu entwickeln, die richtigen Fragen zu stellen, und die Antworten zu finden. Das Resultat ist der Fundamentalsatz der Analysis:

Theorem 1: Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Das Integral ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx lässt sich wie folgt finden:

  1. Finde eine neue Funktion FF so, dass ihre Ableitung gerade ff ist: F′=fF'=f.
  2. Das Integral ist dann der Wert F(b)F(b) minus der Wert F(a)F(a):
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Wenden wir den Fundamentalsatz auf unser Beispiel an.

Example 1

Finde das Integral ∫01xdx\int_0^1 \sqrt{x} dx

Solution

  1. Finde eine Funktion FF mit F′(x)=xF'(x)=\sqrt{x}. Mit ein wenig Ausprobieren erhalten wir

    F(x)=23x3/2F(x)=\frac{2}{3} x^{3/2}

    In der Tat, für die Ableitung von FF gilt

    F′(x)=23⋅32x3/2−1=x1/2=xF'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} x^{3/2-1}=x^{1/2}=\sqrt{x}

  2. Wir haben somit

    F(1)=23⋅13/2=23F(1)=\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\frac{2}{3}

    und

    F(0)=23⋅03/2F(0)=\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}

    Somit ist laut Fundamentalsatz

    ∫01x dx=F(1)−F(0)=23−0=23\int_0^1 \sqrt{x}\, dx = F(1)-F(0)=\frac{2}{3}-0=\frac{2}{3}

Das Integral von ff zu finden ist also plötzlich kinderleicht ... vorausgesetzt, wir finden eine Funktion FF, deren Ableitung ff ist. Eine solche Funktion FF nennt man eine Stammfunktion von ff.

Definition 1

Gegeben sei eine Funktion ff. Der Funktion FF mit

F′=fF'=f

wird eine Stammfunktion von ff genannt.

In vielen Fällen ist es einfach, die Stammfunktion zu finden, aber manchmal ist es sehr schwierig.

In einem späteren Abschnitt werden wir einige Regeln zum Finden von Stammfunktionen besprechen. Zuerst aber schauen wir uns ein paar weitere Beispiel an, und dann im nächsten Abschnitt den Beweis des Fundamentalsatzes.

Exercise 1
F1

Zeige, dass F(x)=x4F(x)=x^4 eine Stammfunktion von f(x)=4x3f(x)=4 x^3 ist. Berechne dann das Integral

∫134x3 dx\int_1^3 4x^3\, dx

mit dem Fundamentalsatz.

F2

Bestimme das Integral

∫0π2cos⁡(x) dx\int_0^\frac{\pi}{2} \cos(x)\, dx

mit Hilfe des Fundamentalsatz.

Solution
A1

FF ist eine Stammfunktion von ff, da

F′(x)=4x3F'(x)=4x^3

Mit dem Fundamentalsatz folgt

∫134x3 dx=F(3)−F(1)=34−14=81−1=80‾\begin{array}{lll} \int_1^3 4x^3\, dx &=& F(3)-F(1)\\ &=& 3^4-1^4\\ &=& 81-1\\ &=& \underline{80} \end{array}
A2

Wir wissen bereits, dass

sin⁡(x)↓′cos⁡(x)\begin{array}{ccc} \sin(x)\\ \downarrow '\\ \cos(x) \end{array}

Also ist sin⁡(x)\sin(x) eine Stammfunktion von cos⁡(x)\cos(x), wobei xx in Radianten gehalten wird. Mit dem Fundamentalsatz folgt

∫0π/2cos⁡(x) dx=sin⁡(π/2)−sin⁡(0)=1−0=1‾\begin{array}{lll} \int_0^{\pi/2} \cos(x)\, dx &=& \sin(\pi/2)-\sin(0)\\ &=& 1-0\\ &=& \underline{1} \end{array}