Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit Bäumen

Wir besprechen nun ein paar nützliche Eigenschaften im Wahrscheinlichkeitsbaum. Zur Illustration nehmen wir noch einmal das Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p=0.3p=0.3 und n=3n=3 Wiederholungen. Der Baum ist unten dargestellt.

Es gelten folgende Regeln.

Theorem 1: Baumregeln

  1. Die Summe der Astwahrscheinlichkeiten unter einem Verzweigungspunkt ergibt immer 11.

    (Dies ist per Design so, es gilt ja p(M)=1−p(E)p(M)=1-p(E), also p(E)+p(M)=1p(E)+p(M)=1)

  2. Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pfad eintritt, ist das Produkt der Astwahrscheinlichkeiten des Pfades.

    (Wieso das so ist, werden wir noch genauer anschauen)

    Zum Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Pfad EMEEME eintritt, daher die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Durchgang EE eintritt und im zweiten Durchgang MM und im dritten Durchgang EE, ist

    p(EME)=p(E)⋅p(M)⋅p(E)=0.32⋅0.7p(EME)=p(E)\cdot p(M)\cdot p(E)=0.3^2\cdot 0.7

  3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Pfad1 oder Pfad2 eintritt, ist die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten:

    p(Pfad1∪Pfad2)=p(Pfad1)+p(Pfad2)p(\text{Pfad1} \cup \text{Pfad2})=p(\text{Pfad1})+p(\text{Pfad2})

    Zum Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass EMEEME oder EEEEEE eintritt, ist

    p(EME∪EEE)=p(EME)+p(EEE)=0.32⋅0.7+0.33p(EME \cup EEE)= p(EME)+p(EEE)=0.3^2\cdot 0.7+0.3^3

    (Dies folgt daraus, dass die Ereignisse EMEEME und EEEEEE, oder allgemein zwei Pfade, sich gegenseitig ausschliessen, also p(EME∩EEE)=0p(EME \cap EEE)=0)

Exercise 1

Ein Würfel wird 33 mal geworfen. Jedesmal, wenn eine Zahl grösser als 22 erscheint, gewinnst du 2 CHF. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass du

  1. das erste mal gewinnst, dann immer verlierst

  2. nie gewinnst

  3. 4 CHF gewinnst

Solution

Dies ist ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p=p(3,4,5,6)=23p=p({3,4,5,6})=\frac{2}{3} (Erfolg ist, wenn gewonnen wird). Zeichne den Baum!!

  1. p(EMM)=23⋅13=29p(EMM)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}

  2. p(MMM)=(13)3=127p(MMM)=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}

  3. Du Gewinnst 4 CHF falls du zwei mal gewinnst:

    p(EEM∪EME∪MEE)=p(EEM)+p(EME)+p(MEE)=427+427+427=49p(EEM \cup EME \cup MEE)=p(EEM)+p(EME)+p(MEE)=\frac{4}{27}+\frac{4}{27}+\frac{4}{27}=\frac{4}{9}

Exercise 2

Fünf Blumentöpfe sind in einer Reihe aufgestellt. Du steckst je einen Blumensamen in jeden Topf und wartest für ein paar Monate. Wir wissen, dass der Samen mit Wahrscheinlichkeit 0.90.9 sich zu einer Blume entwickelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

  1. keine Blume wächst

  2. in allen Töpfen eine Blume wächst

  3. nur in den ersten beiden Töpfen eine Blume wächst

  4. genau eine Blume wächst, in irgend einem Topf.

Solution

Dies ist ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p=0.9p=0.9 (Erfolg ist, wenn Blume wächst). Zeichne den Baum, zumindest die ersten paar Generationen!!

  1. p(MMMMM)=p(M)5=0.15=0.00001p(MMMMM)=p(M)^5=0.1^5=0.00001
  2. p(EEEEE)=p(E)5=0.95=0.59049p(EEEEE)=p(E)^{5}=0.9^5=0.59049
  3. p(EEMMM)=0.92⋅0.13=0.00081p(EEMMM)=0.9^2\cdot 0.1^3=0.00081
  4. p(EMMMM∪MEMMM∪MMEMM∪MMMEM∪MMMME)=5⋅0.9⋅0.14=0.00045p(EMMMM \cup MEMMM\cup MMEMM \cup MMMEM \cup MMMME)=5\cdot 0.9\cdot 0.1^4=0.00045
Exercise 3

Ein Topf enthält 5 rote, 3 weisse und 3 blaue Kugeln. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass 3 rote Kugeln gezogen werden, wenn

  1. die Kugel vor dem nächsten Ziehen zurückgelegt wird

  2. die Kugel vor dem nächsten Ziehen nicht zurückgelegt wird.

Solution

Der Baum ist nochmal unten dargestellt (siehe auch letztes Kapitel).

Die Berechnungen am Baum gelten auch wenn es kein Binomialexperiment ist (wir werden das noch genauer im nächsten Kapitel besprechen). Es gilt also

  1. p(rrr)=(511)3=0.0939p(rrr)=\left(\frac{5}{11}\right)^3=0.0939
  2. p(rrr)=511⋅410⋅39=233p(rrr)=\frac{5}{11}\cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{2}{33}