Rationale Zahlen

Bei der Behandlung nichttrivialer Divisionen, wie etwa $2\div3$ , entsteht ein weiteres Mal das Bedürfnis, das Zahlensystem zu erweitern. Zur Menge der ganzen Zahlen kommen die Brüche hinzu. Damit bildet man die Menge der rationalen Zahlen.

Definition 1: Rationale Zahlen

Wir definieren die Menge der rationalen Zahlen als

\mathbb{Q} := \{\tfrac{a}{b} \mid a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{N}\}.

Zur Quotientendarstellung $\tfrac{a}{b}$ mit $a\in\mathbb{Z}$ und $b\in\mathbb{N}$ : Wir kürzen Brüche, indem wir Zähler und Nenner mit dem ggT der beiden dividieren. Kennt man den ggT nicht, so kürzt man etappenweise. Beispielsweise:

$\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$
$\frac{84}{90}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$

Zu jeder rationalen Zahl gehört genau ein vollständig gekürzter Bruch.

Exercise 1: Vereinfache

Gib den Wert der folgenden Brüche gekürzt und in möglichst einfacher Form an:

a) $\dfrac{-16}{12}$
b) $\dfrac{-39}{-49}$
c) $\dfrac{84}{144}$
d) $\dfrac{(-1)}{(-1)^5}$
e) $(-1)^8$
f) $(-1)^{5130}$
g) $(-1)^{16}$
h) $\dfrac{(-1)^6}{(-1)^5}$
i) $(-2)^2$
j) $\dfrac{(-2)^3}{2^5}$
k) $\dfrac{(-3)^3}{(-3)^5}$
l) $\dfrac{(-1)^6}{1}$
m) $-1^6$

Solution

a) $-\dfrac{4}{3}$
b) $\dfrac{39}{49}$
c) $\dfrac{7}{12}$
d) $1$
e) $1$
f) $1$
g) $1$
h) $-1$
i) $4$
j) $-\dfrac{1}{4}$
k) $\dfrac{1}{9}$
l) $1$
m) $-1$

Note 1

In dieser Zahlenmenge können die vier Grundoperationen $+,-,\cdot,\div$ uneingeschränkt durchgeführt werden; ausser die Division durch $0$ . Es gilt:

$\mathbb{Q}$ ist abgeschlossen bezüglich aller vier Grundoperationen.

Note 2: Division mit 0

Eine Division $\tfrac{a}{b}=c$ bedeutet: „Finde eine Zahl $c$ so, dass $a=b\cdot c$ gilt.“ Falls $b=0$ ist, dann müsste

a=0\cdot c=0

gelten.

Wenn $a\neq0$ : Dann gibt es kein $c$ (unmöglich).
Wenn $a=0$ : Dann wäre jedes $c$ eine Lösung (nicht eindeutig).

Darum ist die Division durch $0$ nicht sinnvoll.

Note 3

Um häufig auftretende Teilmengen der Standard-Zahlenmengen kurz notieren zu können, gibt es gängige Schreibweisen. Dies wird hier am Beispiel $\mathbb{Q}$ bzw. $\mathbb{N}$ demonstriert:

$\mathbb{Q}^*:=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$
$\mathbb{Q}^+:=\{x\in\mathbb{Q}\mid x>0\}$
$\mathbb{Q}^-:=\{x\in\mathbb{Q}\mid x<0\}$
$\mathbb{N}_0:=\mathbb{N}\cup\{0\}$

Exercise 2: Zahlenmengen

Bestimme folgende Zahlenmengen.

a) $\mathbb{Q}^* \cap \mathbb{Q}^-$
b) $\mathbb{Q}^+ \cup \mathbb{Q}^-$
c) $\mathbb{Q} \cap \mathbb{N}$
d) $\mathbb{Q}^+ \cap \mathbb{N}_0$
e) $\mathbb{Q}_0^+ \cap \mathbb{Z}$
f) $\mathbb{Q} \cap \mathbb{Z}$
g) $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{Q}^+$
h) $\mathbb{Q} \setminus (\mathbb{Q}^+ \cup \mathbb{Q}^-)$

Solution

a) $\mathbb{Q}^-$
b) $\mathbb{Q}^*$
c) $\mathbb{N}$
d) $\mathbb{N}$
e) $\mathbb{N}_0$
f) $\mathbb{Z}$
g) $\mathbb{Q}_0^-$
h) $\{0\}$

Die schriftliche Division

Example 1

Die rationale Zahl

\frac{1}{8}=0.125

ist abbrechend. Dagegen ist

\frac{1}{7}=0.\overline{142857}

periodisch.

Exercise 3: Schriftliche Division

Bestätige die obigen Beispiele mittels schriftlicher Division.

Solution

Zuerst $1\div8=0$ Rest 1. Dann $10\div8$ ist $1$ Rest $2$ . Wieder einen Zehner für eine weitere Stelle opfern: $20\div8=2$ Rest $4$ und $40\div8=5$ ; insgesamt also $0.125$ .

Bei einem Siebtel rechnet man analog zu oben und kommt so zum Ergebnis aus dem Text.

Example 2

$\frac{1}{32}=1\div32=0.03125$
$\frac{374}{333}=1.\overline{123}$

Note 4

Jede rationale Zahl lässt sich also durch Division in einen Dezimalbruch verwandeln.

Dabei treten zwei Fälle auf:

Nach endlich vielen Schritten tritt der Rest $0$ auf, d.h. der Dezimalbruch ist abbrechend.
Der Rest $0$ tritt nie auf. Dann heisst der Dezimalbruch periodisch.

Die Länge der sich wiederholenden Ziffernfolge einer periodischen Dezimalzahl nennen wir die Periodenlänge.

Exercise 4: 🧩

In welchen Fällen ist die Dezimaldarstellung abbrechend?

Solution

Sie ist für einen gekürzten Bruch genau dann abbrechend, wenn bei der schriftlichen Division der Rest $0$ übrig bleibt. Dazu muss der Nenner Teiler einer Zehnerpotenz sein. Für $k\in\mathbb{N}$ darf also wegen $(10)^k=(2\cdot5)^k=2^k\cdot5^k$ die Primfaktorzerlegung des Nenners nur aus $2$ en und $5$ en bestehen.

Exercise 5: Schriftliche Division II

Berechne mit Hilfe der schriftlichen Division den Wert von

a) $\frac{1}{16}$
b) $\frac{1}{15}$
c) $\frac{3}{11}$
d) $\frac{1}{7}$
e) $\frac{1}{6}$

Solution

Man kann das Ergebnis mit einem Taschenrechner prüfen. Exemplarisch wird hier gerechnet:

\begin{align*} 1\div16 &=0.0625 \text{ (Rest 1, 10)} \\ 100\div16 &= 6 \text{ (Rest 4)} \\ 40\div16 &= 2 \text{ (Rest 8)} \\ 80\div16 &= 5 \text{ (Rest 0)} \end{align*}

Weitere Ergebnisse:
b) $\tfrac{1}{15}=0.0\overline{6}$
c) $\tfrac{3}{11}=0.\overline{27}$
d) $\tfrac{1}{7}=0.\overline{142857}$
e) $\tfrac{1}{6}=0.1\overline{6}$

Note 5

Umgekehrt lässt sich jeder abbrechende oder periodische Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch verwandeln.

Gedanken zu rationalen Zahlen

Note 6: Abzählbarkeit von $\mathbb{Q}$

Das folgende Bild illustriert die Beweisidee zur Abzählbarkeit von $\mathbb{Q}$ .

Das bedeutet dann, dass $\operatorname{card}(\mathbb{N})=\operatorname{card}(\mathbb{Z})=\operatorname{card}(\mathbb{Q})$ .

Exercise 6: 🧩

Zeige, dass zwischen je zwei rationalen Zahlen $a,b\in\mathbb{Q}$ mit $a<b$ wieder eine rationale Zahl liegt.

Solution

Wir untersuchen beispielsweise $\frac{a+b}{2}$ .
Nach Voraussetzung ist $a<b$ . Es folgt $a+a<a+b<b+b$ , also $2a<a+b<2b$ und damit $a<\frac{a+b}{2}<b$ . Zwischen $a$ und $b$ liegt also sicher ihr arithmetisches Mittel $\frac{a+b}{2}$ , was gemäss Definition wieder eine rationale Zahl ist, da $\mathbb{Q}$ unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.