Binomialexperiment

Bisher haben wir ein spezielles Zufallsexperiment kennengelernt, das Laplace Experiment. In diesem Kapitel lernen wir ein weiteres wichtiges Zufallsexperiment kennen, das Binomialexperiment. Dazu müssen wir aber zuerst das Bernoulli Experiment einführen:

Definition 1: Bernouilli Experiment

Ein Bernoulli Experiment ist ein normales Zufallsexperiment, das ein Ereignis $E$ besitzt, dessen Eintreten wir als "Erfolg" bezeichnen, was auch immer wir darunter verstehen. Wir definieren dann auch das Ereignis $M=E^\prime$ , was somit für nicht Erfolg oder "Misserfolg" steht. Es ist klar, dass gelten muss

p(M)=1-p(E)

Example 1

Hier sind ein paar Bernoulli Experimente.

Ein Münze (fair oder gezinkt) wird geworfen. Wir definieren das Ereignis "Kopf" $E=\{K\}$ als Erfolg, und somit ist das Ereignis $M=E^\prime=\{Z\}$ der Misserfolg ("Zahl").
Ein Würfel (fair oder gezinkt) wird geworfen. Wir definieren das Ereignis $E=\{6\}$ also Erfolg und somit ist das Ereignis $M=E^\prime=\{1,2,3,4,5\}$ der Misserfolg.
Ein Samen wird in die Erde gesteckt. Als Erfolg definieren wir das Ereignis $E=\text{"es wächst ein Pflanze aus dem Samen"}$ als Erfolg und somit ist der Misserfolg gegeben durch das Ereignis $M=E^\prime=\text{"die Planze wächst nicht"}$

Das Binomialexperiment ist nun wie folgt definiert.

Definition 2: Binomialexperiment mit Parameter p und n

Gegeben sei ein Bernoulli Experiment, wobei $p$ die Wahrscheinlichkeit für Erfolg ist, daher $p=p(E)$ . Wiederholen wir das Bernoulli Experiment $n$ mal, wobei $n$ eine feste Zahl natürliche Zahl ist, also zum Beispiel $n=2$ oder $n=12$ , so erhalten wir ein Binomialexperiment mit Parameter $p$ und $n$ . Die Zahl $p$ wird auch Erfolgswahrscheinlichkeit genannt, und $n$ ist die Anzahl Wiederholungen.

Wichtig: die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ darf sich bei den Wiederholungen nicht verändern (und somit auch nicht die Wahrscheinlichkeit für die Misserfolge).

Ein Binomialexperiment ist ein Spezialfall von einem mehrstufigen Zufallsexperiment, wobei die Stufen den Wiederholungen des Bernouilli Experiments entsprechen. Ein mehrstufiges Zufallsexperiment wird oft mit einem Wahrscheinlichkeitsbaum repräsentiert (siehe Bild unten). Hier noch ein paar weiteren Definitionen und Notationen im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsbäumen:

Die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeit wird entlang jedem Ast im Baum eingezeichnet, und wird defAstwahrscheinlichkeit genannt.
Die 1. Generation entspricht der ersten Durchführung des Experiments (oder der ersten Stufe), die zweite Generation der 2. Durchführung (2. Stufe), und so weiter. Der Baum unten zeigt ein Binomialexperiment mit Erfolgswahrscheinlicheit $p=0.3$ und $n=3$ Wiederholungen:
Die Gabeln im Baum werden Verzweigungsknoten genannt, und werden meistens mit $E$ oder $M$ bezeichnet, oder mit anderen Buchstaben welche für den Erfolg oder Misserfolg stehen. Beachte, dass $E$ in der ersten Generation für "Erfolg in der ersten Stufe" steht und $E$ in der zweiten Stufe für "Erfolg in der zweiten Stufe", und so weiter.
ein Pfad geht entlang den Ästen von ganz oben bis ganz unten im Baum. Ein Pfad wird oft mit den Ereignissen $E$ und $M$ entlang des Pfades benannt (zum Beipiel Pfad $EME$ im Baum oben). Wir fassen einen Pfad als Ereignis auf, also zum Beispiel der Pfad $EME$ ist das Ereignis " $E$ im ersten Durchlauf, $M$ im zweiten Durchlauf und $E$ im dritten Durchlauf".
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pfad eintritt wenn das Experiment ausgeführt wird, wird Pfadwahrscheinlichkeit genannt. Zum Beispiel, $p(EME)$ is die Wahrscheinlichkeit, dass Pfad $EME$ eintritt, also die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis " $E$ im ersten Durchlauf, und $M$ im zweiten Durchlauf, und $E$ im dritten Durchlauf" eintritt.

Exercise 1

Zeichne die Baumdiagramme für die folgenden Binomialexperimente:

Für eine gezinkte Münze ist $p(K)=0.9$ (Erfolg) und somit $p(Z)=0.1$ (Misserfolg). Die Münze werde $4$ -mal geworfen.
Ein fairer Würfel wird $2$ -mal geworfen, wobei ein Erfolg eintritt, wenn eine $6$ erscheint (und ansonsten ist es ein Misserfolg).
Es werden 3 Blumesamen in 3 Blumentöpfe gesteckt und ein paar Monate gewartet. Die Blumentöpfe werden aufgenommen, einer nach dem anderen und überprüft, ob eine Blume gewachsen ist (Erfolg). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samen zur Blume gedeiht ist $p=0.95$ .

Solution

Exercise 2

Ein Topf enthält 5 rote Kugeln, 3 weisse Kugeln und 3 blaue Kugeln. Erfolg ist, eine rote Kugel zu ziehen. Es werden $3$ Kugeln gezogen, eine nach der anderen. Entscheide, ob dies ein Binomialexperiment ist, wenn

die Kugel vor dem nächsten Ziehen zurückgelegt wird
die Kugel vor dem nächsten Ziehen nicht zurückgelegt wird.

Erstelle jeweils die Baumdiagramme.

Solution

Es ist nur ein Binomialexperiment, wenn mit zurücklegen gezogen wird. Nur dann bleibt die Erfolgwahrscheinlichkeit (rote Kugel ziehen) in jeder Wiederholung gleich.