Geometrie und Polarform

Mit komplexen Zahlen kann man grundsätzlich rechnen wie mit reellen Zahlen. Man kann mit ihnen alle quadratischen Gleichungen lösen. Aber das ist bei Weitem nicht alles: Komplexe Zahlen und ihre Operationen lassen sich auch geometrisch darstellen. Mit der geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen kann man neue Zusammenhänge erkennen, die das Lösen weiterführender Fragen ermöglichen.

Die Gauss'sche Zahlenebene

Wir haben komplexe Zahlen definiert als Zahlen der Form

z = a + b\mathrm{i},

wobei $\mathrm{i}$ die imaginäre Einheit ist und $a$ und $b$ reelle Zahlen sind. Jede komplexe Zahl $z$ ist also durch ein reelles Zahlenpaar $(a|b)$ eindeutig festgelegt. Daher liegt es nahe, die geometrische Darstellung komplexer Zahlen in einer Ebene zu manifestieren.

Definition 1: Gauss'sche Zahlenebene

Jeder komplexen Zahl $z=a+b\mathrm{i}$ wird der Punkt $(a|b)$ in der Zahlenebene zugeordnet. Diese Ebene heisst Gauss'sche Zahlenebene. Die waagrechte Achse nennt man reelle Achse. Die senkrechte Achse heisst imaginäre Achse.

Die komplexe Ebene wird zu Ehren von Carl Friedrich Gauss (1777–1855) Gauss'sche Zahlenebene genannt. Erst Gauss verhalf der Veranschaulichung dieser früher unvorstellbaren Zahlen zum Durchbruch.

Exercise 1: Gauss'sche Zahlenebene

Zeichne die folgenden komplexen Zahlen in die Gauss'sche Zahlenebene: a) $3\mathrm{i}$ b) $-2-\mathrm{i}$ c) $3$ d) $3-2\mathrm{i}$

Solution

a) Punkt $(0|3)$ auf der imaginären Achse. b) Punkt $(-2|-1)$ im 3. Quadranten. c) Punkt $(3|0)$ auf der reellen Achse. d) Punkt $(3|-2)$ im 4. Quadranten.

Exercise 2: Geometrisch

Welche geometrische Abbildung entspricht dem Bilden der entgegengesetzten Zahl $-z$ bzw. der konjugiert komplexen Zahl $\bar{z}$ ?

Solution

$-z$ : Punktspiegelung am Ursprung $(0|0)$ .
$\bar{z}$ : Achsenspiegelung an der reellen Achse.

Die Addition in der Gauss'schen Zahlenebene

Komplexe Zahlen werden addiert, indem man die Real- und die Imaginärteile separat addiert. Geometrisch entspricht dies der Vektoraddition (Pfeiladdition).

Exercise 3: Addiere

Gegeben seien $z_1=3+\mathrm{i}$ und $z_2=1+2\mathrm{i}$ . Interpretiere $z_1+z_2$ geometrisch.

Solution

$z_1 + z_2 = (3+1) + (1+2)\mathrm{i} = 4+3\mathrm{i}$ . Geometrisch entspricht dies der Spitze-an-Schaft-Regel der zugehörigen Ortsvektoren $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$ .

Der Betrag einer komplexen Zahl

Der Betrag $|z|$ entspricht der Länge des Ortsvektors vom Ursprung zum Punkt $z$ .

Definition 2: Betrag

Für $z=a+b\mathrm{i}$ gilt:

|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\cdot\bar{z}} \geq 0.

Exercise 4: Beträge

Berechne: a) $|\mathrm{i}|$ b) $|-3-4\mathrm{i}|$

Solution

a) $|\mathrm{i}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ . b) $|-3-4\mathrm{i}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ .

Die Polarform

Eine komplexe Zahl kann auch durch ihre Länge $r$ und den Winkel $\varphi$ zur positiven reellen Achse beschrieben werden.

Definition 3: Polarform

$z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ mit $r = |z|$ und $\varphi = \arg(z)$ . Es gilt die Euler-Formel: $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i}\sin(\varphi)$ .

Exercise 5: Polarform

Gib $3\mathrm{i}$ in Polarform an.

Solution

$r = 3$ , $\varphi = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ . Somit: $z = 3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$ .

Theorem 1

Multiplikation und Division in Polarform: Beim Multiplizieren werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert:

z_1 \cdot z_2 = (r_1 r_2) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1 + \varphi_2)}

Beim Dividieren werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert:

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1 - \varphi_2)}

Exercise 6: z^n

Berechne $(1+\mathrm{i})^6$ über die Polarform.

Solution

$1+\mathrm{i} = \sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ . $(1+\mathrm{i})^6 = (\sqrt{2})^6 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot 6 \cdot \frac{\pi}{4}} = 8 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}} = -8\mathrm{i}$ .