Polynomgleichungen in C

Im Bereich der komplexen Zahlen sind alle quadratischen Gleichungen lösbar! Dies ist eine verblüffende Tatsache. Wir haben mit der Definition von i\mathrm{i} die Lösbarkeit bloss einer quadratischen Gleichung gefordert, nämlich x2=−1x^2 = -1. Effektiv sind nun sogar alle Polynomgleichungen nn-ten Grades lösbar.

Beispiele für quadratische Gleichungen mit komplexen Lösungen

Zu Beginn sind wir von der Gleichung

z2=−1z^2 = -1

ausgegangen. Diese ist in R\R nicht lösbar, wohl aber in C\mathbb{C}. Wir schreiben für die Unbekannte nun zz statt xx, um anzudeuten, dass wir auch Lösungen in C\mathbb{C} zulassen. Da (−i)2=−1(-\mathrm{i})^2 = -1 gilt, besitzt die Gleichung zwei Lösungen:

z1=iundz2=−i.z_1 = \mathrm{i} \quad \text{und} \quad z_2 = -\mathrm{i}.

Genauso verfahren wir bei der Gleichung z2=−2z^2 = -2. Wir schreiben z2=2⋅(−1)z^2 = 2 \cdot (-1) und finden die beiden konjugiert komplexen Lösungen:

z1=2iundz2=−2i.z_1 = \sqrt{2}\mathrm{i} \quad \text{und} \quad z_2 = -\sqrt{2}\mathrm{i}.
Exercise 1: Lösen in \mathbb{C}

Gib alle Lösungen der folgenden Gleichungen an: a) z2=−4z^2 = -4 b) z2+3=0z^2 + 3 = 0 c) z3=−8zz^3 = -8z

Solution

a) z=±2iz = \pm 2\mathrm{i} b) z=±3iz = \pm \sqrt{3}\mathrm{i} c) z(z2+8)=0  ⟹  z1=0,z2,3=±22iz(z^2+8) = 0 \implies z_1 = 0, z_{2,3} = \pm 2\sqrt{2}\mathrm{i}

Quadratische Ergänzung

Allgemeine quadratische Gleichungen haben die Form az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0. Ein Beispiel ist:

z2−6z+13=0.z^2 - 6z + 13 = 0.

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir:

z2−6z+9−9+13=0  ⟹  (z−3)2+4=0.z^2 - 6z + 9 - 9 + 13 = 0 \implies (z-3)^2 + 4 = 0.

Daraus folgt (z−3)2=−4(z-3)^2 = -4, was zu den Lösungen z=3±2iz = 3 \pm 2\mathrm{i} führt.

Die allgemeine Lösungsformel

Für az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 mit a,b,c∈Ra, b, c \in \R gilt die bekannte Formel:

z1,2=−b±b2−4ac2a.z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

In C\mathbb{C} ist diese Formel immer auswertbar. Ist die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac negativ, so ist D=i∣D∣\sqrt{D} = \mathrm{i}\sqrt{|D|}.

Exercise 2: Lösungsformel anwenden

Finde alle Lösungen von z2−4z+20=0z^2 - 4z + 20 = 0.

Solution

D=16−80=−64D = 16 - 80 = -64. z=4±−642=4±8i2=2±4iz = \frac{4 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{4 \pm 8\mathrm{i}}{2} = 2 \pm 4\mathrm{i}.

Exercise 3: Reverse Engineering

Die Gleichung z2−2z+a=0z^2 - 2z + a = 0 hat die Lösung z1=1+iz_1 = 1 + \mathrm{i}. Bestimme aa und z2z_2.

Solution

Da die Koeffizienten reell sind, muss die zweite Lösung konjugiert komplex sein: z2=1−iz_2 = 1 - \mathrm{i}. Nach Vieta ist z1⋅z2=a1z_1 \cdot z_2 = \frac{a}{1}. (1+i)(1−i)=12+12=2  ⟹  a=2(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}) = 1^2 + 1^2 = 2 \implies a = 2.

Note 1

Die Lösungsformel gilt nach dem Permanenzprinzip auch für komplexe Koeffizienten a,b,c∈Ca, b, c \in \mathbb{C}. Hier muss man jedoch beim Ziehen der Wurzel aus der komplexen Diskriminante vorsichtig sein (oft hilft die Polarform).