Die Satzgruppe des Pythagoras

Die drei folgenden Sätze bilden die sogenannte Satzgruppe von Pythagoras. Das folgende Bild illustriert die üblichen Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck:

Pythagoras

Theorem 1: Satz von Pythagoras

Sind $a$ , $b$ und $c$ die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei $a$ und $b$ die Längen der Katheten sind und $c$ die Länge der Hypotenuse ist, so gilt:

a^2+b^2 = c^2.

Proof

Es wird ein Quadrat mit Seitenlänge $a+b$ und ein einbeschriebenes Quadrat mit der Seitenlänge $c$ betrachtet, die von der Unterteilung durch $a$ und $b$ von einer Seite auf eine benachbarte Seite zeigt. Die Quadrate und Teildreiecke sind rechtwinklig.

Die Gesamtfläche $(a+b)^2$ setzt sich offensichtlich aus den Teilflächen $c^2$ und $4\cdot \frac{1}{2}ab$ zusammen:

\begin{align*} (a+b)^2 &= c^2+4\cdot \frac{1}{2}ab\\ a^2+2ab+b^2 &= c^2 +2ab\\ a^2+b^2 &= c^2 \end{align*}

Note 1

Es gilt übrigens auch die Umkehrung.

Proof

Wir konstruieren mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ das entsprechende Dreieck. Für dieses gilt nach Voraussetzung $a^2+b^2=c^2$ . Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ , für das nach Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ gilt. Folglich stimmen die beiden Dreiecke in allen Seiten überein, sind also kongruent. Daher hat man bei $C$ einen rechten Winkel.

Exercise 1: Hypotenuse?

In einem rechtwinkligen Dreieck seien die beiden Katheten $a=3$ und $b=4$ gegeben; berechne die Länge der Hypotenuse.

Solution

Es ist $c^2=a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25$ , also hier $c=5$ .

Exercise 2: Kathete?

Gegeben im rechtwinkligen Dreieck seien die Hypotenuse $c=10$ und eine Kathete $a=6$ ; berechne die fehlende Kathete.

Solution

Aus $a^2+b^2=c^2$ folgt sofort $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ , wobei nur die positive Lösung akzeptiert wird.

Exercise 3: Pythagoras erfüllt?

Zeige, dass ein Dreieck mit den Seitenverhältnissen $a\div b\div c=3\div 4\div 5$ den Pythagoras erfüllt. Begründe zuerst, dass für $x\in\R^+$ gilt: $a\div b=3x\div 4x$ und berechne damit $c$ .

Solution

Sei $x\in\R^+$ beliebig. Es gilt $a\div b=3\div 4=3x\div 4x$ . Rechnung: $a^2+b^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2=(5x)^2=c^2$ . Also $c=5x$ wie erwartet.

Exercise 4: Kathete? II

Gegeben seien im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse $c=15$ und die Kathete $a=12$ . Berechne die fehlende Kathete $b$ .

Solution

$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$

Exercise 5: Hypotenuse? II

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleich langen Katheten $a=b=:x$ . Berechne damit die Hypotenuse $c$ .

Solution

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x$ .

Exercise 6: Diagonale?

Berechne die Diagonale $d$ eines Quadrats mit Seitenlänge $k$ .

Solution

Analog zu oben erhalten wir $d=\sqrt{2}k$ .

Exercise 7: Höhe?

Berechne die Höhe $h$ im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge $s$ .

Solution

Wir haben zwei durch die Höhe gebildete, rechtwinklige Teildreiecke. Darin gilt $h=\sqrt{s^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2}=\sqrt{s^2-\frac{s^2}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}s^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$ .

Höhensatz

Theorem 2: Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe $h$ gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte $q$ und $p$ :

h^2 = qp

Proof

Es gelten die üblichen Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ . Es bezeichne $D$ den Höhenfusspunkt von $h$ auf der Hypotenuse. Die beiden durch $D$ entstandenen Abschnitte auf der Hypotenuse $c$ heissen $q$ und $p$ . Die mit der Höhe gebildeten Teildreiecke $ADC$ und $DBC$ sind zum Dreieck $ABC$ ähnlich. Daher gilt

\frac{h}{q} = \frac{p}{h}

und daraus nach Multiplikation mit $hq$ die Behauptung.

Note 2

Dieser Satz eröffnet die Konstruktion eines flächengleichen Rechtecks zu einem gegebenen Quadrat oder umgekehrt.

Exercise 8

Konstruiere zu einem Rechteck mit Fläche $\qty{12}{cm^2}$ ein flächengleiches Quadrat.

Solution

Wähle zum Beispiel die Seitenlängen $p = \qty{2}{cm}$ und $q = \qty{6}{cm}$ ; wende darauf den Höhensatz an.

Exercise 9

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe $h$ die Hypotenuse in die Abschnitte $p$ und $q$ .

a) Berechne die Länge der Höhe $h$ , wenn $p = \qty{4}{cm}$ und $q = \qty{9}{cm}$ .

b) Berechne die Länge des Hypotenusenabschnitts $q$ , wenn $h = \qty{6}{cm}$ und $p = \qty{3}{cm}$ .

Solution

a) Nach dem Höhensatz gilt $h^2 = p \cdot q$ . Einsetzen der Werte liefert $h^2 = \qty{4}{cm} \cdot \qty{9}{cm} = \qty{36}{cm^2}$ . Durch Ziehen der Wurzel ergibt sich $h = \qty{6}{cm}$ .

b) Aus dem Höhensatz $h^2 = p \cdot q$ folgt durch Einsetzen: $(\qty{6}{cm})^2 = \qty{3}{cm} \cdot q$ , also $\qty{36}{cm^2} = \qty{3}{cm} \cdot q$ . Umstellen nach $q$ ergibt $q = \frac{\qty{36}{cm^2}}{\qty{3}{cm}} = \qty{12}{cm}$ .

Exercise 10

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe $h$ auf der Hypotenuse $\qty{8}{cm}$ lang. Der Hypotenusenabschnitt $q$ ist exakt viermal so lang wie der Abschnitt $p$ . Berechne die Längen der beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ .

Solution

Nach Voraussetzung gilt $q = 4p$ . Setzt man diesen Zusammenhang und die gegebene Höhe in den Höhensatz ( $h^2 = p \cdot q$ ) ein, erhält man: $(\qty{8}{cm})^2 = p \cdot (4p)$ $\qty{64}{cm^2} = 4p^2$ Teilt man beide Seiten durch 4, ergibt sich: $\qty{16}{cm^2} = p^2$ Durch Wurzelziehen folgt $p = \qty{4}{cm}$ . Da $q$ viermal so lang ist, ergibt sich $q = 4 \cdot \qty{4}{cm} = \qty{16}{cm}$ .

Exercise 11

In einem rechtwinkligen Dreieck hat die Höhe $h$ auf die Hypotenuse eine Länge von $\qty{12}{cm}$ . Der Hypotenusenabschnitt $q$ ist um $\qty{7}{cm}$ länger als der Abschnitt $p$ .

a) Berechne die Längen der Abschnitte $p$ und $q$ .

b) Berechne den Flächeninhalt des gesamten Dreiecks.

Solution

a) Es gilt $q = p + \qty{7}{cm}$ . Eingesetzt in den Höhensatz $h^2 = p \cdot q$ ergibt sich: $(\qty{12}{cm})^2 = p \cdot (p + \qty{7}{cm})$ $\qty{144}{cm^2} = p^2 + \qty{7}{cm} \cdot p$ Lässt man die Einheiten zur übersichtlicheren Berechnung weg, entsteht die quadratische Gleichung $p^2 + 7p - 144 = 0$ . Mit der Mitternachtsformel ergeben sich die Lösungen $p_1 = 9$ und $p_2 = -16$ . Da eine Strecke nicht negativ sein kann, ist $p = \qty{9}{cm}$ . Daraus folgt $q = \qty{9}{cm} + \qty{7}{cm} = \qty{16}{cm}$ .

b) Die gesamte Hypotenuse $c$ ist $p + q = \qty{9}{cm} + \qty{16}{cm} = \qty{25}{cm}$ . Der Flächeninhalt $A$ berechnet sich durch $A = \frac{c \cdot h}{2} = \frac{\qty{25}{cm} \cdot \qty{12}{cm}}{2} = \qty{150}{cm^2}$ .

Kathetensatz

Theorem 3: Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt aus dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse:

a^2 = pc\quad\text{und}\quad b^2 = qc.

Proof

Die Bezeichnungen entsprechen denen im Höhensatz. Das Dreieck $DBC$ ist ähnlich zu $ABC$ . Daher gilt

\frac{p}{a} = \frac{a}{c}

und daraus nach Multiplikation mit $ac$ die Behauptung.

Die zweite Gleichung folgt analog.

Exercise 12

In einem rechtwinkligen Dreieck hat die Hypotenuse $c$ eine Länge von $\qty{10}{cm}$ . Der Hypotenusenabschnitt $p$ , der an die Kathete $a$ anliegt, ist $\qty{3.6}{cm}$ lang.

a) Berechne die Länge der Kathete $a$ .

b) Berechne die Länge des Hypotenusenabschnitts $q$ und der Kathete $b$ .

Solution

a) Nach dem Kathetensatz gilt $a^2 = c \cdot p$ . Setzt man die Werte ein, erhält man $a^2 = 10 \cdot 3.6 = 36$ . Durch Wurzelziehen ergibt sich $a = \qty{6}{cm}$ .

b) Die gesamte Hypotenuse $c$ setzt sich aus $p$ und $q$ zusammen ( $c = p + q$ ). Daher ist $q = c - p = 10 - 3.6 = \qty{6.4}{cm}$ . Für die Kathete $b$ gilt der Kathetensatz $b^2 = c \cdot q$ . Eingesetzt ergibt das $b^2 = 10 \cdot 6.4 = 64$ . Durch Wurzelziehen erhält man $b = \qty{8}{cm}$ .

Exercise 13

In einem rechtwinkligen Dreieck hat die Kathete $a$ eine Länge von $\qty{5}{cm}$ und die Hypotenuse $c$ ist $\qty{12.5}{cm}$ lang. Berechne die Länge des zur Kathete $a$ gehörenden Hypotenusenabschnitts $p$ .

Solution

Nach dem Kathetensatz gilt $a^2 = c \cdot p$ . Setzt man die gegebenen Werte ein, erhält man: $5^2 = 12.5 \cdot p$ $25 = 12.5 \cdot p$ Teilt man beide Seiten durch 12.5, ergibt sich für den Abschnitt $p = \qty{2}{cm}$ .

Exercise 14

Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Kathete $b$ mit $\qty{20}{cm}$ bekannt. Der anliegende Hypotenusenabschnitt $q$ ist $\qty{16}{cm}$ lang.

a) Berechne die Länge der gesamten Hypotenuse $c$ .

b) Berechne die Länge der anderen Kathete $a$ .

Solution

a) Der Kathetensatz für die Kathete $b$ lautet $b^2 = c \cdot q$ . Setzt man die Werte ein, erhält man: $20^2 = c \cdot 16$ $400 = c \cdot 16$ Teilt man durch 16, erhält man für die Hypotenuse $c = \qty{25}{cm}$ .

b) Der Hypotenusenabschnitt $p$ berechnet sich aus $p = c - q = 25 - 16 = \qty{9}{cm}$ . Mit dem Kathetensatz für $a$ ( $a^2 = c \cdot p$ ) folgt: $a^2 = 25 \cdot 9 = 225$ Durch Wurzelziehen ergibt sich $a = \qty{15}{cm}$ .