Der Funktionsbegriff

Note 1: Hinweise zum Skript

Die meisten Übungen sind zur Selbstkontrolle geeignet. Zu fast allen Aufgaben gibt es zusätzliche Notizen (graues Augensymbol).
Mit 🧩 gekennzeichnete Aufgaben sind eher anspruchsvoll.
Graphische Darstellungen können bequem mit GeoGebra erstellt werden.
Die angegebenen Links verweisen meist auf Video-Kommentare zu den jeweiligen Abschnitten.
Weitere Kommentare sind auf ▶️ gym math verfügbar. Eine Suche nach Jorma Wassmer in Verbindung mit einem mathematischen Stichwort liefert in der Regel direkte Treffer.

Wir legen also los mit Funktionen.

Exercise 1: Funktion

Wie sieht das Schaubild der Definition einer Funktion aus?

Solution

Der Funktionsbegriff ist für die Mathematik zentral, da er in den Naturwissenschaften, in der Technik, in den Wirtschaftswissenschaften und auch in vielen anderen Wissensgebieten eine grosse Rolle spielt. Funktionen bieten die Möglichkeit, Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Grössen unmissverständlich und übersichtlich zu beschreiben.

Funktionen

In der Mathematik betrachtet man oft Abbildungen, bei denen die Zielmenge eine Zahlenmenge ist. Solche Abbildungen werden Funktionen genannt. Bei Funktionen ist es üblich, die Urbilder als Argumente, die Bilder als Funktionswerte, die Ausgangsmenge als Definitionsmenge und die Bildmenge als Wertemenge zu bezeichnen.

Definition 1: Funktion

Eine Funktion $f$ ist eine Abbildung, die jedem Element der Definitionsmenge eindeutig ein Element aus einer Wertemenge $\mathbb{W}\subset\mathbb{R}$ zuordnet.

Note 2

Falls nicht erwähnt oder anderweitig festgelegt, sind Definitions- und Wertemenge gleich $\mathbb{R}$ .

Example 1

Lässt man einen Stein vom obersten Stock des schiefen Turms von Pisa fallen, so wird durch

h(t)=56-4.9t^2

die Höhe $h$ des Steins in Metern über dem Erdboden $t$ Sekunden nach dem Fallenlassen beschrieben.

Exercise 2: Stein

Beantworte ausgehend von der Funktion $h(t)=56-4.9t^2$ die folgenden Fragen: Wie viele Meter über dem Boden ist der Stein nach $2$ Sekunden Flugzeit? Wann trifft der Stein auf den Boden auf? Wie hoch ist der schiefe Turm von Pisa?

Solution

Nach zwei Sekunden ist der Stein auf einer Höhe von $h(2)=56-4.9\cdot2^{2}=36.4\,\mathrm{m}$ . Der Stein trifft auf dem Boden auf, wenn $h(t)\stackrel{!}{=}0$ . Es folgt:

\begin{align*} 56&=4.9\cdot t^{2}\tag{$\div4.9$}\\ \frac{56}{4.9} &= t^{2}\tag{$\sqrt{\ }$}\\ t &\approx \pm3.38 \end{align*}

wobei nur die positive Lösung sinnvoll ist; also beträgt die Fallzeit $t\approx3.4\,\mathrm{s}$ . Schliesslich ist der schiefe Turm von Pisa nach der Funktion $h(0)=56\,\mathrm{m}$ hoch.

Example 2

Die Funktion, welche vorschreibt, eine Zahl zu quadrieren, notiert man kurz mit

f(x)=x^2.

Es ist dann beispielsweise $f(2)=2^2=4$ , $f(0)=0^2=0$ , $f(-3)=(-3)^2=9$ , $\dots$ . Praktisch ist häufig die Illustration einer Funktion in einem Koordinatensystem. Wir tragen ausgewählte Zahlenpaare $(2|4)$ , $(0|0)$ , $(-3|9)$ , $\dots$ ein.

Note 3

In $y=f(x)$ heisst $x$ Argument von $f$ und $y$ bzw. $f(x)$ Funktionswert/Bild von $x$ .

Exercise 3: g von x

Gegeben sei die Funktion

g(x)=x^2-2x+3.

a) Berechne $g(2)$ , $g(3)$ , $g(4)-g(-4)$ und $g(a^2)$ .

b) Für welchen Wert $x$ ist $g(x)=2$ , $3$ bzw. $x^{2}$ ?

Solution

a) $g(2)=2^{2}-2\cdot2+3=3$ , $g(3)=3^{2}-2\cdot3+3=6$ , $g(4)=11$ und $g(-4)=27$ impliziert $g(4)-g(-4)=-16$ , $g(a^{2})=a^{4}-2a^{2}+3$ .

b) $g(x)=2$ heisst:

\begin{align*} 2 &= x^{2}-2x+3\tag{$-2$}\\ 0 &= x^{2}-2x+1\\ 0 &= (x-1)^{2}\\ x &= 1 \end{align*}

$g(x)=3$ ist äquivalent zu $0=x^{2}-2x=x(x-2)$ und damit $x_1=0$ und $x_{2}=2$ . Aus $g(x)=x^{2}$ folgt sofort $2x=3$ , also $x=\frac{3}{2}$ .

Exercise 4: h(z)

Es sei

h(z)=z^3-z+2.

Berechne $h(3)$ , $h(-1)$ und $h(0)$ .

Solution

$h(3)=3^{3}-3+2=26$ , $h(-1)=(-1)^{3}-(-1)+2=2$ und $h(0)=2$ .

Exercise 5: s(t)

Betrachte

s(t)=\frac{t+2}{t-1}.

Berechne $s(0)$ , $s(-2)$ , $s(1)$ und $s(10)$ . Für welche Argumente $t$ ist der Funktionswert $s(t)=1$ , $2$ , $-5$ bzw. $0$ ?

Solution

$s(0)=-2$ , $s(-2)=0$ , $s(1)$ ist nicht definiert und $s(10)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ . Ferner rechnen wir:

\begin{align*} 1 &= \frac{t+2}{t-1}\tag{$\cdot(t-1)$}\\ t-1 &= t+2\tag{$-t$}\\ -1 &= 2 \end{align*}

Also ist $s(t)=1$ nicht erfüllbar. Für den Wert $2$ :

\begin{align*} 2 &= \frac{t+2}{t-1}\tag{$\cdot(t-1)$}\\ 2t-2 &= t+2\tag{$-t+2$}\\ t &= 4 \end{align*}

$s(t)=-5$ :

\begin{align*} -5 &= \frac{t+2}{t-1}\tag{$\cdot(t-1)$}\\ -5t+5 &= t+2\tag{$+5t-2$}\\ 6t &= 3\tag{$\div6$}\\ t &= \frac{1}{2} \end{align*}

Schliesslich:

\begin{align*} 0 &= \frac{t+2}{t-1}\tag{$\cdot(t-1)$}\\ 0 &= t+2\tag{$-2$}\\ t &= -2 \end{align*}

Exercise 6: Exponentialfunktion

Berechne für

f(x)=2^x-1

$f(1)$ , $f(3)$ und $f(10)$ .

Solution

$f(1)=2^{1}-1=1$ , $f(3)=2^{3}-1=7$ und $f(10)=1023$ .

Exercise 7: In Worten

Drücke die folgenden Aussagen kurz und prägnant in mathematischer Schreibweise aus:

a) Durch die Funktion $f$ wird der Zahl $5$ die Zahl $132$ zugeordnet.

b) Die Funktion $h$ nimmt für $x=-2$ den Funktionswert $18$ an.

c) Die Funktion $f$ ordnet der Zahl $3$ einen grösseren Wert zu als der Zahl $8$ .

d) Alle Funktionswerte der Funktion $f$ sind positiv.

e) Die Funktion $f$ ordnet jeder reellen Zahl das um $7$ vermehrte Quadrat dieser Zahl zu.

f) Die Funktion $g$ ordnet jeder reellen Zahl das Quadrat der um $3$ vergrösserten Zahl zu.

g) Die Funktion $h$ ordnet jeder reellen Zahl den um $13$ vergrösserten Kehrwert dieser Zahl zu.

h) Die Funktion $f$ ordnet jeder reellen Zahl den Kehrwert der um $4$ verminderten Zahl zu.

Solution

a) $f(5)=132$

b) $h(-2)=18$

c) $f(3)>f(8)$

d) $f(x)>0\ \text{für alle}\ x\in\mathbb{R}$

e) $f(x)=x^{2}+7$

f) $g(x)=(x+3)^{2}$

g) $h(x)=\frac{1}{x}+13$

h) $f(x)=\frac{1}{x-4}$

Definition 2: Nullstelle

Gilt für einen Wert $x=a$ der Definitionsmenge $f(a)=0$ , so heisst $a$ Nullstelle der Funktion $f$ .

Nullstellen sind also diejenigen Stellen, an denen der Funktionswert $0$ ist.

Exercise 8: Definitionsmenge

Ermittle die maximale Definitionsmenge $\mathbb{D}$ , die minimale Wertemenge $\mathbb{W}$ und die Nullstellen der Funktionen:

a) $f(x)=2x-6$

b) $g(x)=3x+1$

c) $h(x)=x^2$

d) $k(x)=\sqrt{x}$

e) $m(x)=\frac{1}{x}$

f) $n(x)=\sqrt{x-5}$

Solution

a) Die Nullstelle liegt bei $x=3$ , da dies nach kurzer Rechnung aus $0\stackrel{!}{=}2x-6$ folgt. Offensichtlich ist $\mathbb{D}=\mathbb{W}=\mathbb{R}$ .

b) $\mathbb{D}=\mathbb{W}=\mathbb{R}$ und $x=-\frac{1}{3}$ .

c) $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ und $\mathbb{W}=\mathbb{R}^{+}_{0}$ . Wegen $0^{2}=0$ ist $x=0$ Nullstelle.

d) $\mathbb{D}=\mathbb{R}^{+}_{0}=\mathbb{W}$ . Die Nullstelle ist $x=0$ .

e) $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . $m$ hat wegen $0\stackrel{!}{=}\frac{1}{x}\implies0=1$ keine Nullstellen.

f) $\mathbb{D}=[5,\infty)$ und $\mathbb{W}=\mathbb{R}^{+}_{0}$ . Die Nullstelle ist $x=5$ .

Definition 3: Graph

Sei $f:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{W}$ eine Funktion. Die Menge aller Punkte

\{(x|y)\mid y=f(x),x\in\mathbb{D}\}

heisst Graph der Funktion $f$ .

Exercise 9: Graphen

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=x^3$ .

Solution

Verwende GeoGebra und vergleiche das Ergebnis mit deinem Plot.

Exercise 10: 🧩

Können die folgenden Darstellungen Graphen von Funktionen sein? Woran erkennt man, ob eine Funktion dargestellt wird oder nicht?

Solution

a) ✓

b) keine Funktion: Zu gewissen $x$ -Werten gibt es mehr als einen $y$ -Wert.

c) keine Funktion

d) ✓

e) ✓

f) ✓

g) ✓

h) keine Funktion: Zu $x$ -Werten gibt es unendlich viele $y$ -Werte.