Die Potenzfunktionen

Es bleiben noch zwei Funktionen zu diskutieren, Polynome und Potenzfunktionen, und beides sind Verallgemeinerungen der quadratischen Funktion. Wir die Normalform der quadratischen Funktion verallgemeinert, werden die Polynome erhalten (siehe spätere Kapitel).

Wir diskutieren nun die Potenzfunktion, welche eine Verallgemeinerung der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion bildet. Die Scheitelpunktform ist ja gegeben durch

f(x)=a(x-u)^2+v

Wir können natürlich die Potenz $2$ durch eine beliebige Zahl $n$ ersetzen. Alle diese Funktionen heissen Potenzfunktionen:

\boxed{f(x)=a(x-u)^n+v}

Es sei hier bemerkt, dass für $n=0$ die Funktion

f(x)=a(x-u)^0+v = a+v

eine konstante Funktion ist, und für $n=1$ wir die lineare Funktion

f(x)=a(x-u)^1+v = ax+(v-au)

erhalten. Wir kennen diese Funktionen schon, und werden diese also nicht mehr diskutieren. Ausserdem werden wir uns vorerst vor allem auf die folgenden Potenzfunktionen beschränken:

Potenzfunktionen der Form
$\boxed{f(x)=a(x-u)^n+v}$
Hier ist die Potenz $n$ eine natürliche Zahl: $n=2, 3, 4, ...$ . Beispiele sind
$\begin{array}{llll} f(x) & = & 3(x-2)^2-10 & (n=2)\\ f(x) & = & -(x-2)^{10}+1 & (n=10)\\ \end{array}$
Potenzfunktionen der Form
$\boxed{f(x)=\frac{a}{(x-u)^n}+v}$
Mit Hilfe der Potenzregel lässt sich die Funktion umformen zu
$f(x)=f(x)=a(x-u)^{-n}+v$
Somit haben diese Funktionen eine negative natürliche Potenz $-n$ : $..., -4, -3, -2, -1$
$\begin{array}{llll} f(x) & = & \frac{3}{(x-2)^2}-10 & (n=2)\\ f(x) & = & -\frac{1}{(x-2)^{10}}+1 & (n=10)\\ \end{array}$
Potenzfunktionen der Form
$\boxed{f(x)=a\cdot \sqrt[n]{x-u} +v}$
Mit Hilfe der Potenzregel lässt sich die Funktion umformen zu
$f(x)=f(x)=a(x-u)^{1/n}+v$
Somit haben diese Funktionen einen rationale Potenz $1/n$ : $1/2, 1/3, 1/4, ...$ . Beispiele sind:
$\begin{array}{llll} f(x) & = & 3\cdot \sqrt{x-2}-10 & (n=2)\\ f(x) & = & -\sqrt[10]{x-2}+1 & (n=10)\\ \end{array}$

Exercise 1

Sind dies Potenzfunktionen? Falls ja, bestimme die Werte $n$ , $a$ , $u$ und $v$ :

$f(x)=\frac{1}{x-2}$
$f(x)=7\cdot \sqrt[3]{x+5}-9$
$f(x)=-\frac{10}{(x+5.2)^3}+7$
$f(x)=2^{x-3}$

Solution

$f(x)=1\cdot (x-2)^{-1}+0$ , also $n=-1, a=1, u=2, v=0$
$f(x)=7\cdot (x+5)^{1/3}-9=7\cdot (x-(-5))^{1/3}-9$ , also $n=1/3, a=7, u=-5, v=-9$
$f(x)=-10\cdot (x+5.2)^{-3}+7=-10\cdot (x-(-5.2))^{-3}+7$ , also $n=-3, a=-10, u=-5.2, v=7$
Ist eine Exponentialfunktion, also keine Potenzfunktion.

Wie sehen die Graphen von Potenzfunktionen aus? Wir beschränken uns zuerst auf die Referenzfunktionen (daher $a=1, u=0, v=0$ ). Wir werden dann später sehen, dass wie gehabt

$a$ den Graphen der Referenzfunktion in $y$ -Richtung streckt,
$u$ den Graphen entlang der $x$ -Richtung verschiebt,
und $v$ den Graphen entlang der $y$ -Richtung verschiebt

Wir haben also drei Typen von Referenzfunktionen, dessen Graphen wir nun genauer untersuchen werden:

$r(x)=x^n$ , mit $n=2,3,4,...$ Der Graph dieser Funktionen heisst Parabel.
$r(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ mit $n=1,2,3,4,...$ Der Graph dieser Funktionen heisst Hyperbel.
$r(x)=x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$ mit $n=2,3,4,...$

Exercise 2

F1

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen der folgenden Referenzfunktionen $r_1$ und $r_2$ ins gleiche Koordinatensystem. Beachte, dass immer $n=2$ und $n=3$ ist. Wichtig: Nimm dir die Zeit und brauche wirklich eine Wertetabelle, keine Abkürzung machen. Du wirst viel daraus lernen.

$r_1(x)=x^2$ und $r_2(x)=x^3$
$r_1(x)=\frac{1}{x^2}$ und $r_2(x)=\frac{1}{x^3}$ Überlege, was bei $x=0$ passiert.
$r_1(x)=\sqrt{x}$ und $r_2(x)=\sqrt[3]{x}$

F2

Welche Graphen in F1 besitzen keinen $x$ -Achsenabschnitt, welche keinen $y$ -Achsenabschnitt? Lässt sich dies auf höhere Werte von $n$ verallgemeinern?

F3

Beachte, dass einige Graphen in F1 einen negativen Zweig besitzen, und andere nicht. Was ist hier die Gesetzmässigkeit? Lässt sich dies auf höhere Werte von $n$ verallgemeinern?

F4

Welcher Graph in F1 geht durch den Punkt

$O(0\vert 0)$
$P(1\vert 1)$
$Q(-1\vert -1)$
$R(-1\vert 1)$
$T(1\vert -1)$

Lässt sich dies auf höhere Werte von $n$ verallgemeinern?

Solution

Es sei $r(x)=x^n$ oder $r(x)=x^{-n}$ oder $r(x)=x^{1/n}$ , wobei $n=1,2,3,...$ .

A1

Überprüfe deine Lösungen mit Hilfe der Geogebra-Apps unten.

A2

$r(x)=x^{1,2,3,...}$ : der Graph geht durch den Nullpunkt und hat somit einen $x$ - und einen $y$ -Achsenabschnitt.
$r(x)=x^{...,-3,-2,-1}$ : $r$ hat weder einen $x$ - noch einen $y$ -Achsenabschnitt.
$r(x)=x^{1/2, 1/3, 1/4,...}$ : der Graph geht durch den Nullpunkt und hat somit einen $x$ - und einen $y$ -Achsenabschnitt.

A3

Der Graph von $r$ hat nur dann einen negativen Zweig, falls $n$ ungerade ist.

A4

$O(0\vert 0)$ : alle ausser die Hyperbeln, also $r(x)=x^n$ oder $r(x)=x^{1/n}$ .
$P(1\vert 1)$ : alle Graphen
$Q(-1\vert -1)$ : alle Graphen mit negativen Zweig, also alle mit $n$ ungerade.
$R(-1\vert 1)$ : $r(x)=x^n$ mit $n$ gerade.
$T(1\vert -1)$ : kein Graph.

Exercise 3

Das Folgende sollte nun lösbar sein: Fertige für jeden der unten aufgezeichneten Fälle eine grobe Skizze des Graphen an, ohne Berechnungen oder Punkte einzuzeichnen. Versuche es zuerst selbst, und dann sieh dir die Lösung an:

$r(x)=x^{\text{gerade}}$
$r(x)=x^{\text{ungerade}}$
$r(x)=x^{-\text{gerade}}=\frac{1}{x^\text{gerade}}$
$r(x)=x^{-\text{ungerade}}=\frac{1}{x^\text{ungerade}}$
$r(x)=x^{1/\text{gerade}}=\sqrt[\text{gerade}]{x}$
$r(x)=x^{1/\text{ungerade}}=\sqrt[\text{ungerade}]{x}$

Solution