Potenzen mit rationalen Exponenten

Exercise 1: Halbe Potenzen

Wie gross ist 3123^\frac{1}{2}?

Solution312=3≈1.7323^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\approx1.732

Wir wollen unsere Rechenregeln für Potenzen erweitern, um Potenzgesetze für reelle Zahlen vollumfänglich verstehen und interpretieren zu können. Bisher waren die Exponenten mm und nn jeweils natürliche bzw. ganze Zahlen. Nun soll aufgezeigt werden, dass auch rationale Zahlen im Exponenten sinnvoll sein können. Wir brauchen dazu folgende, bereits bekannte Regeln und Begriffe.

Note 1

Die Potenzgesetze lauten:

an⋅am=an+man⋅bn=(ab)n(an)m=an⋅ma−n=1ana0=1\begin{align} a^n\cdot a^m&=a^{n+m}\\ a^n\cdot b^n&=(ab)^n\\ \left(a^n\right)^m&=a^{n\cdot m}\\ a^{-n}&=\frac{1}{a^n}\\ a^0&=1 \end{align}

(Recap Potenzgesetze)

Weiter ruft man sich die Definition der nn-ten Wurzel einer Zahl in Erinnerung: Die nn-te Wurzel aus einer positiven Zahl aa ist diejenige positive Zahl bb, deren nn-te Potenz aa beträgt. Man schreibt dafür b:=anb:=\sqrt[n]{a}.

Die Potenzgesetze funktionieren bis anhin tadellos, wenn mm und nn ganze Zahlen sind. Was ist, wenn man nun im Exponenten rationale Zahlen zulässt? Ist 3123^{\frac{1}{2}} eine Zahl? Und wenn ja, welche?

Note 2

Betrachte 312⋅3123^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}. Sollen die Potenzgesetze weiterhin gelten, dann ist also 312⋅312=33^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}=3. Wir wissen, dass 3⋅3=3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, und legen deshalb fest:

312=3.3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.
Exercise 2

Bestimme nach obigem Muster die Wurzeldarstellung von 8138^{\frac{1}{3}}. Betrachte dazu 8138^{\frac{1}{3}} dreimal mit sich selbst multipliziert.

Solution

Wegen 813⋅813⋅813=813+13+13=81=88^{\frac{1}{3}}\cdot8^{\frac{1}{3}}\cdot8^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=8^{1}=8 muss 813=2=838^\frac{1}{3}=2=\sqrt[3]{8} sein.

Erweiterung der Potenzgesetze

Offensichtlich kann jede Wurzelart als Potenz mit rationalem Exponenten dargestellt werden. Man erweitert die Potenzgesetze deshalb intuitiv und regelerhaltend auf rationale Exponenten und definiert:

Definition 1: Wurzelexponent
an=:a1n\sqrt[n]{a} =: a^{\frac{1}{n}}

Man kann also jede Wurzel in eine Potenz verwandeln und dann mit den bekannten Potenzgesetzen weiterrechnen. Dies ist beim Umformen und Vereinfachen von Wurzeln enorm hilfreich. Da wir mit rationalen Exponenten sinnvoll rechnen können, gilt allgemein:

Theorem 1
anm=anma^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}
Proof

Dies ist nahezu trivial; wir verwenden das dritte Potenzgesetz.

Exercise 3

Schreibe mit einer einzigen Wurzel.

a) aa3\sqrt[3]{a\sqrt{a}}

b) aaa34\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a\sqrt{a}}}

c) amn\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}

d) an⋅am\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[m]{a}

Solution

a) (a⋅a12)13=(a32)13=a12=a(a\cdot a^\frac{1}{2})^\frac{1}{3}=(a^\frac{3}{2})^\frac{1}{3}=a^\frac{1}{2}=\sqrt{a}

b) (a(a⋅a12)13)14=(a⋅a32⋅3)14=(a⋅a12)14=(a32)14=a38=a38(a(a\cdot a^\frac{1}{2})^\frac{1}{3})^\frac{1}{4}=(a\cdot a^\frac{3}{2 \cdot 3})^\frac{1}{4}=(a \cdot a^\frac{1}{2})^\frac{1}{4}=(a^\frac{3}{2})^\frac{1}{4}=a^\frac{3}{8}=\sqrt[8]{a^3}

c) (a1m)1n=a1nm=amn(a^\frac{1}{m})^\frac{1}{n}=a^\frac{1}{nm}=\sqrt[mn]{a}

d) a1n⋅a1m=a1n+1m=am+nnm=am+nnma^\frac{1}{n}\cdot a^\frac{1}{m}=a^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}=a^\frac{m+n}{nm}=\sqrt[nm]{a^{m+n}}

Exercise 4

Berechne die Inversfunktion von f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}.

Solution

Setze y=1xy=\frac{1}{x}.

y=1xx=1y\begin{align*} y &= \frac{1}{x}\tag{$\cdot x$, $\div y$}\\ x &= \frac{1}{y} \end{align*}

  ⟹  f−1(x)=1x=f(x)\implies f^{-1}(x)=\frac{1}{x}=f(x); über die Definitionsmenge kann man sich noch Gedanken machen.

Exercise 5

Berechne die Inversfunktion von f(x)=xnf(x)=\sqrt[n]{x}.

Solution

Setze y=xny=\sqrt[n]{x}.

y=xnyn=x\begin{align*} y &= \sqrt[n]{x}\tag{$(\,.\,)^n$}\\ y^n &= x \end{align*}

  ⟹  f−1(x)=xn\implies f^{-1}(x)=x^n; über die Definitionsmenge kann man sich noch Gedanken machen.

Exercise 6

Führe mit dem Taschenrechner für eine beliebige positive Zahl folgendes Verfahren mehrmals durch:

  1. Tippe xx ein.
  2. Berechne x\sqrt{x}.
  3. Nimm das Resultat als neues xx.

Gegen welchen Wert strebt xx, wenn du diese Schleife oft ausführst?

Solution

Die Folge strebt gegen 11, da lim⁡n→∞x1n=x0=1\lim_{n\to\infty}x^{\frac{1}{n}}=x^0=1.

Potenzen mit irrationalen Exponenten

Es ist möglich, Potenzen mit irrationalen Exponenten zu definieren. Wir tun dies mit einer Intervallschachtelung im Exponenten:

Theorem 2

Alle Potenzgesetze gelten auch für Potenzen mit irrationalen Exponenten.

Proof

Man nähert die Werte mit einer entsprechenden Intervallschachtelung an.

Exercise 7

Bestimme ohne Taschenrechner – wenn möglich exakt, allenfalls näherungsweise – folgende Werte.

a) 106\sqrt{10^6}

b) 106π\sqrt[\pi]{10^6}

c) 3π6.283^{\frac{\pi}{6.28}}

d) 641π64^{\frac{1}{\pi}}

e) ππ\pi^\pi

f) π0.5\pi^{0.5}

Solution

a) 10310^3

b) ≈1063=102\approx10^\frac{6}{3}=10^2

c) ≈312=3\approx3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}

d) ≈6413=4\approx64^\frac{1}{3}=4

e) ≈33=27\approx3^3=27

f) ≈3≈1.73\approx\sqrt{3}\approx1.73