Potenzfunktionen

Definition 1: Potenzfunktion

Funktionen der Form

f(x)=x^n\quad(n\in\mathbb{Z})

heissen Potenzfunktionen vom Grad $n$ .

Exercise 1: Graphen von Potenzfunktionen

Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der Funktionen:

a) $x^2$ , $x^4$ , $x^{-2}$ , $x^{-4}$

b) $x^3$ , $x^5$ , $x^{-1}$ , $x^{-3}$

Solution

Verwende Geogebra und vergleiche mit deinen Plots.

Exercise 2: Cubed

Wenn man den Radius einer Kugel verdoppelt, wie ändert sich dann ihr Volumen?

A	B	C	D
verdoppelt	vervierfacht	verachtfacht	verhundertfacht

Solution

Es verachtfacht sich, $2^3=8$ .

Exercise 3: Boyle-Mariottesches Gesetz

Druck $p$ und Volumen $V$ einer abgeschlossenen Gasmenge von konstanter Temperatur genügen dem Boyle-Mariotteschen Gesetz $p \cdot V = c$ .

Stelle $p$ als Funktion von $V$ dar und zeichne den Graphen für $c = 3\,\text{bar} \cdot \text{m}^3$ .

Solution

Die Darstellung von $p$ als Funktion von $V$ erhält man durch Umformen der Gleichung:

p(V) = \frac{c}{V}

Für den spezifischen Fall mit $c=3$ lautet die Funktionsgleichung:

p(V) = \frac{3}{V}

Dies ist eine indirekte Proportionalität. Da Druck und Volumen physikalisch nur positive Werte annehmen können, liegt der Graph im 1. Quadranten. Es handelt sich um einen Ast einer Hyperbel.

Wertetabelle:

$V$ (in \unit{m^3})	0.5	1	2	3	6
$p$ (in \unit{bar})	6	3	1.5	1	0.5

Der Graph ist eine Kurve, die sich den Achsen nähert, sie aber nie berührt. Die $x$ -Achse stellt das Volumen $V$ dar, die $y$ -Achse den Druck $p$ .

Note 1

Die Graphen der Funktionen $f(x)=x^n$ sind für gerade $n$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, da für gerade Exponenten $(-x)^n=x^n$ gilt. Für ungerade $n$ sind die Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems, da $(-x)^n=-x^n$ gilt.

Note 2

Es ist klar, dass Potenzfunktionen mit negativen Exponenten $n$ für $x=0$ nicht definiert sind. Ihre Graphen bestehen aus zwei «Ästen», die für gerade Exponenten symmetrisch zur $y$ -Achse und für ungerade Exponenten symmetrisch zum Ursprung liegen. Für $x$ -Werte von hinreichend grossem Betrag werden die Funktionswerte dem Betrage nach beliebig klein, d. h. der Graph kommt für solche $x$ -Werte der $x$ -Achse beliebig nahe. Wir sagen: Die $x$ -Achse ist Asymptote des Graphen. Für hinreichend nahe bei $0$ gelegene $x$ -Werte werden die Funktionswerte dem Betrage nach beliebig gross, d. h. der Graph kommt für solche $x$ -Werte der $y$ -Achse beliebig nahe. Die $y$ -Achse ist ebenfalls eine Asymptote des Graphen. Die undefinierte Stelle $x=0$ wird Polstelle genannt.

Polstelle & Asymptote

Definition 2: Polstelle

Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ eine Polstelle, wenn $x_0$ eine isolierte Definitionslücke ist und der Betrag des Funktionswerts an dieser Stelle gegen unendlich strebt.

Formal ausgedrückt: Eine Stelle $x_0$ ist eine Polstelle von $f$ , wenn gilt:

\lim_{x \to x_0} |f(x)| = \infty

Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion $f$ im Unendlichen annähert.

Definition 3: Asymptote

Eine Funktion $g(x)$ ist eine Asymptote der Funktion $f(x)$ für $x \to \infty$ , wenn der vertikale Abstand zwischen den beiden Funktionsgraphen für $x$ gegen Unendlich gegen den Wert Null geht.

Formal ausgedrückt bedeutet das:

\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = 0

Analog gilt dies auch für $x \to -\infty$ :

\lim_{x \to -\infty} (f(x) - g(x)) = 0

Wurzelfunktionen

Exercise 4: Graphen von Potenzfunktionen II

Zeichne – in dasselbe Koordinatensystem – die Graphen der Funktionen:

a) $f(x)=x^2$ und $g(x)=x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$

b) $f(x)=x^3$ und $g(x)=x^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{x}$

Solution

Verwende Geogebra und vergleiche mit deinen Plots.

Definition 4: Wurzelfunktion

Funktionen der Form

f(x)=x^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x}\quad(n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})

heissen Wurzelfunktionen.

Die Definitionsmenge der Wurzelfunktionen ist $\R^+_0$ . Sie sind für $\R_0^+$ die Umkehrfunktionen von $f(x)=x^n$ . Ihre Graphen entstehen deswegen aus den Graphen von $f$ durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.

Exercise 5: Wurzelfunktion

Zeichne den Graphen der Quadratwurzelfunktion

f(x)=\sqrt{x}

für $0<x<10$ und die Parallele zur $x$ -Achse durch den Punkt $P(0\mid 8)$ . Schneidet die Kurve die Parallele, wenn man sie nach rechts fortgesetzt denkt? Falls ja, wo?

Solution

Für die Plots vergleiche man mit Geogebra. Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzen wir:

\begin{align*} f(x) &\stackrel{!}{=} 8 \\ \sqrt{x} &= 8 \tag{$(\phantom{x})^2$} \\ x &= 64 \end{align*}

Also liegt der Schnittpunkt bei $S(64 \mid 8)$ .

Exercise 6: Windgeschwindigkeit

Mit zunehmender Höhe nimmt die Windgeschwindigkeit zu. Für windschwache Gebiete kann man die gegenseitige Abhängigkeit durch die Funktion

f(x)=0.2\sqrt{x}+1

beschreiben. Dabei ist $x$ die Masszahl der in Metern gemessenen Höhe. Der Funktionsterm gibt die in \unit{m/s} gemessene Windgeschwindigkeit an. Zeichne den Graphen der Funktion für $0<x<600$ . In welcher Höhe erreicht die Windgeschwindigkeit \qty{7}{m/s}?

Solution

\begin{align*} 0.2\sqrt{x}+1 &\stackrel{!}{=} 7 \tag{$-1$} \\ 0.2\sqrt{x} &= 6 \tag{$\cdot 5$} \\ \sqrt{x} &= 30 \tag{$(\phantom{x})^2$} \\ x &= 900 \end{align*}

Also in einer Höhe von \qty{900}{m}.

Exercise 7: Ein Klassiker

Berechne für die Funktion

f(x) = x^3 - x

a) alle Nullstellen von $f$ ,

b) alle Schnittpunkte von $f$ mit der Normalparabel $n(x) = x^2$ ,

c) die durchschnittliche Änderung über den Intervallen:

i) $[0, 1]$

ii) $[0, 2]$

iii) $[-2, 2]$

Solution

a) Faktorisieren liefert $x=-1, 0, 1$ .

b) Gleichsetzen und Faktorisieren zusammen mit der quadratischen Lösungsformel für die Gleichung liefert: $x=0, -\varphi, \Phi$ .

c) $0$ , $3$ , $3$ .

Exercise 8: Kubische Funktion verschieben

Zeichne den Graphen der Funktion

f(x)=\frac{1}{8}x^3.

Verschiebe den Graphen:

a) um 3 Einheiten nach oben,

b) um 2 Einheiten nach rechts,

c) um 2 Einheiten nach links und anschliessend um 1 Einheit nach unten.

Gib jeweils die Gleichung der neuen Kurve an.

Solution

a) $f(x)=\frac{1}{8}x^3+3$

b) $f(x)=\frac{1}{8}(x-2)^3$

c) $f(x)=\frac{1}{8}(x+2)^3-1$

Exercise 9: Antiproportionalitäten

Zeichne die Graphen der Funktionen

f(x)=x^{-1}-2\quad\text{und}\quad g(x)=4-x^{-1}

in ein Koordinatensystem.

a) Wo schneiden die Graphen die $x$ -Achse?

b) Wo schneiden sich die beiden Graphen?

Solution

a) Aus $f(x)\stackrel{!}{=}0$ folgt unmittelbar $x=\frac{1}{2}$ . Für $g$ ergibt sich analog $x=\frac{1}{4}$ .

b) Gleichsetzen:

\begin{align*} f(x)&\stackrel{!}{=} g(x) \\ \frac{1}{x}-2 &= 4-\frac{1}{x} \tag{$+2, +\frac{1}{x}$} \\ \frac{2}{x} &= 6 \tag{$\cdot \frac{x}{6}$} \\ x &= \frac{1}{3} \\ &\implies y=1 \end{align*}

Also schneiden sich $f$ und $g$ in $S(\frac{1}{3} \mid 1)$ .

Exercise 10: Angebot und Nachfrage

Die Angebots- und Nachfragefunktion für ein wirtschaftliches Gut seien gegeben durch

p_A(x)=2x^\frac{1}{2},\quad p_N(x)=4+\frac{2}{x},

$0\,\unit{ME}<x\,\unit{ME}<8\,\unit{ME}$ , wobei die Preise in \unit{GE/ME} angegeben sind. Stelle die Situation grafisch dar und berechne die Gleichgewichtsmenge, den Marktpreis und den Gesamterlös.

Solution

Die Gleichgewichtsmenge findet man via $p_A(x)\stackrel{!}{=} p_N(x)$ .

\begin{align*} 2x^\frac{1}{2} &= 4+\frac{2}{x} \tag{$\cdot x$} \\ 2\sqrt{x^3} &= 4x + 2 \tag{$(\phantom{x})^2$} \\ 4x^3 &= 16x^2 +16x + 4 \end{align*}

Dies ist eine Gleichung dritten Grades, die wir mit unserem aktuellen Wissen nicht direkt lösen können. Wir können sie aber mit Hilfe der Lösungsformel für kubische Gleichungen von Cardano lösen.

Formel von Cardano

In seiner 1654/55 entstandenen und 1659 erschienenen Arbeit De reductione aequationum leitet Jan Hudde (1628–1704) die dann auf alle Fälle anwendbare, üblicherweise nach Cardano benannte Formel zur Lösung der kubischen Gleichung her, wobei er den Weg Tartaglias nur geringfügig modifiziert. Diese Substitution ergibt sich aus der Betrachtung eines Würfels mit Kantenlänge $u+v$ sinngemäss zum Quadrat von al-Chwarizmi im quadratischen Fall. Wir ersetzen in der Gleichung

x^3 + px - q = 0

die Unbekannte $x$ durch $u+v$ und erhalten damit die Gleichung

u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) - q = 0.

Diese Gleichung ist sicher erfüllt, wenn

\text{I} \quad 3uv = -p

\text{II} \quad u^3 + v^3 = q

gilt. Ohne Schwierigkeit erhält man daraus

\text{I'} \quad uv = -\frac{p}{3}

\text{II'} \quad u^6 - qu^3 - (\frac{p}{3})^3 = 0.

Gleichung II' ist eine quadratische Gleichung für $u^3$ . Wir können also aus dem Gleichungssystem leicht $u$ und $v$ berechnen und erhalten damit für die Unbekannte $x$ die als Formel von Cardano bezeichnete Darstellung:

x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}

In dieser Darstellung von $x$ wird die Kubikwurzel noch in der in jener Zeit üblichen Art benützt, bei der der Radikand auch negativ sein durfte; $\sqrt[3]{-8}$ ergab $-2$ , so wie es auch manche Taschenrechner heute tun. Bei dieser Deutung der dritten Wurzel dürfen aber die Potenzgesetze nicht auf gebrochene Exponenten übertragen werden. Dann ergibt sich als:

Theorem 1

Die Gleichung $x^3+px+q=0$ hat die Lösung

x = \operatorname{sgn}(R_1) \sqrt[3]{|R_1|} + \operatorname{sgn}(R_2) \sqrt[3]{|R_2|}

mit $R_1 := -\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}$ und $R_2 := -\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}$ .

Offensichtlich versagt dieser Lösungsweg, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung für $u^3$ negativ ist, d. h., wenn $(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 < 0$ ist. Das ist aber genau der von Cardano entdeckte casus irreducibilis. 1745 zeigte Abraham Gotthelf Kästner (1719–1800), dass in diesem Fall die kubische Gleichung $x^3+px+q=0$ stets drei reelle Lösungen besitzt. 1891 bewies Ludwig Otto Hölder (1859–1937), dass diese Bedingung auch notwendig ist und dass sich diese drei Lösungen grundsätzlich nicht durch Wurzeln darstellen lassen.

Verallgemeinerter Viëta

Verallgemeinerter Satz von Vieta

Nach der Behandlung des Sonderfalls $x^n + a_0 = 0$ wenden wir uns nun den algebraischen Gleichungen in ihrer allgemeinen Form $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ zu. Bei den Gleichungen 3. Grades haben wir gelernt, dass wir sie auf eine Gleichung 2. Grades zurückführen können, wenn wir eine Lösung kennen. In einem solchen Fall kann man auch eine Gleichung $n$ -ten Grades auf eine vom Grad $n-1$ zurückführen. Zum Beweis dieser Behauptung verallgemeinern wir einen Gedankengang, den Geronimo Cardano (1501–1576) in Regel 6 von Kapitel XXV seiner Ars magna 1545 angesprochen hat und den François Viète (1540–1603) in seinem 1615 postum erschienenen Tractatus de emendatione aequationum erweiterte. Als Hilfsmittel benützen wir wie Viète die Verallgemeinerung der 3. binomischen Formel, nämlich:

a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}) \quad (\ast)

Damit können wir uns dem eigentlichen Problem zuwenden. Die linke Seite der algebraischen Gleichung $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ ist ein Polynom vom Grad $n$ , für das wir kurz $P_n(x)$ schreiben. Für eine beliebige reelle Zahl $r$ gilt:

P_n(x) - P_n(r) = a_n(x^n - r^n) + a_{n-1}(x^{n-1} - r^{n-1}) + \dots + a_1(x-r)

Wendet man auf jede der Klammern $(\ast)$ an, so kann man $(x-r)$ ausklammern und erhält:

P_n(x) - P_n(r) = (x-r)[a_n(x^{n-1} + \dots + r^{n-1}) + a_{n-1}(x^{n-2} + \dots + r^{n-2}) + \dots + a_1]

Der in der eckigen Klammer stehende Ausdruck ist ein Polynom $(n-1)$ -ten Grades in $x$ , sodass gilt:

P_n(x) - P_n(r) = (x-r)P_{n-1}(x)

Ist $r$ eine Nullstelle des Polynoms $P_n(x)$ , dann ist $P_n(r) = 0$ , und es ergibt sich:

P_n(x) = (x-r)P_{n-1}(x)

Damit ist bewiesen:

Theorem 2: Reduktionssatz

Ist $x_1$ eine Lösung der algebraischen Gleichung $P_n(x)=0$ , dann lässt sich $P_n(x)$ faktorisieren zu $(x-x_1)P_{n-1}(x)$ , wobei $P_{n-1}(x)$ ein Polynom $(n-1)$ -ten Grades ist. Die Lösung der algebraischen Gleichung $P_n(x)=0$ ist damit zurückgeführt auf die Lösung der äquivalenten Gleichung $(x-x_1)P_{n-1}(x)=0$ , d. h. auf die Lösung von $x=x_1 \lor P_{n-1}(x)=0$ .

Der Reduktionssatz gestattet eine Abschätzung der Anzahl der Lösungen, die eine Gleichung $n$ -ten Grades haben kann. Jede Lösung $x_0$ lässt nämlich die Abspaltung des Linearfaktors $(x-x_0)$ zu, und bei einem Polynom $n$ -ten Grades kann ein solcher Faktor höchstens $n$ -mal ausgeklammert werden. Also gilt:

Theorem 3

Eine Gleichung $n$ -ten Grades hat höchstens $n$ Lösungen. Dabei wird jede Lösung in ihrer Vielfachheit gezählt.

Bei quadratischen Gleichungen in Normalform gibt der Satz von Vieta einen Zusammenhang zwischen den Lösungen $x_1, x_2$ und den Koeffizienten $p, q$ der Gleichung $x^2+px+q=0$ an:

p=-(x_1+x_2) \quad \text{und} \quad q=x_1 \cdot x_2

Ein analoger Satz gilt auch für Gleichungen höheren Grades in Normalform, d. h. mit $a_n=1$ . Wir betrachten zunächst eine Gleichung 3. Grades in Normalform: $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$ habe die drei Lösungen $x_1, x_2$ und $x_3$ . Nach dem Reduktionssatz gilt dann:

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)

= x^3 - (x_1+x_2+x_3)x^2 + (x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x - x_1x_2x_3

Offenbar ist der Zusammenhang bei dem mittleren Koeffizienten komplizierter. Aber wenigstens bei den Koeffizienten $a_0$ und $a_{n-1}$ sind die Ausdrücke so einfach, dass es sich lohnt, sie sich zu merken:

Theorem 4: Verallgemeinerter Viëta

Sind $x_1, x_2, \dots, x_n$ die Lösungen der Gleichung

x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0,

dann gilt:

a_{n-1} = -(x_1+x_2+\dots+x_n) \quad \text{und} \quad a_0 = (-1)^n \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n

Proof

Der Beweis verläuft wie oben bei der Gleichung 3. Grades.

Die Beziehung $a_0 = (-1)^n \cdot x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n$ lässt vermuten, dass ganzzahlige Lösungen einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten Teiler von $a_0$ sein müssen. Tatsächlich gilt:

Theorem 5

Sind alle Koeffizienten der Gleichung $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ ganzzahlig, dann ist jede ganzzahlige Lösung Teiler von $a_0$ .

Solution

Zum Beweis setzen wir die ganzzahlige Lösung $x_1$ ein:

a_n x_1^n + a_{n-1} x_1^{n-1} + \dots + a_1 x_1 + a_0 = 0

Daraus folgt $a_0 = -x_1(a_n x_1^{n-1} + a_{n-1} x_1^{n-2} + \dots + a_1)$ , d. h., $x_1$ ist Teiler von $a_0$ .