Funktionen allgemein

Exercise 1: Grundbegriffe

Erkläre (mit Skizzen):

Was ist eine Funktion (Tipp: Maschine)? Wie kann sie im Diagramm dargestellt werden?
Was ist eine Funktionsgleichung? Gib ein Beispiel.
Was ist der Graph einer Funktion? Gib ein Beispiel.
Was ist die Nullstelle einer Funktion? Wie wird sie berechnet?
Was bedeutet $f(3)$ ?

Solution

Eine Funktion ist eine Maschine mit Input ( $x$ ), Output( $y$ ), und eine Regel, was mit dem Input gemacht wird, um den Output zu bekommen.
$\begin{array}{cl} x &\\ \downarrow &\\ \boxed{f} & \text{Regel}\\ \downarrow &\\ y & \end{array}$
Die Funktionsgleichung ist die Regel (normalerweise algebraische Regel, also Formel) mit dem der Output in der Maschine berechnet wird. Für die Maschine
$\begin{array}{cl} x &\\ \downarrow &\\ \boxed{f} & x^2\\ \downarrow &\\ y & \end{array}$
ist die Funktionsgleichung
$f(x)=x^2$
oder $y=x^2$ . Dabei ist $f$ der Name der Funktion und $x$ steht für den Input. In Worten ist diese Regel: den Output bekommt man durch quadrieren des Inputs.
Der Graph von $f$ ist die grafische Repräsentation der Funktion (eine Kurve), dargestellt in einem Koordinatensystem. Die Punkte auf der Kurve von $f$ sind gegeben durch die Koordinaten $(\text{input}|\text{output})$ , daher . Daher, ein Punkt $(x|y)$ im Koordinatensystem ist nur dann auf dem Graphen, when $x$ und $y$ der Maschine gehorchen: Wird der Wert $x$ in die Maschine gefüttert, muss der Wert $y$ herauskommen.
Die Nullstellen von $f$ sind alle Inputs $x$ mit Output $y=0$ .
$\begin{array}{cl} x &\\ \downarrow &\\ \boxed{f} & \text{Regel}\\ \downarrow &\\ 0 & \end{array}$
Die Nullstellen sind also die Positionen auf der $x$ -Achse, wo der Graph von $f$ die $x$ -Achse schneidet.
Die Notation $f(3)$ bezeichnet den Output (Resulat) der Machine $f$ für den Input $3$ . Wenn zum Beispiel $f(x)=x^2$ , dann ist $f(3)=3^2=9$